Лекції та практичні з МатАналізу / 2. Лекції / Лекція 20
.pdfЛекція 20. Означеня функції n змінних. Границі повторні і кратні.
Неперервність.
1. Основні означення
У попередніх лекціях розглядалися функції однієї змінної, які описували характер залежності однієї із змінних від іншої. Під час вивчення закономірностей реального світу та економічних
процесів зокрема, виникає необхідність встановлення характеру залежності однієї величини від двох і більше чинників.
Із ситуаціями, в яких значення однієї величини залежить від значень, яких набувають інші величини, читач вже неодноразово зустрічався. Наприклад, площа прямокутника залежить від довжини a і
ширини b |
|
|
|
|
|
S = ab . |
|
|
|
(1.1) |
|
Формула для обчислення площі трикутника містить три незалежні величини |
|
||||
S = |
1 |
ab sinα |
|
|
|
2 |
, |
(1.2) |
|||
|
|
||||
де α – кут між сторонами a і b трикутника. Очевидно, зміна однієї з величин a , b чи α відображається на величині площі.
У формулі (1.1) ми зустрілися із функцією двох змінних, а у формулі (1.2) – функцією трьох змінних. Закономірності функціонування деякої економічної системи (галузь економіки, підприємство тощо) можна описати функцією, що встановлює зв’язок між витратами сировини, електроенергії, трудових ресурсів тощо (так званими виробничими ресурсами) та обсягом виробленої продукції. Нехай
x1 , x2 ,..., xn –витрати виробничих ресурсів R1 , R2 ,..., Rn , а y – відповідний їм обсяг продукції. Очевидно, що різним обсягам витрат відповідають, взагалі кажучи, різні обсяги випуску. Тобто
кожному набору чисел (x1 , x2 ,…, xn ) ставиться у відповідність певне конкретне число y . В економічній науці такі відповідності називаються багатофакторними виробничими функціями.
Означення 1.1. Впорядкований набір чисел (x1 , x2 ,…, xn ) , при якому вираз відносно n
зміннихx1 ,..., xn має зміст з математичних чи економічних міркувань, називається допустимим.
Означення 1.2. Функцією n незалежних змінних називається правило, за яким допустимому набору n дійсних чисел (x1 , x2 ,…, xn ) ставиться у відповідність дійсне число y :
f : (x1 ,..., xn ) → y ≡ f (x1 |
,..., xn ) , |
(1.3) |
|
|
y = f (x1 |
,..., xn ) , |
|
де x1 , x2 ,..., xn – незалежні змінні, |
y – залежна змінна, яку називають функцією. |
||
Означення 1.3. Областю визначення |
D( f ) функції f (x1 , x2 ,…, xn ) |
від n змінних називається |
|
підмножина D n -вимірного простору R n , що складається із всіх допустимих наборів (x1, x2 ,…, xn ) . Значення, які при цьому набуває залежна змінна y , називаються множиною R( f ) значень функції.
Не зменшуючи загальності, надалі будемо розглядати лише функції двох незалежних змінних. Дослідження функцій, які залежать від більшої кількості змінних, не містить принципових відмінностей, проте є технічно складнішим.
Отже, розглянемо функцію двох незалежних змінних
z = f (x, y) . |
(1.4) |
Область визначення функції двох змінних наглядно ілюструється геометрично. Якщо кожну пару значень x та y будемо зображати точкою M (x, y) площини XOY , тоді область визначення
зобразиться деякою сукупністю точок на площині. Ця сукупність точок є геометричним зображенням області визначення. Надалі будемо розглядати області, які є частинами площини, обмеженими лініями.
Лінію, яка обмежує дану область, називають границею (межею) області. Точки області, які не лежать на межі, називаються внутрішніми точками області. Область, яка складається лише з внутрішніх точок, називається відкритою. Якщо ж до області відносяться і точки межі, то область називається
замкнутою.
