1. Графический способ измерения параметров прямой линии

• Сначала надо провести прямую линию на графике так, чтобы она пересекла планки погрешностей всехточек и при этом как можно ближе прошла ко всем точкам (см. в качестве примера график на рисунке 4.1, показывающий зависимость силы упругостиF, возникающей в растянутой пружине от величины растяженияh). После этого можно приступить к измерениюkиb.

• kпредставляет собой угловой коэффициент прямой, поэтому его можно найти как отношение приращения функцииFк приращению аргументаx. Для этого надо взять на экспериментальной прямой линии две произвольные точкиAиB, определить их координаты, а затем поделить разность ординат на разность абсцисс:

. (4.2)

Обратите внимание: точки AиB– это не экспериментальные точки, а просто двелюбые(произвольные) точки,лежащие на прямой. Для большей точности измерения углового коэффициента желательно, чтобы точкиAиBбыли подальше друг от друга. Например, на графике, показанном на рисунке 4.1, выделены точки с координатами:A(0; 5 мН),B(11 см; 47 мН). При этом получается:.

• b– это свободный член уравнения прямой линии. Он равен длине отрезка, который прямая линия графика отсекает на оси ординат (на вертикальной оси), поэтому для измеренияbнадо довести экспериментальную прямую до вертикальной оси и определить ординату точки пересечения. На рисунке 4.1 точка пересечения – это точкаA, её ордината равна 5 мН. Таким образом,b= 5 мН.

Описанное правило измерения свободного члена bсправедливо при условии, что началом координат выбрана точка (0; 0). Если же удобнее выбрать другое начало координат, то следует использовать другое правило: надо выбрать на экспериментальной прямой две произвольные точкиAиB, определить их координаты, а затем найти уравнение прямой, проходящей через эти точки. В аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записывают так:

. (4.3)

Преобразование этого уравнения к виду даёт:

,

откуда следует, что

. (4.4)

Рассмотрим для примера график, показанный на рисунке 4.2. На этом рисунке рольxвыполняет объём газаV, а рольy– давление газаp.

На прямой линии, проведённой через планки погрешностей экспериментальных точек, выбраны две произвольные точки с координатами : A(20 л; 72 кПа),B(31 л; 97 кПа). Обратите внимание: точкаAвзята слева от всех экспериментальных точек, а точкаB– справа. Расчёт по формулам (4.4) для выбранных точек даёт:

.

2. Аналитический способ измерения параметров прямой линии

Он называется методом наименьших квадратов. Его идея в том, что среди всевозможных пар чиселkиbсуществует такая единственная пара, для которой сумма квадратов отклонений ординат экспериментальных точекy_iот соответствующих ординат прямой линии с параметрамиkиb, то есть от, минимальна:

.

Здесь n– число экспериментальных точек, а наборы чисел (x_i) и (y_i) – результаты измерений, то есть абсциссы и ординаты экспериментальных точек.

Не рассматривая метод наименьших квадратов в деталях, приведём конечные выражения, позволяющие измерить kиb.

, (4.5)

где обозначено:

(4.6)

Проделав вычисления по формулам (4.6) и (4.5), следует провести на графике прямую линию. Для этого надо по формуле вычислить координаты двух произвольных (контрольных) точекAиB, нанести эти точкиA(x_a,y_a) иB(x_b,y_b) на график и соединить их прямой линией. Для повышения точности проведения линии следует выбирать контрольные точкиAиBза пределами области, в которой расположены экспериментальные точки. Это значит, что значениеx_aнадо выбрать меньше самого маленького значения в наборе (x_i), а значениеx_b– наоборот, больше самого большого значения в наборе (x_i). Если все вычисления проделаны верно, то прямая линия автоматически пройдётоптимальнымобразом, то есть пересечёт планки погрешностей всех экспериментальных точек и при этом будет максимально приближена к экспериментальным точкам.