Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекції 12-14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

403.31 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекція 12-14. Стандартна техніка невизначеного інтегрування. Інтегрування з застосуванням таблиць, інтеграли, які не виражаються через елементарні функції

Нагадаємо, що предметом вивчення математичного аналізу є так звані основні елементарні функції і функції, що виражаються через основні елементарні за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і суперпозицій.

Відомо відносно небагато класів функцій, для яких інтегрування може бути виконано у замкнутому вигляді (тобто результатом інтегрування є елементарна функція). Такі класи функцій ми будемо розглядати у цьому й та наступному розділах.

1. Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний тричлен

Розглянемо знаходження деяких інтегралів, що містять у знаменнику квадратний тричлен

∫ax2

∫ ax2 +bx +c

+bx +c

( Ax + B)dx

∫ax2 + bx + c

∫

ax2 +bx +c

Для їх обчислення перетворимо попередньо квадратний тричлен, подавши його у вигляді суми або

різниці квадратів

b 2

+bx +c = a x

x +

= a x

+2x

−

b 2

= a x

−

= a

x +

±k

де введено позначення

−

= ±k 2 , причому знак "+" чи "–" вибирається в залежності від того,

4a2

додатним чи від'ємним є вираз

−

, (тобто комплексними чи дійсними є корені відповідного

4a2

квадратного рівняння).

Таким чином, інтеграл I1

запишеться як

I1 = ∫

∫

. Зробивши в

ax2 +bx +c

± k

останньому заміну змінних

x +

= z , dx = dz ,

дістанемо табличні інтеграли

x +

I1 =

arctg

+C =

arctg

або

∫z 2 + k 2

I1 =

z −k

+C .

∫z 2 −k 2

2ak

z +k

Приклад 1.1. Згідно запропонованого алгоритму знайдемо інтеграл ∫

+ 6x +10

∫

= ∫

+ 6x +10

+ 6x + 9) −9 +10

+ 3)

x+3=z

= ∫

= arctg z + C = arctg( x + 3) + C .

dx=dz

Розглянемо інтеграл I2 =

∫

. За допомогою перетворень, зроблених для I1 , цей інтеграл

ax2 +bx +c

(в залежності від знаку коефіцієнта a ) зводиться до табличних інтегралів вигляду:

∫

= ln z +

z 2 ±k 2

при a > 0

або

z2 ±k 2

∫

k 2 − z2

= arcsin k

при a < 0 .

Приклад 1.2. Знайти інтеграл ∫

2 .

3 + 4x − 4x

Для його знаходження спочатку вилучимо повний квадрат у підкореневому виразі

3 +

4x −

= −4(x

− x −

)

= −4 (x

− x +

) −1 = −4 (x −

)

−1

= =

4 1

− x

−

Отже, інтеграл запишеться

∫

2 =

∫

= 1 arcsin z + C =

arcsin(x −

) + C .

3 + 4x − 4x

1 − z

1 −

(x −

)

x−

dx=2dz

У випадку інтегралів I3 =

( Ax + B)dx

, I4

( Ax + B)dx

в чисельнику підінтегральної функції

∫ax2 +bx +c

∫

ax2 +bx +c

вилучаємо похідну квадратного тричлена і розкладаємо даний інтеграл на суму двох інтегралів

Ax + B

(2ax +b) + B −

dx =

∫ax2

∫

ax2 +bx +c

+bx +c

2ax +b

+ B

−

2a ∫ax2

+bx +c

∫ax2 +bx +c

Другий інтеграл є інтегралом типу I1 , а у першому внесемо 2ax +b під знак диференціала

(2ax +b)dx = d (ax2 +bx +c)

та зробимо заміну змінних ax2 +bx +c = z :

2ax +b

d (ax2 +bx +c)

∫

dx =∫

∫ z

= ln

+bx +c

+C .

Отже,

ax2 +bx +c

Ax + B

+bx +c

−

∫ax2

+bx +c

4x −3

Приклад 1.3. Знайти інтеграл ∫

dx .

x2 −8x + 7

Повторюючи перетворення, зроблені у загальному випадку для інтеграла I 3 , отримаємо

∫

4x −3

dx = ∫

2(2x −8) +13

dx = 2∫

2x −8

dx + 13∫

= = 2I +13I .

x2 −8x + 7

x 2 −8x +7

Знайдемо окремо інтеграли

та

(останній подібно як у приладі 1.1):

2x −8

d (x2 −8x + 7)

I = ∫

(2 x−8)dx=d ( x2 −8x+7)

= ∫

x2 −8x + 7

z=x2 −8x+7

= ∫

= ln

+C1 = ln

−8x + 7

+ C1 ,

z − 3

x − 7

+ C2 .

