Многомерный нелинейный регрессионный анализ

Математическая модель многомерной нелинейной функции регрессии имеет вид (для двух факторов)

. (3.38)

Уравнение многомерной нелинейной регрессии для этого случая

. (3.39)

Математическая запись метода наименьших квадратов в этом случае имеет вид:

(3.40)

Коэффициенты регрессии определяются с помощью надстройки «Поиск решения».

Таблица 3.18. Вывод итогов для измененной модели

Пример 3.10. Выполнить многомерный нелинейный регрессионный анализ для данных примера 3.9.

Решение. Запишем уравнение многомерной нелинейной регрессии

. (3.41)

Размещение информации и результаты расчета приведены в таблице 3.19

Таблица 3.19. Результаты расчета

Расчетные формулы приведены в таблице 3.20.

Таблица 3.20. Расчетные формулы

Адрес ячейки	Формула	Запись на языке ЭТ
D4		=b4^2
E4		=b4*c4
F4		=c4^2
H4	Формула (3.41)	СУММПРОИЗВ(a4:f4;$a$2:$f$2)
I4		=g4 - h4
J4		=i4^2
K4		=g4 - $k$2
L4		=k4^2
H2	Формула (3.40)	СУММКВРАЗН(h4:h45;g4:g45)
J2		КОРРЕЛ(g4:g45;h4:h45)
K2		СРЗНАЧ(g4:g45)
J46		СУММ(j4:j45)
L46		СУММ(L4:L45)
J47		=j46/(d47 – e47)
L47		= L46/(d47 – e47)
J48		=1-j47/L47
L48		=j48*g47/((1-j48)*f47)

В итоге расчета получена модель нелинейной регрессии

.

Так как расчетное значение критерия Фишера больше критического, то модель регрессии можно использовать для прогнозирования.

3.10. Методика получения уравнений парной линейной регрессии при большом объеме выборки

Если количество наблюдений велико, то для упрощения расчетов данные наблюдений принято группировать, т.е. строить корреляционную таблицу. Для примера рассмотрим методику получения уравнения парной линейной регрессии по данным примера 3.9

(3.42)

Корреляционную таблицу строят по сгруппированному (упорядоченному) интервальному ряду. В первой строке и первом столбце таблицы указывают границы разрядов для , а также их середины. В ячейки, расположенные на пересечении строк и столбцов, заносят частоты попадания пар значенийв соответствующие разряды корреляционной таблицы 3.21. Эти частоты обозначают. Суммыпо соответствующим столбцам и строкам обозначаютиПроверка правильности заполнения корреляционной таблицы:

(3.43)

где - количество разрядов факторного признакаи результативного признака

Таблица 3.21. Корреляционная таблица

		0,18-0,246	0,246-0,312	0,312-0,378	0,378-0,444	0,444-0,51
		0,213	0,279	0,345	0,411	0,477
3,78- 5,23	4,505	1			3	1	5
5,23-6,68	5,955		2	7	3	3	15
6,68-8,13	7,405		6	1	1		8
8,13-9,58	8,855	3	8				11
9,58-11,03	10,305	1	1		1		3
		5	17	8	8	4	42

Для упорядочения информации определяем минимальные и максимальные значения исследуемых признаков, устанавливаем количество разрядов по каждому признаку и вычисляем длину разрядов. Так как в данном случае объем выборки сравнительно небольшой то принимаем количество разрядовДлина разрядов определяется по формулам:

Поясним порядок заполнения корреляционной таблицы по исходным данным исследуемых признаков, приведенным в таблице 3.22. Данные второй строки этой таблицы, т.е. первое совместное появление , дают одно значение для ячейки корреляционной таблицы, расположенной на пересечении первого столбца и четвертой строки. Данные третьей строки таблицы 3.22 - первое совместное появлениедля ячейки, расположенной на пересечении четвертого столбца и пятой строки, и т.д.

Таблица 3.22. Данные наблюдений

По расположению частот совместного появления признаков можно предположить, что между наблюдается отрицательная корреляция (см. рис.3.2).

Расчетные формулы:

(3.44)

Проверка на тесноту связи: (3.45)

Доверительные границы для уравнения регрессии определяются по выражению

(3.46)

где - соответственно остаточное стандартное отклонение и критическое значение критерия Стьюдента. Остаточная дисперсия считается по формуле (3.47), где- среднее значениев рассматриваемом разряде

(3.47) Таблица 3.23. Результаты расчета

Рис. 3.10. Доверительный интервал для линии регрессии

Так для первого разряда по таблице 3.21 имеем

Результаты расчета представлены в таблице 3.23 и на рис.3.10, запись расчетных формул на языке ЭТ – в таблице 3.24.

Таблица 3.24. Расчетные формулы

Адрес ячейки	Формула	Запись на языке ЭТ
J3		=СУММ(e3:i3)
K3		=d3*j3
L3		=d3*k3
M3		=d3*СУММПРОИЗВ($e$1:$i$1;e3:i3)
E8		=СУММ(e1:e7)
E9		=e1*e8
E10		=e1*e9
J8		=СУММ(j3:j7)
J9		=СУММ(e9:i9)
J10		=СУММ(e10:i10)
E11		=j9/j8
E12		=k8/j8
K8		=СУММ(k3:k7)
L8		=СУММ(L3:L7)
M8		=СУММ(m3:m7)
G11	Dx	=j10/j8-e11^2
G12	Dy	=L8/j8-e12^2
I11		=КОРЕНЬ(g11)
I12		=КОРЕНЬ(g12)
K11		=m8/j8-e11*e12
K12		=k11/(i11*i12)
M11		=k12*i12/i11
M12		=e12-m11*e11
E13		=СУММПРОИЗВ($d$3:$d$7;e3:e7)/e8
E14		=$m$12+$m$11*e1
E15		=e13-e14
E16		=e15^2*e8
K14	t	2,02 (из таблицы)
J16		=СУММ(e16:i16)
K16		=КОРЕНЬ(j16/40)
L14		=k14*k16
L16		=ABS(k12)*КОРЕНЬ(41)
E17	-	=e$14-$L$14
E18	+	=e$14+$L$14

Примечания.

1. Для рассматриваемого примера

2. Под в расчетных формулах понимаетсясоответственно.