Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекція 24

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

323.33 Кб

Скачать

☆

Лекція 24. Екстремум. Необхідні і достатні умови у випадку довільного числа змінних. Гессіан. Умовний екстремум з довільним числом обмежень

1.Необхідна умова екстремуму функції двох змінних

Введені в попередніх розділах поняття частинних похідних та диференціалів допомагають при дослідженні поведінки функцій декількох змінних. А саме відповідати на запитання, чи існують точки, в яких значення функції є найбільшим або найменшим на всій області визначення або ж для точок з невеликих підобластей області визначення

(точки локального екстремуму).
Отже, нехай задана функція двох змінних
z = f (x, y) ,									(1.1)
визначена в деякому околі U (M 0 )					точки M 0 (x0 , y0 ) .
Означення 1.1. Точка	M 0 (x0 , y0 )				називається точкою локального максимуму (мінімуму)
функції (1.1), якщо існує			δ -окіл цієї точки Uδ (M 0 ) D f такий,						що для довільної
відмінної від M 0 точки M (x, y) U δ (M 0 ) виконується відповідна нерівність
f (x1 , y1 ) < f (x0 , y0 ) точка максимума,									(1.2)
f (x1 , y1 ) > f (x0 , y0 ) точка мінімума.									(1.3)
Значення функції в точках максимума та мінімума називають відповідно максимумом
та мінімумом функції.
Максимум і мінімум функції називають екстремумами функції.
Зауваження. Нехай	M (x0 +		x, y0 + y) Uδ (M0 ) .				Тоді	f = f (M ) − f (M0 ) < 0	, якщо M0 - точка
максимума функції,	f = f (M ) − f (M0 ) > 0 якщо M0 - точка мінімума функції (див. рис.1, 2).
						z
						z0	M0
	z	(x		+	x,y	+ y)	M0
	0		0		0
							M
						0	y0	y0+ y

x0 y

x0+ x x

Рис.1. Точка максимума

z0(x0+ x,y0+ y)

z0	M
z0
0	M0 y0 y0+ y
x0	y

x0+x x

Рис.2. Точка мінімума

Означення 1.2. Значення функції z в точці екстремуму (максимуму або мінімуму) називається локальним екстремумом (максимумом або мінімумом ) даної функції.

Приклад 1.1. Точка O(0;0) є точкою локального максимуму функції z = 4 − x2 − y2 . В цій точці дана функція досягає свого максимуму zmax = 2 (див. рис. 3).

z		z
2
0		0
0	y	y
	y	y
x		x
x
Рис. 3.		Рис. 4.

Для функції z = x2 + y2 (рис.4) точка O(0;0) є точкою локального мінімуму. Локальний мінімум у цій точці дорівнює zmin = 0 .

Функція декількох змінних, зрештою як і функція однієї змінної, може мати декілька або безліч локальних екстремумів,а може не мати жодного.

Теорема 11.		(необхідна умова екстремуму).
Нехай функція z = f (x, y)						має в точці M 0 (x0 , y0 ) екстремум. Тоді, якщо існують похідні
першого порядку				∂f	, ∂f	в точці M 0 (x0 , y0 ) , то вони дорівнюють нулеві.
				∂x	∂y
	∂f		= 0


	∂x	M0	.			(1.4)
	∂x	M0
	∂f
	∂f		= 0
	∂y		= 0
		M0
		M0

Зауваження. Умова (1.4) не є достатньою для існування в точці M 0 екстремуму функції.

Приклад 1.2. Функція двох змінних z = x2 y має частинні похідні

∂z	= 2xy ,	∂z	= x2 ,
∂x		∂y

які обертаються в нуль у точці O(0;0) . Функція z в точці O(0;0) також дорівнює нулю z(0;0) = 0. Однак, точка O(0;0) не є точкою екстремуму, оскільки в довільному околі цієї точки є точки, в яких z(x, y) > 0 (для y > 0 ) та z(x, y) < 0 (для y < 0 ).

Означення 1.3. Точки, в яких існують неперервні частинні похідні функції z , що задовольняють умову (1.4) називають стаціонарними точками.

Отже, координати стаціонарних точок шукають, розв’язуючи систему двох рівнянь (1.4).