I = ∫

∫

= ∫

+ C2 =

−8x +16) −9

(x −

−9

−

z + 3

x −1

−8x + 7

x−4=z

dx=dz

Отже, остаточний результат запишеться

∫

4x − 3

dx = 2 ln

−8x +

x − 7

+ C .

6 ln

x 2 −8x + 7

x −1

Інтеграл I4

∫

( Ax + B)dx

знаходиться за допомогою перетворень, аналогічних як і для I3 ; він

ax2 + bx + c

∫

та інтеграла вигляду I2 . Продемонструємо це на

зводиться до табличного інтеграла

dz = 2

z +C

прикладі.

Приклад 1.4. Знайти інтеграл ∫

23x −1

dx .

+ 4x −1

Вилучимо у чисельнику похідну підкореневого виразу та подамо інтеграл як суму двох

інтегралів

3x −1

(2x + 4) − 7

2x + 4

∫

dx = ∫ 2

dx − − 7∫

+ 4x

−1

dx =

2 ∫

+ 4x −1

= 2 I − 7I .

−1

Для знаходження

внесемо вираз у чисельнику під знак диференціала та зробимо заміну

змінних

∫

22x + 4

= ∫d (x22 + 4x −1)

= ∫

dz =

+ 4x −1 (2 x+4)dx=d ( x2 +4 x−1)

x + 4x −1 x2 +4 x−1=z

= 2 z + C1 = 2 x 2 + 4x −1 + C1 ;

при знаходженні I , що є інтегралом типу I2 , повторимо перетворення прикладу 1.2:

∫

= ∫

dx 2

= ∫

dz2

+ 4x −1

+ 4x + 4) −5

(x + 2)

−5 x+2=z

z −5

dx=dz

= ln z + z 2 − 5 + C = ln x + 2 + x 2 + 4x −1 + C .

Отже, остаточний результат запишеться

∫

3x −1

dx =3 x2 + 4x −1 − 7 ln x + 2 + x2 + 4x −1 + C .

+ 4x −1

2.Інтегрування раціональних дробів

2.1.Розклад раціонального дробу на прості

Нагадаємо означення дробово-раціональної функції.

Означення 2.1. Відношення двох многочленів R(x) =				Pm (x)		, де
Означення 2.1. Відношення двох многочленів R(x) =				Q (x)		, де
				Q (x)
				n
		m
Pm (x) = b0 +b1 x +b2 x2 +... +bm−1 xm−1 +bm xm = ∑bj x j ,
		j=0
	n
Qn (x) = c0 +c1 x +c2 x2 +... +cn−1 xn−1 +cn xn = ∑ci xi ,						(2.1)
	i=0
bm , cn ≠ 0; ci , bj R; m ≥ 0, n ≥1, i =			j =
bm , cn ≠ 0; ci , bj R; m ≥ 0, n ≥1, i =	1, n,		j =		1, m

називається дробово-раціональною функцією або раціональним дробом.

Зауваження. Вважаємо, що многочлени Pm (x), Qn (x) не мають спільних коренів, тобто дріб

Pm (x) є нескоротним.

Qn (x)

Якщо степінь чисельника менший від степеня знаменника (m < n) , то дріб Pm (x) називається

Qn (x)

правильним, в іншому випадку (m ≥ n) дріб називається неправильним.

Якщо дріб неправильний, то діленням чисельника на знаменник його можна подати у вигляді суми многочлена степеня m − n і правильного дробу

Pm (x)	= M m−n (x) +	Rk (x)	, (k < n) .	(2.2)
Qn (x)		Qn (x)

Згідно з основною теоремою алгебри, довільний многочлен вигляду (2.1) можна подати у вигляді добутку

(x) = c

(x −a )k1 ..(x −a

)ks (x2 + p x +q )l1

..(x2 + p

x +q

)lt ,

(2.3)

де

k1 + k2 +... + ks + 2(l1 +... +lt ) = n ,

причому степені з лінійними основами відповідають дійсним

кореням многочлена a1 , a2 ,..., as ,

степені

основами,

що

є квадратними тричленами, – парам

комплексно спряжених коренів ( pi

2 −4qi < 0,

i =1,2,...,lt ) .

