6.3 Минимизация функции одной переменной
Поиск локального минимума функции одной переменной на некотором отрезке осуществляется командой fminbnd. Одна из модификаций fminbnd имеет вид fminbnd('file', x1,x2). Здесь
file – имя файл-функции, вычисляющей значение функции,
x1 и x2 – границы отрезка изоляции локального минимума.
Первый входной аргумент можно задать как указатель на файл-функцию @»file. О других модификациях команды fminbnd можно узнать с помощью команды doc fminbnd.
Найти локальные минимумы функции e-xcos2πx на отрезке [0;2]. Создадим файл-функцию gr, вычисляющую значение функции e-xcos2πx при заданном значении аргумента x:
function y=gr(x)
y=exp(-x)*cos(2*pi*x);
Перед нахождением локальных минимумов построим график исследуемой функции командой fplot (рис. 6.3):
>> fplot(@gr,[0,2])
Рис. 6.3
На рис. 6.3 видно, что исследуемая функция имеет два локальных минимума. Вычислим значение х, при котором достигается второй локальный минимум:
>> x2=fminbnd(@gr,1.4,1.6)
x2 =
1.4749
Итак, второй локальный минимум достигается при х ≈ 1,4779.
Для одновременного вычисления значения функции в точке минимума следует вызвать fminbnd с двумя аргументами:
>> [x2,f]=fminbnd(@gr,1.4,1.6)
x2 =
1.4749
f =
-0.2260
Найдите самостоятельно остальные локальные минимумы и максимумы. Для нахождения локального максимума нет специальной функции, очевидно, что нужно искать минимум функции с обратным знаком.
6.4 Минимизация функции нескольких переменных
Для поиска минимума функции нескольких переменных применяется команда fminsearch.
Использование команды продемонстрируем на примере нахождения локального минимума функции f(x,y)=sinsin, зависящей от двух переменных x и y. Сначала получим представление о поведении функции, построив ее линии уровня при помощи следующих команд (рис. 6.4):
>> [X,Y]=meshgrid(0:.01:2);
>> Z=sin(pi/2*X.^2).*sin(pi/2*Y.^2);
>> [CMatr,h]=contour(X,Y,Z,[-.9,-.5,-.1,.1,.5,.9]);
>> clabel(CMatr,h)
На графике, приведенном на рис. 6.4, видно расположение локальных минимумов и максимумов. Один из локальных минимумов имеет стартовое приближение (1;1,7) в системе координат xOy.
Рис. 6.4
Перед применением fminsearch необходимо создать файл-функцию, вычисляющую значения данной функции, причем аргументом файл-функции должен быть вектор, первый элемент которого соответствует переменной х, а второй – y. Приведем текст требуемой файл-функции:
function f=gr2(arg)
x=arg(1);
y=arg(2);
f=sin(pi/2*x.^2).*sin(pi/2*y.^2);
Теперь для уточнения координат точки минимума вызовем fminsearch с двумя входными аргументами – указателем на файл-функцию gr2 и стартовым приближением (1;1,7). В результате выходной аргумент – вектор M, возвращает координаты искомой точки минимума:
>> M=fminsearch(@gr2,[1,1.7])
M =
1.0000 1.7320
Для получения значения функции в точке минимума следует вызвать fminsearch с двумя выходными аргументами:
>> [M,f]=fminsearch(@gr2,[1,1.7])
M =
1.0000 1.7320
f =
-1.0000
Команды fzero, fsolve, fminbnd и fminsearch позволяют задать дополнительный параметр options, контролирующий вычислительный процесс. Значение options следует предварительно сформировать при помощи команды optimset в соответствии с характером требуемого контроля.
В разделе 6.3 найдено приближенное значение локального минимума функции e-xcos2πx. Представим результат в формате вывода long:
>> format long
>> [x2,f]=fminbnd(@gr,1.4,1.6)
x2 =
1.47489614357390
f =
-0.22596214557056
Задание максимальной точности eps нахождения локального минимума осуществляется при помощи следующих команд:
>> options=optimset('TolX',eps);
>> [x2,f]=fminbnd(@gr,1.4,1.6,options)
x2 =
1.47488038336724
f =
-0.22596214670612
Здесь eps – системная переменная MATLAB (см. разд. 1.2):
>> disp(eps)
2.220446049250313e-016
Аналогичным образом точность задается при нахождении корней и минимизации функции нескольких переменных. Об остальных параметрах команды optimset можно узнать с помощью команды doc optimset.
В следующем разделе проводится сравнение результатов вычислений с различной заданной точностью.