140

Тема 9. ЧИСЛОВІ ТА ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

Ряди з додатними членами

9.1. Заданий загальний член ряду . Написати перші чотири члени ряду та член ряду, якщо

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) .

9.2. Знайти вираз для -го члену ряду за заданими першими членами:

1)	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6);
7);	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) .

9.3. Обчислити суму рядів, запропонованих у прикладах 9.2(1,2,4,6), а також

а) ; б) .

9.4. Відомо, що даний ряд розбігається. Чому?

1) ; 2) ;

3) .

9.5. Перевірити, чи виконується необхідна ознака збіжності ряду:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) 0,6+0,51+0,501+0,5001+...;	6) ;
7) ;	8) .

Використовуючи ознаку порівняння, дослідити на збіжність наступні ряди:

9.6. .

9.7. .

9.8. .

9.9. . 9.10. .

9.11.. 9.12. .

9.13. . 9.14. .

9.15. .

Використовуючи ознаку Даламбера, дослідити на збіжність наступні ряди:

9.16. .	9.17. .
9.18 .	9.19. .
9.20. .	9.21. .
9.22. .	9.23..

9.24. .

9.25. .

Використовуючи радикальну ознаку Коші, дослідити на збіжність наступні ряди:

9.26. .	9.27. .
9.28. .	9.29..

9.30. .

9.31. .

9.32. .

Використовуючи інтегральну ознаку Коші, дослідити на збіжність наступні ряди:

9.33. .	9.34. .
9.35. .	9.36..
9.37. .	9.38..
9.39. .	9.40. .
9.41. .	9.42. .

Дослідити на збіжність ряди:

9.43. .	9.44. .
9.45..	9.46. .
9.47. .	9.48..
9.49. .	9.50. .

9.51. .

9.52. .

9.53. . 9.54. .

9.55. .

9.56. .

Ряди з довільними членами

Дослідити на збіжність наступні ряди:

9.57. .

9.58. .

9.59. .

9.60. .

9.61. . 9.62. .

9.63. . 9.64. 1,1-1,01+1,001-1,0001+... .

9.65. .

9.66. .

9.67. .	9.68. .
9.69. .	9.70. .
9.71. .	9.72. .

9.73. .

9.74. .

9.75. .

9.76. .

9.77. Оцінити похибку, що утворюється при заміні суми ряду сумою його перших членів. Оцінити точність такого наближення при .

9.78. Оцінити похибку, що утворюється при заміні суми ряду сумою його перших 1000 членів.

9.79. Скільки членів ряду треба взяти, щоб обчислити його суму з точністю до 0,01? До 0,001?

9.80. Скільки членів ряду треба взяти, щоб обчислити його суму з точністю до 0,01? До 0,001?

Функціональні та степеневі ряди

Знайти область збіжності наступних рядів:

9.81. .	9.82. .
9.83..	9.84. .
9.85. .	9.86. .
9.87. .	9.88. .
9.89. .	9.90..
9.91. .	9.92..

9.93. .

9.94. . 9.95. .

9.96. .

9.97. . 9.98. .

9.99. .

9.100 .

9.101. Показати мажорність рядів:

1) ; 2) .

9.102. Розкласти функцію у ряд Тейлора в околі точки .

9.103. Розкласти функцію у ряд Тейлора в околі точки .

Розкласти задані функції в ряд Маклорена:

9.104. . 9.105..

9.106. . 9.107. .

9.108. .

9.109.

9.110. .	9.111. .
9.112. .	9.113. .

9.114. розкласти за степенями .

9.115. розкласти за степенями .

9.116. Використовуючи розклад у ряд функції

для , розкласти в ряд функцію .

Застосування степеневих рядів

9.117. Обчислити з точністю до 0,00001.

Обчислити значення функції з точністю до 0,001:

9.118. . 9.119. . 9.120. .

9.121. . 9.122. . 9.123. .

9.124. . 9.125. . 9.126. .

9.127. . 9.128. . 9.129. .

9.130. . 9.131. . 9.132..

9.133..

9.134. Використовуючи розклад у ряди функції

, обчислити границі:

1) ; 2) .

Обчислити наближене значення інтегралів з точністю до 0,001:

9.135. .	9.136. .
9.137..	9.138.
9.139. .	9.140. .
9.141. .	9.142. .
9.143. .	9.144. .