Приклад 1.3. Знайти стаціонарні точки функції z = x2 + y2 −4x −2 y +5 .

∂∂z =x

∂z =∂y

2x −4 = 0

2 y −2 = 0

x = 2y =1

Точка M0 (2;1) - стаціонарна точка.

2. Достатні умови екстремума

Для того, щоб сформулювати достатні умови існування екстремума функції в точці M 0 (x0 y0 ) , означимо деякі нові поняття.

Квадратичною формою B двох змінних x, y називається вираз

B = a	x 2 + 2a		xy + a	22	y 2	,	(2.1)
11	12			22
де aij , i =1,2 ,	j =1,2 -	деякі константи.

Означення 2.1. Квадратична форма називається додатньо визначеною , якщо вона набуває додатних значень для всіх значень змінних x, y , за винятком x =0, y =0 , де вона

дорівнює нулю.
Квадратична форма називається від’ємно	визначеною, якщо вона набуває лише
від’ємних значень для всіх значень змінних x, y	за винятком x =0, y =0 .

Квадратична форма, яка набуває як від’ємних, так і додатних значень при різних значеннях зміннихx, y , називається знаконевизначеною.

Приклад 2.1. Квадратична форма B = x2 + y2 є додатньо визначеною, оскільки для довільних значень x та y (крім x = 0, y = 0 ) B > 0 .

Означення 2.2.		Симетрична матриця
a		a		(2.2)
B = 11		12
a	21	a	22

складена із коефіцієнтів квадратичної форми (2.1), де a12 = a21 , називається матрицею квадратичної форми B .

Означення 2.3. Матриця додатньо визначеної (від’ємно визначеної) квадратичної форми називається додатньо (від’ємно) визначеною матрицею.

Твердження (критерій Сільвестра).

Квадратична форма (2.1) є додатньо визначеною тоді і тільки тоді, коли всі головні мінори її матриці більші за нуль, тобто

1	= a > 0,	2	=	a11	a12	=det B >0.
1	11	2		a21	a22
				a21	a22

Квадратична форма є від’ємно визначена тоді і тільки тоді, коли знаки головних мінорів чергуються, причому перший головний мінор від’ємний, тобто

1 < 0, 2 > 0.

Повернемось тепер до функції

(2.3)

z = f (x, y)

і запишемо другий диференціал цієї функції

d 2 z = ∂2 f

dx 2

+ 2

∂2 f

dxdy +

∂2 f

dy 2 .

(2.4)

∂y 2

∂x 2

∂x∂y

Очевидно,

що d 2 z

є квадратичною

формою відносно змінних

dx, dy , а коефіцієнти

aij (i, j =1,2)

рівні відповідно

∂2 f

, a

= a

∂2 f

(2.5)

∂x2

∂x∂y

Матриця квадратичної форми (2.4) має вигляд

∂2 f

∂x

∂x∂y

(2.6)

B =

∂2 f

∂x∂y

∂y

Теорема 2.1. (Достатня умова екстремуму)

Нехай функція

z = f (x, y) в околі деякої стаціонарної

точки

M 0 (x0 , y0 )

тричі

диференційовна і двічі неперервно диференційовна в точці M 0 .

Тоді в точці

M 0

існує другий диференціал d 2 z

. Якщо

M 0

•

d 2 z

додатньо визначена квадратична форма,

то в точці

M 0

функція

M 0

досягає свого локального мінімуму;

•

d 2 z

від’ємно визначена квадратична форма,

то в точці

M 0

функція

M 0

досягає свого локального максимуму.

Отже, для функції двох змінних додатню (від’ємну) визначеність другого диференціалу визначають знаки визначників

∂2 f

∂2

2 =

∂x2

M 0

∂x∂y

M 0

∂x2

∂2 f

M 0

(2.7)

∂x∂y

M 0

∂y 2

M 0

∂2

− (

∂2 f

)

∂x 2

∂y

∂x∂y

M 0

Сформулюємо правило для знаходження локальних екстремумів функції двох змінних.