Означення 2.2. Раціональні функції вигляду

;

Bx +C

;

Bx +C

, де

x −a

(x −a)k

x2 + px + q

(x2 + px + q)k

A, B, C, p, q R ; k = 2,3... ; квадратний тричлен x2 + px + q не має дійсних коренів,

називаються простими дробами.

Оскільки знаменник правильного дробу можна подати у вигляді (2.3), то має місце

Теорема 2.1. Правильний раціональний дріб Pm (x) єдиним способом можна подати у вигляді суми

Qn (x)

простих дробів. Кожному множнику вигляду (x −a)k у розкладі знаменника (2.3) правильного дробу відповідає сума k простих дробів вигляду

+... +

(2.4)

x −a

(x −a)2

(x −a)k

Кожному множнику вигляду (x2 + px + q)l

з розкладу (2.3) відповідає сума l простих дробів

B1x +C1

B2 x +C2

+... +

Bl x +Cl

(2.5)

(x2 + px +q)l

x2 + px +q (x2 + px +q)2

Для визначення невідомих коефіцієнтів A , B , C

дріб

Pm (x)

зображають у вигляді суми дробів типу

i i

Qn (x)

(2.4), (2.5), які зводять до спільного знаменника Qn . Прирівнюючи чисельники, отримуємо зліва многочлен степеня m (m < n) , а справа – степеня n −1 з буквенними коефіцієнтами, вираженими через Ai , Bi , Ci . Підставляючи замість змінної x по черзі n довільних значень (в тому числі

a1 , a2 ,..., ak ), отримаємо систему n рівнянь з n невідомими, яка завжди має єдиний розв’язок. Пояснимо сказане на прикладі.

Приклад 2.1. Розкласти дріб x6 −10x2 +6x −3 на прості дроби. x4 +3x2

Цей дріб є неправильним ( m = 6, n = 4 ); діленням чисельника на знаменник подамо його у вигляді суми многочлена і правильного дробу

x6 −10x2 + 6x −3	= x2 −3 +	− x2 +6x −3	.
x4 +3x2
		x4 +3x2

Зобразимо дріб з правої частини рівності у вигляді суми простих дробів. Для цього розкладемо

на множники його знаменник: x4 +3x2			= x2 (x2 +3) . Знаменник має дійсний корінь x = 0				кратності
2, якому відповідають прості дроби		A1		і	A2	, та пару комплексно-спряжених коренів	x = ± 3i ,
		x			x2
для якої простий дріб має вигляд	Bx +C			.	Отже, зводячи прості дроби до спільного знаменника,

	x2 +3

матимемо

− x2 +6x −3

A A

Bx +C

A x(x2

+3) + A (x2

+3) +(Bx +C)x2

x4 +3x2

2 +3

x4 +3x2

Прирівнюючи чисельники лівої і правої частин рівності, отримаємо

− x2 +6x −3 = A1 x(x2 +3) + A2 (x2 +3) + (Bx +C)x2 .

Надаючи змінній x

значень 0;1; −1; 2 , дістанемо систему чотирьох рівнянь з чотирма

невідомими

= −3,

4A1 + 4 A2 + B + C = 2,

− 4 A

+ 4 A

− B + C = −10,

+ 7 A2

+8B + 4C =5,

14 A1

розв'язками якої є A1 = 2, A2 = −1, B = −2, C = 0 . Таким чином,

x6 −10x2 +6x −3

= x2

−3 +

−

x4 +3x2

x2 +

2.2. Інтегрування простих дробів

Нехай необхідно знайти інтеграл від правильного раціонального дробу ∫Pm (x) dx, m < n . Для цього

Qn (x)

необхідно вміти: 1) розкладати раціональні дроби на прості; 2) інтегрувати прості дроби. Розв'язанню першої із задач був присвячений попередній пункт; у цьому ми ров'яжемо другу задачу.

Розглянемо інтегрування простих дробів вигляду

Bx +C

−a

(x −a)k

x2 +bx +c

(x2 +bx +c)k

(k = 2,3...) . Для знаходження інтегралів від перших двох дробів скористаємось табл.3 розділу 6.

I (1)

= ∫

dx = Aln

x −a

+C ,

(2.6)

x −a

(2)

= ∫

1−k

( k = 2,3... ).

dx =

−a)

(2.7)

(x −a)k

1−k

Знаходження інтеграла

(3)

= ∫

Bx +C

dx розглядалось у п.1 цього розділу; він зводиться до

x2 +bx +c

табличних інтегралів:

∫

z −k

∫

та

arctg

+C .

z2 −k 2

z +k

z 2 +k 2

Для знаходження інтеграла вигляду ∫

Bx +C

dx може бути використана рекурентна формула

+bx +c)

(див. п.3.3. розділу 6)

)(x2 +bx +c)1−k

Bx +C

2k −3

Ik = ∫

dx =

Ik −1 ,

k = 2,3...

(2.8)

(x2 +bx +c)k

2 c −

−1)

2 c −

−1)

2.3. Інтегрування раціональних дробів

Виходячи із вище сказаного, можна вказати такий

Алгоритм інтегрування раціональних дробів

Pm (x)

Q (x)

1) Вияснимо, чи є правильним дріб Pm (x) . Якщо дріб неправильний, то виділимо його цілу

Qn (x)

частину і подамо у вигляді (2.2).

2)Розкладемо правильний дріб на прості дроби вигляду (2.4), (2.5).

3)Знайдемо інтеграли від виділеної цілої частини і всіх простих дробів (методами, розглянутими у п. 2.2), які потім додамо.

Розглянемо деякі випадки.

Знаменник має лише дійсні різні корені:

Qn (x) = (x −a1 )(x −a2 )...( x −an ) .

У цьому випадку дріб ∫

P (x)

dx розкладається на прості дроби вигляду

і інтегрується з

Q (x)

x −a

використанням формули (2.6):

Pm (x)

∫Q

(x) dx = ∫ x

−a

+ x

−a

+... + x −a

dx =

= A1 ln

x −a1

+ A2 ln

x −a2

+... + A2 ln

x −a2

+C .

Приклад 2.2. Знайти інтеграл ∫

(x −3)(x + 2)

Розкладемо правильний підінтегральний дріб на прості дроби

A1 (x + 2) + A2 (x −3)

(x −3)(x + 2)

x −3

+ 2

(x −3)(x + 2)

Прирівняємо чисельники лівої і правої частин рівності:1 = A1 (x +2) + A2 (x −3) та надамо змінній x

значень, що співпадають із коренями знаменника. При x = 3 дістанемо A1

= 1

, при x = −2

−1

матимемо A2 = − 1

. Отже,

і даний інтеграл запишеться

(x −3)(x +

x −3

x + 2

= 15 ln x −3 − 15 ln x + 2 + C .

∫(x −3)(x + 2)

= 15 ∫x −3

−

15 ∫x + 2

Знаменник має лише дійсні корені, причому деякі з них кратні:

Qn (x) = (x −a1 )k1 (x −a2 )k2 ...(x −an )kn , ( k1 + k2 +... + ks = n ).

У цьому випадку підінтегральна функція ∫

(x)

розкладається на прості дроби вигляду

та

Q (x)

x −a

(α = 2,3... ), що інтегруються згідно з формулами (2.6), (2.7).

(x −a)α

Приклад 2.3. Знайти інтеграл ∫

dx .

(x +1)

−3)

Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби

x2 + 7

(x +1) 2 (x −

x +1

+1) 2

x −

A (x +1)(x −3) + A (x −3) + A (x +1)

(x +1)2 (x −3)

Прирівнюючи чисельники дробів:

x 2 +7 = A1 (x +1)(x −3) + A2 (x −3) + + A3 (x +1) 2

та надаючи

змінній x

значень −1; 3; 0 ,

дістанемо:

при x = −1 :

8 = −4A2 , звідки A2 = −2 ;

при x = 3 :

16 =16A3 ,

звідки A3 =1 ;

при x = 0 :

7 = −3A1 −3A2 + A3 ,

звідки A1 = 0 .

Отже, ∫

x2 + 7

− 2

+C .

+ ln

x −3

(x +1)

dx = ∫

2 +

−3

dx =

(x −3)

(x +

Знаменник має комплексні прості корені:

Якщо

(x −a )k1

)ks (x2 + p x + q

(x) = c

...(x −a

)...(x2 + p

x + q

)

( k

+... + k

+ 2t = n ), то серед простих дробів обов'язково є простий дріб вигляду

Bx +C

ax2 +bx +c

Приклад 2.4. Знайти інтеграл

∫

−10x2 +6x −3

dx .