Область називається обмеженою, якщо існує така постійна C , що відстань довільної точки M (x, y) області від початку координат O менша за C , тобто OM <C .
Означення 1.4. Графіком Γf функції (1.4) називається множина таких точок простору {(x, y, z)},
що
(x, y) D f R 2 , а z = f (x, y) .
Якщо в просторі R 3 задати прямокутну систему координат, то трійка чисел (x, y, f (x, y)) задає в R 3 точку, а Γf є, взагалі кажучи, деякою поверхнею. Рівняння (1.4) є рівнянням цієї поверхні. Проектуючи Γf на площину XOY , одержують область визначення D f .
z
z0 z=f(x,y) M0(x0,y0,f(x0,y0))
0 |
y0 |
|
|
|
x0 |
|
y |
|
|
x |
Df |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1. Область визначення функції двох змінних |
|
|
||
|
|
|
z |
|
Приклад 1.1. Нехай z = ax +by + c , де a,b,c - числові параметри, x, |
y - |
|
|
|
незалежні змінні. Областю визначення цієї функції є весь простір R 2 , |
|
|
||
множина значень - множина всіх дійсних чисел R . Графіком функції є |
0 |
y |
||
|
|
|
||
площина в R 3 (рис.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z Рис.2. |
|
Приклад 1.2. z = 1 − x2 − y2 . Область визначення функції |
|
|
|
|
Df ={( f (x, y) :1 − x2 − y2 ≥ 0} , тобто множина, що складається із точок |
|
|
|
|
круга x2 + y2 ≤1 радіуса 1 . Множина значень – відрізок [0;1]. Графіком |
0 |
y |
||
функції є верхня половина сфери x2 + y2 + z2 =1 |
(рис.3). |
|
||
|
|
|||
x
Рис.3.
2.Способи задання функції декількох змінних
Функції декількох змінних можна задавати різними способами. Розглянемо деякі з найбільш поширених.
2.1. Аналітичний спосіб
Функції двох ( n ) змінних можуть задаватися за допомогою однієї або декількох формул. Такий спосіб задання називається аналітичним.
Зокрема, якщо одна із змінних виражена через всі інші, то кажуть, що функція задана явно.
Приклад 2.1. Функція z = ln(x2 + xy) задана аналітичним способом, явно.
Приклад 2.2. Функція задана аналітичним способом, явно, двома формулами
x2 |
+ y2 , |
|
x |
|
<1, |
|
y |
|
<1; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = arcsin |
1 |
+ arcsin |
1 |
, |
|
x |
|
≥1, |
|
y |
|
≥1. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо залежна змінна z не виражена явно через аргументи x та y і зв’язок між x, y, z описано
формулою
F(x, y, z) =0, то кажуть, що функція двох змінних задана неявно.
Приклад 2.3. Аналітично неявно задані функції:
ln(x2 + y2 + xyz) − z = 0 , ex+y −2 y2 z = 0 .
Зауважимо, що неявно задані функції в окремих випадках можна звести до явно заданих функцій, розв'язавши рівняння F(x, y, z) = 0 відносно однієї із змінних. Проте, іноді це не вдається зробити.
Наприклад, рівняння sin(x + y + z) − xyz =0 не можна розв'язати у радикалах ні відносно x , ні відносно y , ні відносно z .
2.2. Табличний спосіб задання функцій
Далеко не завжди залежність між декількома змінними величинами можна записати в аналітичній формі
(явно або неявно). У таких випадках використовують табличний спосіб задання функції.
Приклад 2.4. Як приклад використаємо таблицю, що задає функцію двох змінних, яка описує залежність обсягу виробленої продукції (в десятках штук) від витрат x робочої сили та y засобів
виробництва (в тис. гривень).
x |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0 |
|
8 |
|
0 |
|
|
2 |
|
8 |
|
6 |
|
1 |
|
|
6 |
|
0 |
|
5 |
|
2 |
|
|
5 |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
З таблиці можна робити певні висновки про функцію обсягу продукції z . Зокрема видно, що із збільшенням величини витрат хоча б одного виду (зростанням x або y ) зростає обсяг виробленої
продукції. Також видно, що однаковий результат може бути досягнутий при різних значеннях витрат робочої сили та засобів виробництва. Наприклад, z(60;10) = z(40; 20) .