9.145. Проінтегрувати наближено за допомогою ряду Тейлора рівняння , взявши шість перших членів розкладу, відмінних від нуля.

9.146. . Знайти чотири перших (відмінних від нуля) члена розкладу розв’язку задачі Коші.

9.147. . Знайти чотири перших (відмінних від нуля) члена розкладу розв’язку задачі Коші.

9.148. . Знайти чотири перших (відмінних від нуля) члена розкладу розв’язку задачі Коші.

9.149. Знайти точний розв’язок диференціального рівняння , використовуючи ряд Тейлора.

9.150. . Знайти п’ять перших членів розкладу розв’язку задачі Коші.

Відповіді

9.2. 3) ; 6) ; 7) ; 8) .

9.3. а) ; б) . 9.5. 1) так; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) ні; 6) ні; 7) ні; 8) так. 9.6. Збігається. 9.7. Збігається. 9.8. Збігається. 9.9. Розбігається. 9.10. Збігається. 9.11. Розбігається. 9.12. Збігається.

9.13. Збігається; 9.14 Розбігається; 9.15. Збігається; 9.16. Збігається. 9.17. Розбігається. 9.18. Розбігається. 9.19. Збігається.

9.20. Збігається. 9.21. Збігається. 9.22. Збігається. 9.23. Розбігається. 9.24. Розбігається. 9.25. Збігається. 9.26. Збігається.

9.27. Збігається. 9.28. Розбігається. 9.29. Збігається. 9.30. Збігається. 9.31. Розбігається. 9.32. Збігається. 9.33. Розбігається.

9.34. Розбігається. 9.35. Збігається, так як .

9.36. Збігається, так як . 9.37. Збігається. 9.38. Збігається. 9.39. Розбігається. 9.40. Збігається. 9.41. Збігається.

9.42. Збігається. 9.43. Збігається. 9.44. Збігається. 9.45. Розбігається. 9.46. Збігається. 9.47. Розбігається. 9.48. Збігається.

9.49. Розбігається. 9.50. Розбігається. 9.51. Збігається.

9.52. Розбігається. 9.53. Розбігається. 9.54. Збігається. 9.55. Збігається. 9.56. Збігається. 9.57. Розбігається. 9.58. Збігається умовно. 9.59. Збігається умовно. 9.60. Розбігається. 9.61. Збігається умовно. 9.62. Розбігається. 9.63. Збігається умовно.

9.64. Розбігається. 9.65. Збігається абсолютно. 9.66. Збігається абсолютно. 9.67. Збігається абсолютно. 9.68. Збігається абсолютно. 9.69. Збігається абсолютно. 9.70. Збігається умовно.

9.71. Розбігається. 9.72. Збігається умовно. 9.73. Збігається абсолютно. 9.74. Збігається абсолютно. 9.75. Збігається умовно.

9.76. Збігається абсолютно. 9.77. . 9.78. . 9.79. . 9.80. .

9.81. . 9.82. . 9.83. . 9.84. . 9.85. .

9.86. . 9.87. . 9.88. . 9.89. .

9.90. . 9.91. . 9.92. .

9.93. . 9.94. . 9.95. .

9.96. . 9.97. . 9.98. .

9.99. . 9.100. .

9.102. .

9.103. .

9.104. .

9.105. .

9.106. .

9.107. .

9.108. .

9.109. .

9.110. . 9.111. .

9.112. .

9.113. . 9.114. .

9.115. . 9.116. .

9.117. 0,81873. 9.118. 118. 9.119. 0,174. 9.120. 0,985.9.121. 0,966. 9.122. 0,9511. 9.123. 0,1392. 9.124. –0,0202. 9.125. 0,6931.

9.126. 1,037. 9.127. 3,009. 9.128. 3,107. 9.129. 1,005. 9.130. 5,053. 9.131. 3,017. 9.132. 2,076. 9.133. 2,004. 9.134. 1) 2; 2) 1.

9.135. 0,4854. 9.136. 0,1991. 9.137. 1,9963. 9.138. 0,2483.

9.139. 0,102. 9.140. 0,4931. 9.141. 0,7635. 9.142. 0,545.

9.143. 0,1554. 9.144. 0,4332.

9.145. .

9.146. .

9.147. .

9.148. .

9.149. .

9.150. .