Лекції та практичні з МатАналізу / 2. Лекції / Лекція 21

Розглянемо функцію

z = f (x, y) .

(1.1)

Нехай точка M (x, y)

належить області визначення функції (1.1)

M (x, y) D f разом із деяким околом.

Надамо змінним x та

y приростів x та

y відповідно (рис.1). Введемо позначення для частинних приростів

функції z

y z = f (x, y + y) − f (x, y) .

x z = f (x + x, y) − f (x, y) ,

z

B

F

D

z=f(x,y)

K

M(x,y,z)

|

xz|

β y

0

y

Q

S

E

x

P(x,y)

R

x+

x

С

Означення 1.1. Частинною похідною по змінній x

функції (1.1) називається скінченна границя (якщо вона

існує) відношення частинного приросту

x z

до приросту аргумента x , якщо x → 0 . Позначають

∂z

≡ lim

x z

≡ lim

f (x +

x, y) − f (x, y)

.

∂x

x

x→0

x→0

x

Застосовують також наступні позначення:

z'x , f x' (x, y),

∂f (x, y)

.

∂x

Аналогічно частинна похідна за змінною y

∂z

≡ lim

y z

≡ lim

f (x, y + y) − f (x,

y)

.

∂y

y

y

y→0

y→0

Використовують також позначення z'y ,

f y' (x, y),

∂f (x, y) .

∂y

lim

∂f (

x,

y +

y) = ∂f (x, y)

,

x→0

∂x

∂x

y→0

(3.3)

∂f (x,

)

∂f (x, y)

lim

y

=

x→0

∂y

∂y

y→0

∂f (x, y + y)

= ∂f (x, y)

+α1 ,

∂f (x, y)

= ∂f (x, y) +α2 ,

∂x

∂x

∂y

∂y

де α1 , α2

__ нескінченно малі величини,

тобто прямують до нуля, якщо x →0, y →0 (або

ρ →0 , де

ρ =

x2 +

y 2

).

Тоді приріст функції

z =

∂f (x, y)

x +α1

x +

∂f (x, y)

y +α2

y .

∂x

∂y

Означення 3.2. Вираз

∂f (x, y)

x + ∂f (x, y)

y називають головною частиною приросту функції двох

∂x

∂y

змінних або лінійною частиною приросту.

Означення 3.3. Функція

z = f (x, y) , повний приріст якої

z

в даній точці M (x, y) може бути поданий у

вигляді суми двох доданків: лінійного відносно

x та

y

виразу та нескінченно малої величини вищого

порядку відносно ρ , називається диференційовною в даній точці, а лінійна частина приросту

називається диференціалом цієї функції і позначається dz або df .

Отже,

∂z

∂z

dz =

x +

y .

(3.4)

∂x

∂y

Прирости незалежних аргументів

x

та

y

будемо називати диференціалами незалежних змінних x та

y і позначати відповідно dx , dy . Тоді формула (3.4) набуде вигляду

dz =

∂z

dx +

∂z

dy

(3.5)

∂x

∂y

або в інших позначеннях

df =

∂f (x, y)

dx +

∂f (x, y) dy .

∂x

∂y

Іноді

використовують

позначення

dzx

= ∂z dx ,

dz y

=

∂z

dy , а самі вирази називають

частинними

∂x

∂y

диференціалами функції z

двох змінних.

Висновок. Якщо функція z = f (x, y)

має неперервні частинні похідні в точці (x, y) , то вона диференційовна

Y = Y0 Kα L1−α , 0 <α <1 .

∂Y

= Y α Kα−1

L1−α =

α Y Kα

L1−α = α Y ,

∂K

0

K

0

K

.

∂Y

α

−α

1 −α

α

1−α

1 −α

= Y

(1 −

α) K

L

=

Y

K

L

=

Y.

∂L

0

L

0

L

Зауважимо, що

∂Y

> 0 та

∂Y

> 0 .

∂K

∂L

а)

z = ex2 +ey2

∂z

∂z

= 2xex2 ;

= 2 yey2 ; dz = 2xex2 dx + 2 yey2 dy .

∂x

∂y

б)

z = min{x, y} .