Як було показано у прикладі 2.1, підінтегральну функцію можна розкласти на прості дроби

x6 −10x2 +6x −3

= x2 −3 +

−

; тоді відповідний інтеграл запишеться

x2 +

x4 +3x2

−10x2 + 6x −3

− ∫

dx .

∫

dx = ∫ x

−3

−

dx =

−3x + 2 ln

+ 3

Для знаходження останнього інтеграла внесемо 2x під знак диференціала 2xdx = d (x2 +3) і зробимо заміну змінних x2 +3 = z ; матимемо

∫

dx = ∫

= ln

+C = ln

x2 +3

+C .

Отже,

∫

−10x 2 +6x −3

dx =

−3x +2 ln

−ln

+C .

+3x

Знаменник має комплексні кратні корені:

Qn (x) = cn (x −a1 )k1 ...(x −as )ks (x2 + p1 x + q1 )l1 ...(x2 + pt x + qt )lt ,

( k1 +... + ks + 2(l1 +... +lt ) = n ).

Якщо знаменник має кратні комплексні корені, то серед простих дробів підінтегральної функціі є


дроби вигляду		Bx +C		, інтеграли від яких знаходяться згідно з рекурентною формулою (2.8).
	(x2 + px + q)k
Приклад 2.5. Знайти інтеграл ∫						dx		.
						(x2 + 5)2
Цей інтеграл можна розглядати як Ik									з формули (2.8) (при k = 2, B = 0, C =1, b = 0, c =1 ).
Використовуючи вказану формулу, матимемо
dx		x	1		dx		x		1	x
I 2 = ∫(x2 + 5) 2		= 2(x2 +1)	+ 2		∫x2 + 5		= 2(x 2 +1)		+ 2 5 arctg	5 + C .

Із викладеного вище випливає, що інтеграл від довільної раціональної функції може бути вираженим через елементарні функції у замкнутому вигляді, а саме:

1)через логарифми – у випадку простих дробів першого типу;

2)через раціональні функції – для простих дробів другого типу;

3)через логарифми і арктангенси – для просттих дробів третього типу;

4)через арктангенси і раціональні функції – для дробів четвертого типу.

2.4.Інтегрування раціональних дробів без розкладу на прості дроби

Недолік розглянутого методу інтегрування раціональних дробів полягає в необхідності розкладу знаменника дробу на множники і громіздкості перетворень при знаходженні коефіцієнтів розкладу на прості дроби.

Іноді можливим є більш простий шлях розв'язку, що передбачає штучні методи розкладу або дозволяє взагалі його уникнути.

Приклад 2.6.

Для знаходження інтеграла ∫((xx2	2
	++1)1)2 dx доцільно перетворити чисельник і подати

підінтегральну функцію у вигляді суми двох дробів, що інтегруються методом заміни змінної

∫

(x +1) 2

∫

(x 2 +1) + 2x

+1)

2 dx =

+1)

dx = ∫

dx =

= arctg x + ∫

2xdx

= arctg x +

∫

= x −

+ C =

+1)

x2 +1=z

2xdx=dz

=arctg x − x21+1 + C .

3.Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

Упопередньому пункті ми показали, як інтегрувати у замкнутому вигляді раціональні функції. Основним прийомом при інтегруванні наступних двох класів функцій – тригонометричних та тих, що містять радикали – є знаходження таких підстановок t =ϕ(x) (де ϕ(x) сама виражається через

елементарні функції), які б звели підінтегральний вираз до раціонального вигляду. Цей прийом називається методом раціоналізації підінтегрального виразу.

3.1. Універсальна тригонометрична підстановка

Розглянемо інтегрування раціональних функцій від синуса і косинуса, тобто інтеграли вигляду

∫R(sin x,cos x)dx .								(3.1)
Покажемо, що підстановка	tg	x	=t	(−	π	<t <	π )	раціоналізує цей інтеграл, тобто зводить його до
					2
	2						2

інтеграла від раціонального дробу відносно нової змінної t . Для цього виразимо sin x та cos x через

(тобто через t ):

sin x =

2sin

cos

2sin

cos

2 tg

;

2 x

+t 2

sin

+cos

1+ tg

2 x

cos x =

cos

−sin

cos

−sin

− tg

1 −t 2

2 x

sin

+cos

+ tg

1 +t 2

2dt

Враховуючи, що x = 2 arctg t ,

, даний інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної

1 +t 2

функції

1−t

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R

2 ;

1+t

2 dt = ∫R1 (t)dt .

