MEKN / Лр #2 МЕкн
.pdfЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3
ТЕМА . КОНСТРУЮВАННЯ І ОЦІНКА ВИРОБНИЧИХ ФУНКЦІЙ
Короткі теоретичні відомості |
|
Виробничою функцією називається функція виду: |
|
Y F(X), |
(1) |
де Y – обсяг виробництва;
X (x1,x2 ,...,xn )- вектор виробничих витрат; xi - обсяг витрат i-ого фактора виробництва; n – число факторів виробництва.
Вона виражає кількісний взаємозв'язок виробничих витрат і випуску продукції. Звичайно припускають, що фактори виробництва належать економічній області, тобто усі ненегативні, або X Rn
Основні властивості ВФ:
1. Якщо відсутній хоча б один фактор виробництва, то випуск продукції дорівнює нулю:
|
F(x1,x2 ,...,xk 1,0,xk 1,...,xn ) 0 |
(2) |
2. Якщо X 2 X1, |
то Y2 Y1 . Звичайно ця |
властивість заміняється |
посиленим варіантом. Припускається, що ВФ є двічі диференційована
функція, |
тобто F(X) D2 (Rn )й в економічній області (Rn ) всі перші частинні |
|||||
похідні по витратах ненегативні: |
|
|
||||
|
|
F |
0, |
i=1,…,n. |
(3) |
|
|
|
|
||||
|
|
xi |
|
|
||
3.Другі частинні похідні в (Rn ) негативні: |
|
|||||
|
|
2F |
0, |
i=1,…,n. |
(4) |
|
|
|
|
||||
|
|
xi2 |
|
|
||
Ця |
властивість підкреслює |
справедливість |
закону спадної |
|||
продуктивності факторів. |
|
|
||||
4. ВФ – однорідна функція ступеня , якщо |
|
|||||
|
|
|
|
|
F(x1,x2 ,...,xn ) |
(5) |
|
|
F( x1, x2 ,... xn ) |
||||
Приклади виробничих функцій
В економіці найчастіше застосовуються двохфакторні виробничі функції, тобто залежні від двох параметрів. Наведемо деякі приклади ВФ.
1. Функція Кобба-Дугласа:
|
Y Ax 1 |
x 2 , |
A 0, |
, |
2 |
0, |
1 |
|
2 |
1 |
(6) |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Лінійна виробнича |
функція |
(функція |
з повним |
взаємо заміщенням |
|||||||
ресурсів): |
|
a2 x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
Y a1x1 |
|
|
|
a1,a2 0 |
|
||||||
3. |
ВФ “ витрати-випуск” (функція з повним взаємо доповненням |
|||||||||||
ресурсів). Ця функція є однієї із заданих пропорцій, якими для виробництва однієї одиниці випуску визначається кількість витрат кожного виду:
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||
Y |
|
|
x1 |
|
|
a1,a2 0 |
(8) |
||
min |
|
, a |
|
||||||
a |
|
, |
|||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Завдання. Припустимо, що необхідно оцінити роботу деякої галузі, якщо відомий обсяг виробництва галузі Y, витрати трудових ресурсів L і обсяг використовуваного капіталу К:
№ п/п |
Y |
K |
L |
1 |
100 |
100 |
100 |
2 |
101 |
107 |
104.8 |
3 |
112 |
114 |
110 |
4 |
133 |
122 |
117.2 |
5 |
134 |
131 |
121.9 |
6 |
122 |
138 |
115.6 |
7 |
143 |
149 |
125 |
8 |
152 |
163 |
134.2 |
9 |
151 |
176 |
139.9 |
10 |
126 |
185 |
123.2 |
11 |
155 |
198 |
142.7 |
12 |
159 |
208 |
147 |
13 |
153 |
216 |
148.1 |
14 |
177 |
226 |
155 |
15 |
184 |
236 |
156.2 |
16 |
169 |
244 |
152.2 |
17 |
189 |
266 |
155.8 |
18 |
225 |
298 |
183 |
19 |
227 |
335 |
197.5 |
20 |
223 |
366 |
201.1 |
21 |
218 |
387 |
195.9 |
22 |
231 |
407 |
194.4 |
23 |
179 |
417 |
146.4 |
24 |
240 |
431 |
160.5 |
Виходячи з теоретичних знань можемо припустити, що залежність обсягу виробництва від праці й капіталу описується ВФ Кобба-Дугласа.
Висунемо три гіпотези відносно залежності, що будується : |
|
|
1. |
Y A*K *L , де 0, 0,A 0 |
(9) |
2. |
Y A*K *L , де 0, 0, 1,A 0 |
(10) |
3. Якщо позначити через – темп технічного прогресу, то функція Кобба-Дугласа прийме вид:
Y Ae t *K *L , |
|
де 0, 0, 1,A 0, t – час |
(11) |
Необхідно оцінити значення параметрів A, , , |
за допомогою |
лінійного регресійного аналізу й визначити, яка з гіпотез щонайкраще відбиває емпіричні дані розглянутої галузі.
4. Перевірка 1-ої гіпотези: |
Хід роботи. |
|
|
|
|
|
|
а) ПФ виду (9) приведемо до лінійного виду шляхом |
|
||
логарифмування: |
|
|
(12) |
lnY ln A ln K ln L |
|
|
|
б) позначивши |
|
, одержимо |
рівняння |
Z lnY,W1 ln K,W2 ln L, 0 |
ln A, 1 , 2 |
||
множинної регресії:Z 0 1W1 2W2 |
|
(13) |
|
в) За допомогою вбудованої функції |
лінійної регресії |
або за |
|
допомогою сервісного пакета «Аналіз даних» оцінимо параметри 0 , 1, 2 :
0 0.04302, 1 0.245099, 2 0.76056
г) Запишемо параметри 1, 2 й обчислимо параметр А. Для цього знайдемо експоненту від константи регресії 0 A e 0 за допомогою
Майстра функцій.
0.245, 0.766,А 0.958
д) розрахуємо теоретичні значення обсягу виробництва по формулі:
Y* 0.958K0.245 L0.766 (14)
е) за допомогою <Майстра діаграм> побудуємо графіки фактичних Y і теоретичних Y* значень обсягу виробництва галузі.
00 |
50 |
00 |
50 |
0 |
Висновок: отримана функція (14) досить добре відбиває реальні дані. Значення коефіцієнта детермінації R2 0.955 говорить про гарну функциональной залежності. Крім того, сума 0.245 0.766 1.11 близька до 1, тому можна припустити, що реальна залежність, можливо, описується ПФ Кобба-Дугласа.
Гіпотези 2 і 3 перевірити самостійно.
Дамо лише необхідні коментарі:
1.Для функції Кобба-Дугласа ( 1) можна записати:
|
Y A*K *L A*K *L1 |
(15) |
|||
|
Зробивши заміну зміннихZ |
Y |
,X |
K |
, одержите: Z A* X . Після |
|
|
|
|||
|
|
L |
L |
||
логарифмування рівняння регресії прийме вид: |
|||||
|
lnZ ln A ln X |
(16) |
|||
2. |
Для функції, у якій врахований технічний прогрес, проробити ті ж |
||||
|
перетворення, що й для функції Кобба-Дугласа. У результаті одержите: |
||||
|
Z Ae t X |
|
|
||
Після логарифмування буде мати рівняння множинної регресії:
lnZ ln A ln X t, (17)
для якого визначаються параметри , ,A. t приймає значення від 1 до 24.