128

Тема 8. Диференціальні рівняння

Рівняння з відокремлюваними змінними

8.1 Знайти загальні розв’язки (загальні інтеграли) диференціальних рівнянь:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ; 12) ; 13) ; 14) 15) .

8.2. Знайти частинні розв’язки диференціальних рівнянь (задача Коші):

1) ; 2) ;

3); 4);

5) .

8.3. Наелектризоване тіло поступово втрачає свій заряд. Вва-

жаючи, що швидкість розряджання тіла пропорційна заряду, знайти заряд як функцію часу. Початковий заряд дорівнює , коефіцієнт пропорційності - .

8.4. Знайти рівняння кривої, яка проходить через точку (2,3), якщо відрізок будь-якої її дотичної, який міститься між координатними осями ділиться навпіл в точці дотику.

8.5. Знайти рівняння кривої, в якої відрізок будь-якої дотичної між точкою дотику та віссю абсцис ділиться в точці перетину з віссю ординат навпіл.

8.6. Матеріальна точка масою 1г рухається прямолінійно під дією сили, яка прямо пропорційна часу, що відлічується з моменту , і обернено пропорційна швидкості руху точки. У моментс. швидкість дорівнювала0,5м/с, а сила -Н. Якою буде швидкість через 1 хв. після початку руху?

8.7. Тіло за 10 хв. охололо від 100⁰С до 60⁰С. Температура оточуючого середовища є незмінною і дорівнює 20⁰С. Швидкість охолодження пропорційна різниці температур тіла та оточуючого середовища (закон Ньютона). Знайти формулу залежності температури тіла від часу. Коли тіло охолоне до 25⁰С?

8.8. За 30 днів розпалось 50% початкової кількості радіоактивної речовини. Через скільки часу залишиться 1% від початкової кількості?

8.9. Маса ракети з повним запасом пального дорівнює М, без пального - m, швидкість виходу продуктів горіння з ракети дорівнює C; початкова швидкість ракети дорівнює нулю. Знайти швидкість ракети після згоряння пального, нехтуючи силою ваги та опором повітря (формула Ціолковського).

Однорідні диференціальні рівняння

8.10. Знайти загальні розв’язки ( загальні інтеграли) диференціальних рівнянь:

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)	.

8.11. Знайти частинні розв’язки диференціальних рівнянь:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

8.12. Знайти рівняння кривої, якщо квадрат довжини відрізка, що відтинається будь-якою її дотичною на осі ординат, дорівнює добутку координат точки дотику.

8.13. Знайти рівняння кривої, якщо довжина радіус-вектора будь-якої її точки дорівнює довжині відрізка, що відтинається на осі ординат дотичною до кривої в точці.

8.14. Форму якої поверхні обертання повинно мати дзеркало, щоб всі промені, які виходять із точкового джерела, після відбиття направлялись паралельним пучком?

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

8.15. Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь:

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)	;
9)	;	10)	;
11)	;	12)	;
13)	;	14)	.

8.16. Знайти частинні розв’язки диференціальних рівнянь:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

8.17. Знайти загальні інтеграли диференціальних рівнянь:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) .

8.18. Знайти рівняння кривої, яка проходить через точку , якщо довжина відрізка, що відтинається будь-якою її дотичною на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику.

8.19. Матеріальна точка масою рухається прямолінійно. На неї діє сила, пропорційна часу ( коефіцієнт пропорційності -), який відлічується з моменту, коли швидкість дорівнювала нулю. Крім того, на точку діє сила опору середовища, пропорційна швидкості (коефіцієнт пропорційності). Знайти залежність швидкості від часу.

Розв’язати задачі 8.20. та 8.21., враховуючи, що якщо змінний електричний струмтече вздовж провідника з коефіцієнтом індуктивностіта опором, то падіння напруги вздовж провідника буде дорівнювати.

8.20. Різниця потенціалів на затискачах котушки рівномірно спадає від В до В на протязі 10 с. Який буде струм у кінці десятої секунди, якщо на початку досліду він був А? Опір котушки – 0,12 Ом. Коефіцієнт індуктивності –0,1 Гн.

8.21. Знайти струм в котушці в момент часу , якщо її опір, коефіцієнт індуктивності -, початковий струм, електрорушійна сила змінюється за законом.

8.22. Знайти рівняння кривої, для якої площа трикутника, утвореного віссю абсцис, дотичною до кривої та радіус-вектором точки дотику, залишається сталою і дорівнює .

Диференціальні рівняння другого та вищих порядків,

які допускають пониження порядку

8.23. Знайти загальні розв’язки (загальні інтеграли) диференціальних рівнянь:

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;
7)	:	8)	;
9)	;	10)	;
11)	;	12)	;
13)	;	14)	;
15)	;	16)	;
17)	;	18)	;
19)	;	20)	;
21)	;	22)	.

8.24. Знайти загальні розв’язки ( загальні інтеграли) диференціальних рівнянь:

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)

8.25. Знайти частинні розв’язки диференціальних рівнянь:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

8.26. Із загального інтеграла диференціального рівняння виділити інтегральну криву, яка проходить через точку М(1,1) і дотикається до прямої .

8.27. Із загального інтеграла диференціального рівняння виділити інтегральну криву, яка проходить через точку М(0,1) і дотикається до прямої .

8.28. Матеріальна точка масою m падає з висоти x_o під дією сили ваги. Знайти закон руху точки, якщо опір повітря пропорційний квадрату швидкості v (коефіцієнт пропорційності - k). Початкова швидкість дорівнює нулю.

8.29. Вздовж осі Oy в додатному напрямку рухається з постійною швидкістю v точка A (ціль). На площині Oxy рухається точка M (переслідувач) з постійною швидкістю так, що вектор швидкості завжди направлений в точку A. Знайти траєкторію точки М (криву переслідування), якщо в момент часу t = 0 точка A знаходилась в початку координат, а точка М – на осі Ох на відстані від цілі.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння