Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ 2014 / тв 19 характеристики непрерывных СВ.ppt
Скачиваний:
39
Добавлен:
15.02.2016
Размер:
152.58 Кб
Скачать

Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их нахождения путем замены:

xi x

pi f (x)dx

Тогда получаем формулы для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:

Дискретные СВ

Непрерывные СВ

n

 

M[ X ] xi pi

M[ X ] x f (x)dx

i 1

 

n

 

D[X ] (xi mx )2 pi

D[ X ] (x mx )2 f (x)dx

i 1

 

D[ X ] M[ X 2 ] mx 2

 

 

 

 

 

n

 

M[ X 2

] xi2 pi

 

M[X 2 ] x2 f (x)dx

 

i 1

 

 

Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

 

0,

x 0

 

2

,

0 x 1

F(x) ax

 

1,

x 1

 

Найти величину a, плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0.25-0.5), математическое ожидание и дисперсию .

1. Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х=1 ax2=1, следовательно, a=1.

2. Плотность вероятности находится, как производная от функции распределения:

 

 

0,

x 0

 

 

2x,

0 x 1

f (x) F (x)

 

 

0,

x 1

 

 

3. Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с помощью функции распределения и с помощью плотности вероятности.

1 способ.

Используем формулу нахождения вероятности через функцию распределения:

p(0.25 x 0.5) F(0.5) F(0.25)0.52 0.252 0.1875

2 способ.

Используем формулу нахождения вероятности через плотность вероятности:

0.5

 

 

p(0.25 X 0.5) 2xdx x2

00..255

0.1875

0.25

 

 

4. Находим математическое ожидание:

M[ X ] x f (x)dx

1

2x3

 

1

 

2

 

 

 

 

 

M [ X ] x 2xdx

 

 

 

3

 

 

3

0

 

0

 

 

 

 

 

5. Находим дисперсию:

D[ X ] M[ X 2 ] mx 2

 

 

 

 

 

 

 

M[X 2 ] x2 f (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x4

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M[ X 2 ] x2 2xdx

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[ X ]

1

 

2

2

 

 

 

1

2

 

3

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

Случайная величина Х подчиняется закону распределения

ax,

0 x 1

f (x)

0,

x 0, x 1

 

Найти величину a и функцию распределения.

1. Для нахождения параметра a используем свойство плотности распределения:

f ( x)dx 1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

ax

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a x dx

 

 

 

1

2

 

 

 

2

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

2. Функция распределения находится путем интегрирования плотности вероятности:

x

x

F ( x) f ( x)dx 2xdx x2

 

0

При 0<x<1. Тогда:

 

 

0,

x 0

 

2

,

0 x 1

F(x) x

 

 

1,

x 1