- •1. Множини. Дії над множинами
- •2. Множина дійсних чисел та її підмножини
- •3. Поняття функції дійсної змінної
- •3.1. Способи задання функції
- •3.2. Обернена функція
- •3.3. Складена функція
- •4. Елементи поведінки функції
- •4.1. Обмеженість функції
- •4.2. Монотонність функції
- •4.3. Парність, непарність, періодичність
- •5. Елементарні функції
- •6. Числові послідовності
y(x) = y |
+ |
yi+1 |
− yi |
(x − x ) , i = |
|
. |
(1) |
|
1, (n −1) |
||||||||
|
|
|||||||
i |
|
xi+1 |
|
i |
|
|||
|
|
− xi |
|
|||||
Графічний спосіб. Функція задається лінією на площині, яка називається графіком функції. При цьому необхідно попередньо задати систему координат (не обов’язково прямокутну), масштаби вимірювання числових величин та геометричне правило побудови відповідності.
Словесний (описовий) спосіб. Функція описується правилом, за яким аргументу x відповідає значення y . Уявіть собі, що Ви хочете повідоміти колезі по телефону виявлену Вами закономірність
між деякими величинами.
3.2. Обернена функція
Нехай для заданої функції y = f (x) довільним двом різним значенням аргумента відповідають різні значення функції, тобто виконується умова: x1, x2 D( f ) : x1 ≠ x2 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Тоді кожному значенню y відповідає єдине значення x D( f ) , таке, що f (x) = y . Так визначену
зворотню відповідність y → x називають оберненою функцією і позначають x = f −1 ( y) . Звичним є позначення аргумента літерою x , а значення функції – літерою y . Перейшовши до цих позначень,
одержимо y = f −1 (x) – обернену функцію до функції y = f (x) . Для оберненої функції область
визначення і область значень міняються місцями: D( f −1 ) = E( f ), E( f −1 ) = D( f ) . Функція, що має обернену, називається оборотною.
Приклад 4. Для функції y = |
|
2 |
знайти обернену . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3x − 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Виразимо x через y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
2 |
|
3x − 4 = |
2 |
x = |
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −4 |
|
y |
|
3y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Помінявши в останній рівності x |
і y місцями, отримаємо обернену функцію y = |
2 |
+ |
4 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
3 |
|
|
3.3. Складена функція |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нехай функції f і g |
визначені відповідно на D( f ) |
і D(g) . Якщо |
E(g) D( f ) , то на множині |
|||||||||||||||
D(g) можна |
визначити функцію |
y = f (g(x)), яка |
називається |
складеною |
функцією, або |
|||||||||||||
суперпозицією (композицією) функцій f і g . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Наприклад, |
y =sin 3 x є складена функція, бо вона є суперпозицією функцій y =u3 |
та u = sin x . |
||||||||||||||||
4. Елементи поведінки функції
Строге і грунтовне дослідження функцій на підставі методів математичного аналізу ми будемо проводити в наступних розділах. А зараз коротко нагадаємо читачам деякі відомості з курсу елементарної математики і введемо нові поняття.
4.1. Обмеженість функції |
|
|
|
Функція f |
називається обмеженою на множині X , якщо існують такі сталі |
m та M , що для |
|
кожного x X |
виконується умова m ≤ f ( x) ≤ M . Наприклад, функція f (x) =sin x обмежена на всій |
||
числовій осі, оскільки для кожного x (−∞;∞) −1 ≤ sin x ≤1 . |
|
||
Якщо для будь-яких двох чисел m та M |
(m < M ) умова m ≤ f (x) ≤ M не виконується хоча б для |
||
одного x X , |
то функція f називається |
необмеженою. Наприклад, y = tg x |
є необмеженою |
функцією на множині x [0;π / 2) . |
|
|
|
4.2. Монотонність функції |
|
|
|
Функція f |
називається зростаючою (рис. 4) на множині X , якщо більшому значенню аргумента |
||
x X відповідає більше значення функції f (x) . Тобто f – зростаюча, якщо для кожного x1, x2 X : x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) .