Лекция № 40. Расчет тонкостенных сосудов и резервуаров.
Если
толщина стенок цилиндра
мала
по сравнению с радиусами
и
,
то известное выражение для тангенцальных
напряжений приобретает вид
т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).
Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р, распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.
Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.
Рис.1.
Фрагмент тонкостенного резервуара и
его напряженное состояние.
Размеры
элемента по меридиану и по перпендикулярному
к нему направлению обозначим соответственно
и
,
радиусы кривизны меридиана и
перпендикулярного к нему сечения
обозначим
и
,
толщину стенки назовем t.
По
симметрии по граням выделенного элемента
будут действовать только нормальные
напряжения
в
меридиальном направления и
в
направлении, перпендикулярном к
меридиану. Соответствующие усилия,
приложенные к граням элемента, будут
и
.
Так как тонкая оболочка сопротивляется
только растяжению, подобно гибкой нити,
то эти усилия будут направлены по
касательной к меридиану и к сечению,
нормальному к меридиану.
Усилия
(Рис.2)
дадут в нормальном к поверхности элемента
направлении равнодействующую ab,
равную
Рис.2.
Равновесие элемента тонкостенного
резервуара
Подобным
же образом усилия
дадут
в том же направлении равнодействующую
Сумма
этих усилий уравновешивает нормальное
давление, приложенное к элементу
Отсюда
Это
основное уравнение, связывающее
напряжения
и
для
тонкостенных сосудов вращения, дано
Лапласом.
Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.
Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О. Радиус соответствующего параллельного круга будет х.
Рис.3.
Равновесие нижнего фрагмента тонкостенного
резервуара.
Каждая
пара усилий
,
действующих на диаметрально противоположные
элементы
проведенного
сечения, дает вертикальную равнодействующую
bс,
равную
сумма
этих усилий, действующих по всей
окружности проведенного сечения, будет
равна
;
она будет уравновешивать давление
жидкости
на
этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной
части сосуда
.
Отсюда
Зная
уравнение меридиональной кривой, можно
найти
,
х
и
для
каждого значения у,
и стало быть, найти
,
а из уравнения Лапласа и
Например,
для конического резервуара с углом при
вершине
,
наполненного жидкостью с объемным весом
у
на
высоту h,
будем иметь:
тогда
Для
сферического сосуда радиусом
,
находящегося под внутренним давлением
,
по симметрии
;
тогда из уравнения (Лапласа), так как
и
Если
меридиональная кривая будет иметь
переломы с разрывом непрерывности угла
,
то равновесие тонкой оболочки у места
перелома может быть обеспечено лишь
наличием реакций, приложенных к оболочке
по окружности в этом месте. Появление
таких реакций обеспечивается устройством
специальных колец, способных брать на
себя усилия, возникающие в них в связи
с неуравновешенностью напряжений
по
обе стороны точки перелома.