Множини , , ,

далеко не всі числові множини, які використовує достатньо освічена людина

у своїх дослідженнях. Вже при спробі розв’язати просте алгебраїчне рівняння

x2 +1 =0

(1)

x1,2

= ±

−1 .

(2)

Позначимо

−1 =i і назвемо таку величину уявною одиницею. Про уявну одиницю не можна

сказати нічого іншого,

ніж те, що справедлива рівність: i2 = −1. Отже,

коренями

рівняння (1) є

“числа” x1,2

= ±i .

Розглянемо повне квадратне рівняння

ax2 +bx +c = 0 .

Якщо дискримінант рівняння D = b2 −4ac < 0 , то корені рівняння можна записати так:

x

=

−b ± b2

− 4ac

= −

b

±i

4ac −b2

.

1,2

2a

2a

2a

Ми приходимо до чисел такого вигляду

z =α +iβ ,

`

(3)

де α і β

– довільні

дійсні числа. Числа вигляду (3) називаються комплексними, а множина

={α +iβ | α

, β

} називається множиною комплексних чисел.

Вираз (3)

називають ще

рівняння

α = −

b

)

називається дійсною частиною комплексного числа, а число β (у нашому

2a

β =

4ac −b2

випадку

) – уявною частиною комплексного числа і часто позначаються так:

2a

α = Re z ,

β = Im z

(від початкових букв відповідних латинських слів: realis та imaginaris). Очевидно,

1

cosϕ = −

4π

2π

2

ϕ =

+ 2πn, n

arg z = −

(при n = −1) .

3

3

3

sinϕ = −

2

Арифметичні дії

над

комплексними

числами

z1 =α1 +iβ1 , z2 =α2 +iβ2

в

алгебраїчній формі

виконують за наступними формулами:

1.

z1 ± z2 =(α1 ±α2 )+i (β1 ± β2 )

(сума і різниця);

2.

z1 z2

= (α1α2 − β1β2 )+i(α1β2 +α2 β1 )

(добуток);

3.

z1

=

α1α2 + β1 β2 +

α2 β1 −α1 β2 i

(частка);

z2

α22 + β22

α22 + β22

4.

zn = (α +iβ)n =αn +Cn1αn−1 iβ + Cnkαn−k (iβ)k + +(iβ)n

(піднесення до степеня).

n

!

k

В останній формулі

n – натуральне число, числові коефіцієнти Cn

=

. Степені уявної

k!(n −k )

!

одиниці i

слід замінити на їх значення:

i2 = −1; i3 = −i ; i4 =1; i5 = i,…

і в загальному випадку

i4k

=1; i4k +1 = i ;

i4k +2 = −1; i4k +3

= −i,

k = 0,1,… .

4 +3i

=

4 +3i

5 + 2i

=

20 +15i +8i + 6i2

=

14 + 23i

=

14

+

23

i .

5 −2i

5 − 2i

5 + 2i

25 + 4

29

29 29

Коренем n -го степеня з комплексного числа називають кожне комплексне число w таке, що

wn = z . Також слід звернути увагу на те, що на відміну від усіх інших операцій, які мають

однозначний результат, операція добування кореня n -го степеня дає n різних результатів, тобто

n z ={wk

wkn = z, k = 0, 1, …, n −1}={w0 , w1, … , wn−1}.

Всі точки wk

збігаються із вершинами правильного n -кутника з центром в початку координат

комплексної площини .

(n

) і добування кореня

Операції піднесення до степеня n

n -го степеня зручно здійснювати

над комплексним числом, записаним у тригонометричній формі (6). Тоді

zn =| z |n (cos nϕ +i sin nϕ)

(формула Муавра);

n z = n

z

ϕ + 2kπ

+i sin

ϕ + 2kπ

= 0,1, 2,…, n −1 .

(7)

cos

n

n

, k

Приклад 3. Обчислити z9 , якщо z =

3 −i .

z

= ( 3 )2 +(−1)2 = 2 ,

cosϕ =

3

π

π

2

ϕ = −

+ 2πn, n

arg z = −

.

6

6

sinϕ

= −

1

2

Отже,

z = 2

−

π

−

π

. За формулою Муавра

cos

6

+i sin

6

z

9

= 2

9

−

9π

−

9π

π

+i sin

π

= 512i .

cos

6

+i sin

6

= 512 cos

2

2

16

cosϕ = −

cosϕ = −1

16

ϕ =π + 2πn, n arg (−16)=π .

0

sinϕ = 0

sinϕ =

16

4 −16 = 4 16 cos π + 2πk +i sin

π + 2πk

, k = 0,1, 2,3.

4

4

Обчислимо значення ω0 ,ω1,ω2 ,ω3 :

k = 0,

ω0

=

2

π

+i sin

π

=

2 +i

2;

cos

4

4

k =1,

ω

= 2 cos

3π

+i sin

3π

= −

2

+i

2;

1

4

4

k = 2,

ω2

=

2

5π

+i sin

5π

= −

2

−i

2;

cos

4

4

k = 3,

ω3

=

2

7π

+i sin

7π

=

2 −i

2.

cos

4

4

Розглянемо тепер многочлен степеня n

Pn (z)= ∑n

Cν zν ,

(13)

ν =0

Pn (z)= Cn (z − z1 )ν1 (z − z2 )ν2

k

(z − zk )νk , де ∑νs = n ,

s=1

тобто числа z1 ,…, zk , і тільки

вони, є нулями многочлена

(6.5)

з кратностями ν1 ,…,νk

відповідно.

Твердження. Нехай розглядається многочлен (13), у якого

Cν –

дійсні числа. Тоді, якщо

комплексне число z0 =α0 +iβ0

є нулем многочлена Pn (z) кратності k , то і спряжене

комплексне число z0 =α0 −iβ0

також є нулем цього многочлена тієї ж кратності k .

Приклад 5. Знайти нулі та подати у вигляді добутку многочлен

P6 (z)= 4z6 −3z4 −43z2 −36 .

Оскільки многочлен P6 містить лише парні степені змінної

z , то, здійснивши підстановку

корінь, причому всі цілі корені є дільниками вільного члена. Підставляючи у многочлен

P3

дільники вільного члена –36 (ними є числа ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 9, ±12, ±18, ± 36 ) встановлюємо, що

значення t1 = 4

є нулем многочлена P3 , тобто справедливе співвідношення:

P3 (t )= 4t3 −3t2 − 43t −36 = (t −4)(4t2 +13t + 9) .

Розв'язавши

квадратне

рівняння

4t 2 +13t + 9 = 0 ,

одержимо решту

нулів многочлена

P3 :

t2 = −1,

t3 = −

9

.

Повернемось до змінної z

і знайдемо нулі многочлена

P6 із рівностей

4

z2 = 4, z2 = −1, z2 = −

9

.

4

Звідси

z1 = 2,

z2 = −2,

z3

=i, z4 = −i

, z5 =

3

i, z6 = −

3

i.

2

2

Отже,

3

3

P6 (z)= 4(z −2)(z + 2)(z −i)(z +i)(z −

i)(z +

i).

2

2