-
Диференціальні рівняння
-
Теоретичні питання
5.1.1. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний і частинний розв’язок, загальний і частинний інтеграл диференціального рівняння першого порядку.
5.1.2. Рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні та звідні до однорідних.
5.1.3. Лінійні рівняння першого порядку, рівняння Бернуллі.
5.1.4. Рівняння у повних диференціалах, інтегрувальний множник.
5.1.5. Диференціальні рівняння вищих порядків. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний і частинний розв’язок, загальний і частинний інтеграл.
5.1.6. Рівняння виду
та рівняння, які допускають пониження
порядку.
5.1.7. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків однорідні і неоднорідні. Структура загального розв’язку. Метод Лагранжа варіації довільних сталих.
5.1.8. Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами.
5.1.9. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами та правою частиною спеціального виду.
5.1.10. Нормальні системи диференціальних рівнянь. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний і частинний розв’язок. Метод виключення.
5.1.11. Нормальні системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Розв’язування за допомогою характеристичного рівняння.
-
Тестові теоретичні завдання
5.2.1. Порядком диференціального рівняння називається:
а) найвищий степінь невідомої функції;
б) найвищий порядок похідної невідомої функції;
в) найвищий степінь вільної змінної;
г) найнижчий порядок похідної невідомої функції;
д) інша відповідь.
5.2.2. Які з наведених нижче рівнянь є рівняннями з відокремлюваними змінними ?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
а) 1 і 4; б) 2 і 3; в) 2 і 4;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
5.2.3. Які з наведених нижче рівнянь не є рівняннями з відокремлюваними змінними?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
а) 1 і 4; б) 2 і 4; в) 1 і 3;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
5.2.4. Для рівняння першого
порядку
початкова умова має вид:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.5. Рівняння
є однорідним, якщо функція
задовольняє умові:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.6. Однорідне рівняння
інтегрується за допомогою заміни:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.7. Рівняння
у випадку, коли
інтегрується за допомогою заміни:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.8. Яке з поданих нижче рівнянь зводиться до однорідного?
а)
;
б)
;
в)
;
в)
;
д) інша відповідь.
5.2.9. Вставити пропущений
термін. Рівняння виду
називається рівнянням ________.
а) Бернуллі; б) однорідним; в) лінійним;
г) в повних диференціалах; д) інша відповідь.
5.2.10. Яка із замін використовується
при розв’язуванні лінійного
диференціального рівняння першого
порядку
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.11. Рівняння
є рівнянням Бернуллі тільки у випадку,
коли:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
і
;
д) інша відповідь.
5.2.12. Рівняння Бернуллі
зводиться до лінійного
заміною:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.13. Рівняння
є рівнянням в повних диференціалах,
якщо:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.14. Загальний інтеграл
рівняння в повних диференціалах
можна записати у виді:
а)
;
б)
;
в)
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.15. Якщо рівняння
допускає інтегрувальний множник
,
який залежить тільки від
,
то його знаходять із рівняння:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.16. Якщо рівняння
допускає інтегрувальний множник
,
який залежить тільки від
,
то його знаходять із рівняння:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.17. Встановити відповідність між диференціальними рівняннями і їх типами:
1)
;
1) Бернуллі;
2)
;
2) з відокремлюваними змінними;
3)
;
3) лінійне.
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
5.2.18. Встановити відповідність між диференціальними рівняннями і їх типами:
1)
;
1) лінійне;
2)
;
2) однорідне;
3)
;
3) з відокремлюваними змінними.
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
5.2.19. Встановити відповідність між диференціальними рівняннями і їх типами:
1)
;
1) лінійне;
2)
;
2) зводиться до однорідного;
3)
;
3) Бернуллі.
а) 1-2, 2-3, 3-1; б)1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
5.2.20. Для рівняння
початкові умови мають вид:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.21. Для рівняння
початкові умови мають вид:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.22. Загальний розв’язок
рівняння
- це функція виду:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.23. Загальний розв’язок
рівняння
- це функція виду:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.24. Загальний розв’язок
рівняння
має вид:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.25. Порядок рівняння
понижується за допомогою заміни:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.26. Рівняння
зводиться до рівняння першого порядку
заміною:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.27. Порядок рівняння
понижується за допомогою заміни:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.28. Якщо система функцій
лінійно залежна на інтервалі
,
то вронськіан
а) дорівнює нулю в одній точці
;
б) відмінний від нуля в одній
точці
;
в) тотожно дорівнює нулю на
;
г) не дорівнює нулю ні в одній
точці
;
д) інша відповідь.
5.2.29. Якщо
- частинний розв’язок рівняння
,
то загальний розв’язок цього рівняння
запишеться у виді:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.30. Нехай дано лінійне
однорідне диференціальне рівняння із
сталими коефіцієнтами
.
Встановити відповідність між величиною
дискримінанта
і видом загального розв’язку рівняння:
1)
;
1)
;
2)
;
2)
;
3)
;
3)
.
а) 1-3,2-1, 3-2; б) 1-1, 2-2, 3-3; в) 1-2, 2-3, 3-1;
г) 1-1, 2-3, 3-2; д) інша відповідь.
5.2.31. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.32. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.33. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.34. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.35. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.36. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.37. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.38. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.39. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.40. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.41. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.42. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.43. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.44. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.45. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.46. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.47. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.48. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.49. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.50. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.51. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.52. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.53. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.54. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
5.2.55. В якому виді слід шукати
частинний розв’язок
рівняння
?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.