1+t

Таким чином, інтеграли вигляду ∫R(sin x,cos x)dx завжди знаходяться у замкнутому вигляді; для їх

представлення крім функцій, що зустрічаються при інтегруванні раціональних функцій, використовуються лише тригонометричні функції.

Приклад 3.1.

Знайдемо інтеграл ∫

sin x

Згідно з поданими вище формулами матимемо

2dt

∫

= ∫

1 + t 2

= ∫dt

= ln

+ C = ln

+ C .

sin x

1 + t 2

Підстановка tg 2x =t називається універсальною тригонометричною підстановкою; вона дозволяє

проінтегрувати довільну функцію вигляду ∫R(sin x,cos x)dx .

3.2. Деякі інші підстановки

На практиці універсальна тригонометрична підстановка може привести до громіздких раціональних функцій. Тому в окремих випадках зручно використовувати деякі інші підстановки, які випливають із властивостей підінтегральної функції R(sin x, cos x) .

Сформулюємо і покажемо приклад застосування таких правил:

1. Якщо R(sin x, cos x) є непарною функцією відносно sin x , тобто R(−sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) , то підстановкою cos x = t інтеграл (3.1) зводиться до інтегралу від

раціональної функції ∫R1 (t)dt .							cos x ,
2.	Якщо	R(sin x, cos x)	є	непарною	функцією	відносно	cos x ,	тобто
R(sin x,−cos x) = −R(sin x, cos x) , то інтеграл (3.1) раціоналізується підстановкою sin x = t .
3.	Якщо	функція R(sin x, cos x)		задовольняє	умову R(−sin x,−cos x) = R(sin x, cos x) , то

підстановкою tg x = t	(або ctg x =t ) інтеграл (3.1) зводиться до інтеграла від раціональної функції.
Приклад 3.2. Знайти інтеграл ∫ sin x dx .
		cos x
Оскільки функція sin x		є непарною відносно sin x , то зробимо заміну cos x =t , звідки
	cos x
−sin xdx = dt і ∫	sin x dx = −∫ dt = −2 t +C = −2 cos x +C .
	cos x	t

Приклад 3.3. Знайти інтеграл ∫			dx				.
Приклад 3.3. Знайти інтеграл ∫	4sin	2	x − 9cos		2		.
	4sin		x − 9cos			x
Підінтегральна функція R(sin x, cos x) =						1		задовольняє умову пункту 3
Підінтегральна функція R(sin x, cos x) =				4sin 2 x −9 cos2 x				задовольняє умову пункту 3
(перевірити самостійно), отже ефективною буде підстановка tg x = t , звідки									1		dx = dt .
									cos2		dx = dt .
									cos2	x

Перетворимо попередньо підінтегральну функцію (поділимо чисельник і знаменник дробу на cos2 x ) і виконаємо дану підстановку

2 tg x −3

∫

= ∫

cos 2 x

= ∫

∫

= =

2 t−3

+ C =

+ C .

4 sin

x −9 cos

4 tg

x −9

−9

t 2

− (3

2 t+ 3

2 tg x + 3

3.3. Знаходження інтегралів вигляду ∫(sin x)k (cos x)l dx (k,l N ) .

При інтегруванні добутків парних степенів синусів та косинусів ∫(sin x)2n (cos x)2m dx ( n, m = 0,1,2...) для пониження степенів тригонометричних функцій використовують формули

sin 2 x =

1 −cos 2x , cos2 x =

1 +cos 2x .

Приклад 3.4. Знайти інтеграл ∫sin 4 xdx .

Перетворимо підінтегральний вираз з використанням запропонованих формул

−cos 2x

2x)dx .

∫sin

xdx =

∫(sin

dx = ∫

dx =

∫(1

− 2 cos 2x + cos

Проінтегруємо почленно кожен з доданків, причому до останнього знову використаємо формулу пониження степеня. Отже,

∫sin 4 xdx = 4x − sin42x + 14 ∫1 + cos2 4x dx = 4x − sin42x + 8x + sin324x + C = =

3x	−	sin 2x	+	sin 4x	+C .
8
	4		32

Якщо хоча б один з показників степеня є непарним, то відповідний інтеграл можна звести до випадку 1 (якщо непарним є показник степеня sin x ), або 2 (якщо непарним є показник степеня cos x ) пункту 3.2.