Табличний спосіб задання функцій є дуже поширеним в економічних задачах, коли взаємозалежність між
декількома незалежними змінними встановлюють емпіричним способом.
4. Границя функції двох змінних
y
Df
Uδ(M0)
Перш за все слід сказати, що поняття границі та неперервності для функції декількох змінних є узагальненням понять границі та неперервності функції однієї змінної. Введемо поняття δ околу
δточки M 0 (x0 , y0 ) області визначення D( f ) R 2 функції двох змінних.
M(x,y) |
M0(x0,y0) |
Означення 4.1. Дельта-околом (δ -околом U δ (M 0 ) , або околом радіуса |
|
||
0 |
x |
δ >0) точки M 0 (x0 , y0 ) називають множину точок площини XOY , |
|
|
координати яких задовольняють нерівність |
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 <δ |
|
(4.1) |
|||
Отже, до δ - околу точки M 0 (x0 , y0 ) відносяться точки, що належать кругові радіуса δ з |
|||||
|
центром в точці M 0 (x0 , y0 ) . |
|
|||
Означення 4.2. Число A називається границею функції z = f (x, y) |
при прямуванні точки |
||||
M (x, y) до точки M 0 (x0 , y0 ) ( M → M 0 ), якщо для як завгодно малогоε >0 існує таке δ >0, що |
|||||
для всіх точок |
|
|
|||
|
M (x, y) Uδ (M 0 ) D f , |
|
|||
крім, можливо, самої точки M 0 , виконується нерівність |
|
||||
|
f (x, y) − A |
|
< ε . |
|
(4.2) |
|
|
|
|||
Для запису границі використовують позначення |
або A = lim f (x, y) . |
|
|||
A = lim f (x, y) |
(4.3) |
||||
|
M →M 0 |
x→x0 |
|
||
|
|
|
|
y→y0 |
|
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5. Приклади можливих шляхів, вздовж яких точка M |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямує до точки M 0 |
|
|
|
|
||
Зауважимо, що лінія, вздовж якої точка M наближається до M 0 , є довільною. Тому, якщо під час |
|
||||||||||||||||
руху точки M в напрямку до M 0 |
хоча б вздовж одного із всеможливих напрямків нерівність (4.2) не |
||||||||||||||||
виконується, то границя функції z |
при M → M 0 |
не існує. На практиці часто при доведенні того |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
факту, що границя функції двох змінних не існує, використовують |
|
|
||||||
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
такий прийом. За лінії, вздовж яких рухається точка M до точки |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
M |
|
, вибирають прямі з кутовим коефіцієнтом k : y = k(x − x |
|
) + y |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
+ |
|
M(x,y) |
+y |
0 |
0 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
- |
|
|
|
y=x |
|
|
|
Тобто рівняння ліній залежить від параметра, який може набувати |
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
різних значень (рис.6). Тоді границя функції двох змінних x, y |
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дорівнює границі функції однієї змінної x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x, y) = lim f (x, k(x − x0 ) + y0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
M0(x0,y0)
0 |
x |
Якщо одержана границя функції однієї змінної після обчислення залишається залежною від параметра k , то є очевидним те, що границя функції двох змінних не існує.
