Лекції та практичні з МатАналізу / 2. Лекції / Лекція 4
.pdfЛекція 4. Неперервність функцій, означення, класифікація точок розривів, теореми про неперервні функції
1. Неперервність і точки розриву функції
Неперервні функції складають досить широкий і важливий з точки зору практичних застосувань клас функцій. Природа багатьох явищ і процесів влаштована так, що їх опис можливий на мові неперервних функцій.
Поняття неперервності функції, як і поняття границі, є одним з основних в математичному аналізі.
Означення 1. Функцію |
f (x) , визначену в околі точки x0 , називають неперервною в точці x0 , якщо |
|||
lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|
||
x→x 0 |
|
|
|
|
Різницю |
x − x0 |
називають приростом аргументу в |
точці x0 і позначають x , а різницю |
|
f (x) − f (x0 ) називають приростом функції в точці x0 , |
що відповідає даному приросту аргументу |
|||
x , і позначають |
y , тобто |
|
||
x = x − x0 , |
y = f (x0 + x) − f (x0 ) . |
|
||
У цих позначеннях означення неперервності функції в точці еквівалентне наступному. |
||||
Означення 2. Функцію |
f (x) , визначену в околі точки x0 , називають неперервною в точці x0 , якщо |
|||
lim |
y =0 . |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
Функція y = f (x) називається неперервною на проміжку X , якщо вона неперервна в кожній точці
цього проміжку. При цьому, якщо проміжок X є відрізком або півінтервалом, то при дослідженні неперервності функції в кожній не внутрішній точці проміжку X будемо розглядати відповідні односторонні границі. Наприклад, функцію y = f (x) , задану на півінтервалі (−∞;a] вважатимемо
неперервною в точці a , якщо lim f ( x) = f (a) . Можна довести, що будь-яка елементарна функція
x→a−0
неперервні на своїй області визначення.
Теорема 1. Для того, щоб функція |
f (x) , визначена в околі точки x0 , була неперервна в цій точці, |
||
необхідно і достатньо, щоб |
lim |
f (x) = lim |
f (x) = f (x0 ) . |
x |
→x 0 −0 |
x→x 0 +0 |
|
Означення 3. Точка x0 називається точкою розриву функції f (x) , якщо функція в даній точці не є неперервною.
2. Класифікація точок розриву функції
Наведемо класифікацію точок розриву функцій. Розрізняють точки розриву трьох типів: точки
усувного розриву, точки розриву першого роду і точки розриву другого роду.
1. Якщо існує lim f (x) , але f (x) не визначена в точці x0 (рис. 4) або |
lim f (x) ≠ f (x0 ) (рис. 1), |
x→x 0 |
x→x 0 |
то x0 називають точкою усувного розриву. |
|
y |
y |
y=f(x) |
f(x0) |
y=f(x) |
0 x0 x 0 x0 x
Рис.1.
Точки усувного розриву
Якщо функцію |
f (x) довизначити в точці x0 або змінити її |
значення |
в цій |
точці так, |
щоб |
||
f (x0 ) = lim |
f (x) , то дана функція буде неперервною в точці x0 . |
|
|
|
|
||
|
x→x 0 |
|
|
|
|
|
|
2. |
Якщо |
в точці |
розриву x0 існують скінченні односторонні |
границі |
lim |
f (x) = f (x0 |
+ 0) , |
|
|
|
|
|
x→x 0 +0 |
|
|
lim |
f (x) = f (x0 −0) і f (x0 +0) ≠ f (x0 −0) , то x0 називають точкою розриву першого роду (рис. |
||||||
x→x 0 −0 |
f (x0 ) = f (x0 + 0) − f (x0 − 0) – стрибком функції f (x) у точці x0 . |
|
|
||||
2), а різницю |
|
|
|||||
y
y=f(x)
f(x0) |
|
|
0 |
x0 |
x |
|
Рис. 2. Точка розриву першого роду |
|
3. Якщо в точці розриву x0 хоча б одна з односторонніх границь lim f (x) або |
lim f (x) не |
|
|
x→x 0 +0 |
x→x 0 −0 |
існує чи дорівнює нескінченності, то x0 |
називають точкою розриву другого роду (рис. 3, 4). |
|
y |
y |
|
y=f(x)
0 |
x0 |
x |
0 |
x0 |
x |
y=f(x)
Рис. 3. Рис. 4. Точки розриву другого роду
Приклад. Дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву і встановити їх тип.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
x |
+1, 0 < x ≤ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +e x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) Область визначення даної функції |
D( f ) = \ \ {1} . Оскільки |
f (x) є елементарною функцією, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то вона неперервна при всіх |
x \ , |
крім |
x =1 , яка |
є точкою розриву функції. |
Знаходимо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
односторонні границі в точці x =1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
= |
|
|
1 |
|
|
= |
|
x −1 =α |
|
|
= lim |
= |
1 |
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
α → +0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
+e x−1 |
|
|
1 +eα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x −1 =α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
= |
1 |
|
|
|
=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
α → −0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→1−0 |
|
|
|
|
α→−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 +e |
x−1 |
|
|
|
1 +e |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отже, односторонні границі існують, але не рівні між собою, тому |
x =1 є точкою розриву |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
першого роду; |
f (1) = 0 −1 = −1 –стрибок функції в точці x =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Дана |
функція не є елементарною, |
|
але |
|
кожна |
з елементарних |
функцій |
cos x, x +1, |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неперервна |
|
в |
кожній |
внутрішній |
точці |
|
|
області |
свого |
задання, |
тобто |
на |
інтервалах |
||||||||||||||||||||||||||||
(−∞;0), (0;2), (2;+∞) |
|
відповідно. Тому |
|
f (x) може мати розрив лише у тих точках, де змінюється її |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аналітичний вираз, тобто при |
x =0 |
|
і |
x = 2 . Дослідимо |
f (x) |
на неперервність в цих точках. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
цього обчислимо односторонні границі і значення функції |
f (x) |
у точках x =0 і x = 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
f (x) = lim cos x =1 , |
lim f (x) = lim (x +1) =1 , |
|
f (0) = cos 0 =1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→−0 |
|
|
x |
→−0 |
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Оскільки |
lim |
|
|
|
f (x) = lim f (x) = f (0) =1 , то f (x) |
неперервна в точці x =0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim f (x) = |
|
|
|
lim (x +1) =3 , lim |
f (x) = |
lim |
1 |
|
|
= +∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→2−0 |
|
|
|
x→2−0 |
x→2 |
+0 |
|
|
|
|
|
x→2−0 x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Отже, в точці x = 2 функція f (x) має розрив другого роду.