Приклад 3.5.

Обчислити інтеграл ∫sin 2 x cos3 xdx .

Перетворимо підінтегральний вираз та проведемо заміну змінних

∫

sin 2 x cos3 xdx =

∫

sin 2 x cos2

∫

t 2 (1 −t 2 )dt =

∫

(t 2 −t 4 )dt =

t 3

−

t 5

x cos xdx

sin x=t

cos xdx=dt

+ C = sin 3 x	− sin 5 x	+ C .
3	5

3.4. Інтегрування добутків синусів та косинусів

Якщо інтеграл має вигляд ∫sin axcosbxdx , ∫sin axsin bxdx або ∫cos ax cosbxdx , то за допомогою тригонометричних формул

sinα cos β = 12 (sin(α − β) +sin(α + β)),

sinα sin β = 12 (cos(α − β) −cos(α + β)), cosα cos β = 12 (cos(α − β) +cos(α + β))

він зводиться до табличних інтегралів.

Приклад 3.6. Обчислимо ∫sin 3x sin xdx .

	∫sin 3x sin xdx =				1	∫(cos 2x − cos 4x)dx =	1	sin 2x		−	sin 4x	+ C =

					2		2		2		4
					2		2		2		4
=	sin 2x	−	sin 4x	+C .
4		8

4. Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Інтегрування ірраціональних функцій є досить складною задачею. Розглянемо деякі ірраціональні функції, інтеграли від яких за допомогою відповідних підстановок зводяться до інтегралів від раціональних функцій, а отже інтегруються в замкнутому вигляді.

4.1. Інтеграли вигляду ∫R(x, n ax +b )dx , ( n = 2,3.... , a ≠ 0 )

Якщо підінтегральний вираз містить лише лінійну ірраціональність n ax +b , то, використовуючи

заміну n ax +b = t (звідки x =

t n −b

dx =

nt n−1

), підінтегральну функцію вдається раціоналізувати.

Приклад 4.1. Знайдемо інтеграл ∫

xdx .

x −1

Вважаємо t = 3

x −1 , тоді x = t 3 +1;

dx = 3t 2 dt

і інтеграл знаходиться

xdx

(t 3 +1)3t 2 dt

3t 5

3t 2

∫

3 x −1 = ∫

= 3∫(t

+t)dt =

5 +

2 +C =

3 (x −1)5 + +

2 3 (x −1)2 +C .

4.2. Інтеграли вигляду ∫R( x,x

,...,x

)dx

Якщо підінтегральний вираз є раціональною функцією своїх аргументів,

pi , qi N , то заміною

= t , де n – спільний знаменник дробів

...

, дробовий степінь змінної x перетвориться у

цілий степінь змінної t ,

і підінтегральна функція виразиться через раціональну функцію від t .

Приклад 4.2. Знайти інтеграл ∫

3 x4

dx .

− 4 x5

; спільним знаменником дробових

Підінтегральна функція є раціональною відносно x

, x

показників степеня є 12. Тому проведемо заміну змінних x

= t , звідки x = t12 , dx =12t11dt

∫

dx = ∫

12∫

dt =12∫

(t2 −1) +1

=12∫(t +1 +

3 x4 − 4 x5

−t

15 12t dt =

t −1

= 66 x +1212 x +12 ln 12 x −1 + C .

+ t −1)dt = 6t 2 +12t +12 ln t −1 + C

ax +b

та

Зауваження. За аналогією знаходяться інтеграли ∫R x, n

cx +d dx

ax +b

ax + b

∫R x,

....

dx .

Для першого з них використовується заміна t = n

cx + d

+ d

cx + d

для другого –

t = ax

, де

n – спільний знаменник дробів

...

cx + d

4.3. Інтеграли вигляду ∫R(x,

ax2 +bx +c )dx

Для знаходження інтегралів цього типу (сюди належать і інтеграли з пункту 1 цього лрозділу) існує багато різних способів, зокрема три підстановки Ейлера. Розглянемо тут лише один спосіб – метод тригонометричних підстановок. Вилученням під знаком радикала повного квадрата та відповідною

лінійною заміною змінних такі інтеграли зводяться до одного з таких трьох видів: ∫R(x, a2 − x2 )dx ,