Рис.6. Випадок k =1, k
lim ( lim f (x, y)) та
x→x0 y→y0
= 2 . |
Означення 4.3. |
Повторними границями функції z = f (x, y) при |
|
||
|
прямуванні точки M до M 0 називають границі |
|
lim ( lim f (x, y)) . |
(4.4) |
|
y→y0 x→x0 |
|
|
Тобто спочатку обчислюється границя функції від однієї змінної y , вважаючи іншу змінну x сталою величиною
lim ( lim |
f (x, y)) = lim ϕ(x). |
x→x0 y→y0 |
x→x0 |
Наступним кроком є відшукання границі функції ϕ(x) = lim f (x, y) при x → x0 . Аналогічно для |
||
повторної границі |
y→y0 |
|
f (x, y)) = lim Ψ ( y). |
||
lim ( lim |
||
y→y0 x→x0 |
y→y0 |
|
Отже, обчислюючи повторну границю функції двох змінних, двічі обчислюють границю функції однієї змінної. Повторна границя існує, якщо існують обидві ці границі. Якщо ж хоча б одна границя
функції однієї змінної lim f (x, y) |
або lim ϕ(x) |
не існує, то повторна границя lim ( lim f (x, y)) не |
||||||||
y→y0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
x→x0 y→y0 |
||
існує. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 4.1. Обчислити повторні границі |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
||
|
lim(lim |
|
) = lim |
=1. |
||||||
|
x + y |
|
||||||||
|
x →0 y→0 |
|
x→0 |
x |
||||||
|
lim(lim |
|
x |
|
) = lim |
0 |
= lim 0 = 0. |
|||
|
|
+ y |
|
|||||||
|
y→0 x→0 x |
y→0 |
y |
y→0 |
||||||
Зауваження. Наведений приклад ілюструє той факт, що повторні границі можуть не дорівнювати одна одній. Більше того, одна з них може бути скінченою, а інша – нескінченою.
Також слід зробити висновок, що з існування повторних границь не випливає існування границі функції. І головне:
Для того, щоб в точці M 0 (x0 , y0 ) існувала границя функції z = f (x, y) необхідно, щоб існували і були рівними повторні границі.
Проілюструємо цей факт на прикладі.
Приклад 4.2. Знайти повторні границі та границю функції (якщо вони існують), або довести, що границя не існує, якщо
z = |
x − y |
|
|
при x → 0, y → 0. |
||||||||
x + y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim(lim |
x − y |
) = lim |
x |
=1. |
|||||||
|
x →0 y |
→0 |
x + y |
x →0 |
x |
|
||||||
lim( lim |
x − y |
) = lim( − |
y |
|
) = −1. |
|||||||
y→0 x→0 |
|
x + y |
y→0 |
y |
|
|||||||
Отже,
y
0
k |
= |
2 |
|
||
|
|
|
1 |
= |
|
k |
|
k=0
|
повторні границі є різні. Границя функції не існує, оскільки не |
|||||||||
|
виконується необхідна умова існування границі функції двох |
|||||||||
|
змінних. До такого ж висновку можна прийти й |
|||||||||
|
використовуючи інші міркування. Наприклад, для доведення |
|||||||||
|
того факту, що границя функції не існує, використаємо шлях |
|||||||||
|
від точки M (x, y) до точки M 0 (0;0) вздовж прямих y = kx |
|||||||||
|
(очевидно, що точка M 0 (0;0) |
лежить на цих прямих при |
||||||||
|
довільному значенні параметра k ). Тоді |
|||||||||
x |
lim |
x − y |
= lim |
x − kx |
|
= lim |
x(1 − k) |
= |
1 −k |
, |
x + y |
x + kx |
x(1 + k) |
|
|||||||
|
x →0 |
x →0 |
x →0 |
1 + k |
||||||
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тобто для різних k значення границі буде різним. Отже, в точці M 0 (0;0) границя не існує.
Сформулюємо теорему (без доведення), яка стане у пригоді при відшуканні границь функції двох змінних.