Запишемо цю функцію наступним чином:

z =

x,

x ≤ y

.

x > y

Тоді

y,

∂z

1, x ≤ y

,

∂z

0, x ≤ y

,

dx, x ≤ y

.

=

x > y

=

dz =

> y

∂x

∂y

0,

1, x > y

dy, x

Нехай функція

z = f (x, y)

(4.1)

така, що змінні x та y є в свою чергу функціями змінної t . Тобто

z = f (x, y),

x = x(t) , y = y(t) .

у сенсі похідної функції однієї змінної

dz

. Якщо функції

x(t), y(t), f (x, y)

мають неперервні звичайну, чи

dt

частинні похідні за своїми аргументами, то похідна

dz

обчислюється за формулою

dt

dz

∂z

dx

∂z

dy

=

+

.

(4.2)

dt

∂x

dt

∂y

dt

Тоді диференціал функції

dz =

dz

dt .

(4.3)

dt

можна одержати, зробивши підстановку в (4.1) вирази x(t)

та (y)t. Одержана

Очевидно, що цей результат

функція є функцією однієї змінної

z = f (x(t), y(t)) .

Приклад 4.1. Обчислити

dz

, якщо

dt

z = 2x−y

,

x = cost ,

y = sin t .

∂z

= 2x−y ln 2 ;

∂z

= −2x−y ln 2 ;

∂x

∂y

dx

= −sin t

;

dy

= cost .

dt

dt

Тоді згідно з формулою (4.2) одержимо

dz

= 2x−y ln 2 (−sin t) − 2x−y ln 2 cos t = −2cos t −sin t ln 2(sin t +cos t) .

dt

Формула (4.2) не зазнає істотних змін, якщо

x і y

є, своєю чергою, функціями від змінних

u і

v , тобто

z = f (x, y) , x = x(u, v) , y = y(u, v) .

Тоді за умови існування неперервних частинних похідних функцій

f (x, y) ,

x(u, v) , y(u, v)

за

всіма аргументами

∂z

=

∂f

∂x

+

∂f

∂y

,

(4.4)

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

=

∂f

∂x

+

∂f

∂y .

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

dz =

∂z

du +

∂z

dv .

∂u

∂v

Приклад 4.2. Обчислити

∂z

та

∂z

, якщо

∂u

∂v

z = ln(x + 2 y) ,

x = u2v , y =

1

u3

+u v .

3

Обчислюємо необхідні частинні похідні.

∂z

=

1

;

∂z

=

2

;

∂x

= 2u v ;

∂x

= u2

;

∂y

= u2 +v

;

∂y

= u .

∂x

x

+ 2 y

∂y

x + 2 y

∂u

∂v

∂u

∂v

Використавши формули (4.4), одержимо

∂z

=

1

2uv +

2

(u2 +v) =

∂u

x

+ 2 y

x + 2 y

=

1

(2uv + 2u2 + 2v) = 2

uv +u2 +v

;

2

u2v +

u3

+ 2uv

u2v +

2

u3 + 2uv

3

3

∂z

=

1

u2 +

2

u =

1

(u2 + 2u) =

u + 2

.

∂v

x

+ 2 y

x + 2 y

2

2

2

3

2

u

v +

u

+ 2uv

uv +

u

+ 2v

3

3

F(x, y) =0 ,

(5.1)

Виведемо формулу для знаходження похідної функції (5.1).

Надамо незалежним змінним x та y відповідно приростів x та

y . Тоді

F(x + x, y + y) = 0 .

(5.2)

Розглянемо різницю

F (x + x, y + y) − F (x, y) =0 .

F(x + x, y + y) − F(x, y) =

∂F

x +

∂F

y +α1 x +α2 y ,

∂x

∂y

де α1 ,α2 прямують до нуля при

x →0,

y →0 . Оскільки ліва частина останньої рівності

нулеві, то

дорівнює

∂F

∂F

x +

y +α1

x +α2

y =0 .

(5.3)

∂x

∂y

Поділимо (5.3) на x і обчислимо

y

:

x

y′x

def

dy

∂x

=

= −

.

(5.4)

dx

∂F

∂y

Розглянемо тепер рівняння вигляду

F(x, y, z) = 0 ,

(5.5)