Теорема 4.1. Нехай g(x, y), |
h(x, y) – функції двох змінних. Якщо існують границі |
|
lim |
g(x, y) =b1 |
і lim h(x, y) =b2 , то |
M→M0 |
1) lim |
M→M0 |
|
(g(x, y) ± h(x, y)) =b1 ± b2 ; |
|
|
M→M0 |
|
2) lim (g(x, y) h(x, y)) =b1 b2 ;
M→M0
3) lim |
g(x, y) |
|
= |
b1 |
, якщо b2 ≠ 0 ; |
h(x, y) |
|
||||
M→M0 |
|
b2 |
|||
|
4) lim C =C ; |
||||
|
M→M0 |
||||
5) lim C f (x, y) =C |
lim f (x, y), де C = const. |
||||
M→M0 |
|
|
M→M0 |
||
Переконайтеся в тому, що дві останні властивості є наслідками перших трьох.
Приклад 4.3. Обчислити границю |
|
|
|
lim(x2 −2 y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(x2 −2 y) = lim x2 −lim2 y = 0 −1 = −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
y→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 4.4. Обчислити границю |
lim |
|
2x − y2 + |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2x − y2 + |
1 |
= |
|
2 2 −12 + |
1 |
= |
4 |
|
= 0,8. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приклад 4.5. Обчислити границю функції z = |
|
sin(x + y) |
|
|
при x → 0, y → 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln(1 + x + y) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Зробимо заміну x + y = t . Очевидно, що при x → 0, |
|
y → 0 змінна t → 0 , а границя функції двох змінних |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
дорівнює границі функції однієї змінної t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
sin(x + y) |
|
= lim |
|
|
sin t |
|
|
= lim |
cost |
|
= lim(1 +t)cost =1 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ln(1 + x + y) |
|
ln(1 +t) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→0 |
|
t →0 |
|
|
|
|
t →0 |
1 |
|
|
|
|
|
t →0 |
||||||||||||||||||||||||
|
y |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +t |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Приклад 4.6. Знайти границю функції Коба-Дугласа при K → 0, L → 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
1−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KαL |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
A = limY0K |
|
|
L |
|
|
|
= Y0 lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
→0 |
|
L |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L→0 |
|
|
|
|
|
|||||||
Вибравши шлях прямування до точки (0;0) |
вздовж прямих K = kL, одержимо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A = Y0 lim |
kα Lα L |
= |
Y0 limk |
α |
L |
= Y0 k |
α |
0 |
= 0 |
|
для k . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
α |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
L→0 |
L |
|
L→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Неперервність функцій двох змінних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Нехай точка M 0 (x0 , y0 ) належить області визначення функції двох змінних z = f (x, y) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Означення 5.1. Функція |
f (x, y) |
|
називається неперервною в точці M 0 (x0 , y0 ) D( f ) , якщо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Це означає, що якщо точка M (x, y) з області визначення функції прямує до точки M 0 (x0 , y0 ) довільним шляхом, то відповідна апліката z = f (x, y) поверхні, яка є графіком функції, прямує до аплікати z0 = f (x0 , y0 ) .
Означення 5.2. Функцію, неперервну в кожній точці деякої області, називають неперервною в цій області.
Якщо f (x, y) не є неперервною в точці (x0 , y0 ) , то кажуть, що вона має розрив у цій точці. Саму ж точку називають точкою розриву функції.
Приклад 5.1. Лінійна функція z = x +3y − 4 є неперервною у всіх точках площини XOY .. Очевидно,
що lim x + 3y − 4 = x0 + 3y0 − 4 для довільних (x0 , y0 ) XOY .
x→x0 y→y0
Приклад 5.2. Функція |
z = |
1 |
визначена для всіх точок площини XOY , крім точок лінії |
|||||
x2 + 4 y2 −16 |
||||||||
x2 + 4 y2 −16 = 0 . Запишемо рівняння цієї лінії в канонічній формі |
x2 |
+ |
y2 |
=1 . |
||||
16 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Отже, функція неперервна в кожній точці площини XOY , крім точок, що належать еліпсу x2 + y 2 =1 .
16 4
Точки еліпса утворюють лінію розриву функції.