Правило знаходження екстремуму функції двох змінних

1. Знаходять стаціонарні точки, тобто розв’язки системи рівнянь

	∂f	= 0
	∂x	= 0
	∂x
	∂f = 0
	∂f = 0
	∂y
	∂y

Нехай це точки

M1 (x1 , y1 ),..., M k (xk , yk ) .

2. Знаходять похідні другого порядку

∂2 f

∂x 2

∂y 2

∂x∂y

та їх значення в точках

M i (i =

) ,

а також значення визначників 1 , 2 в цих точках і

1, k

роблять наступні висновки:

•

якщо

> 0,

то точка M i

є точкою локального мінімуму;

•

якщо

< 0,

> 0,

то точка M i

є точкою локального максимуму;

•

якщо

< 0 , то в точці M i немає екстремуму;

•

якщо

= 0 ,

то в такій точці екстремум може бути, а може й не бути (необхідні

додаткові дослідження).

Приклад 2.2. Знайти екстремум функції z = x2 − xy + y2 +3x −2 y +1. 1) Знаходимо стаціонарні точки:

∂∂z =x

∂z =∂y

2x − y +3 = 0

−x + 2 y −2 = 0

x = − 43

y = 13

Отже, є одна стаціонарна точка M 0 (−

;

2) Встановимо характер цієї точки:

∂2 z

= 2;

∂2 z

= −1;

∂2 z

= 2.

∂x2

∂x∂y

∂y2

Тоді

1 = 2 > 0,

2 = 2 2 −(−1)2 = 3 > 0.

Отже, точка M 0 (− 43 ; 13) - точка локального мінімуму і

zmin = (− 43 )2 −(− 43 ) 13 + (13)2 +3 (− 43 ) − 2 13 +1 = − 43 .

Приклад 2.3. Знайти точки екстремуму та побудувати графік

функції		z = 2x2 −3y2.
			∂z	= 4x = 0


Визначимо стаціонарні точки:			∂x	, x = 0 .
			∂z	= −6 y = 0 y = 0
y				= −6 y = 0 y = 0
y			∂y
			∂y
Точка M0 (0;0) - стаціонарна.
1 =	∂2 z	= 4 > 0,
	∂2 z
	∂x2
		M 0
		M 0

Рис..5

2 = (	∂2 z	∂2 z	−	∂2 z		=
					)
	∂x2	∂y2		∂x∂y
= −24 < 0.						M 0


Точки екстремуму немає
Отже, в точці M0 екстремуму немає. Дійсно, якщо розглянути
функцію		z як функцію лише змінної x ( y зафіксувати), то в

початку координат є мінімум по x . Якщо ж розглядати z як

функцію від y ( x зафіксувати), то в точці O(0;0) функція досягає свого максимуму.

Означення 2.4. Точки, в яких функція двох змінних по одній змінній досягає свого максимуму, а по іншій – мінімуму, називаються сідловими точками.

Зауваження. Точки, в яких функція не є диференційовною, можуть також бути точками екстремуму. Такі точки досліджують окремо.

Приклад 2.4. Дослідити на екстремум функцію z = x + y .

Так задану функцію можна записати у вигляді

x + y,

= − x + y, z x − y,

− x − y,

x ≥ 0, y ≥ 0
x < 0, y ≥ 0 .	Тоді	∂z
x < 0, y ≥ 0 .	Тоді	∂x
x ≥ 0, y < 0		∂x
x < 0, y < 0

1,		x ≥ 0, y −		довільне,
=		x < 0, y −
−1,
	∂z	1,	y ≥ 0,	x −	довільне
		=	y < 0,	x −
	∂y
		−1,

Отже, в точках (0; y), (x;0) ( x або y відповідно набувають довільних значень)		і, зокрема в точці
O(0;0)	похідні функції z не існують. Але є очевидним той факт, що функція	z =	x	+	y	набуває в
O(0;0)		z =	x	+	y	набуває в
точці	O(0;0) свого локального мінімуму zmin = 0.
3. Умовний екстремум функції двох змінних
Одним	із найяскравіших і широко використовуваних в різноманітних галузях науки,

зокрема економіки, досягнень диференціального числення є пропоновані ним рецепти відшукання екстремумів функції.

У попередньому параграфі ці результати застосовували для дослідження функції двох змінних в околі точки M 0 (x0 , y0 ) , тоді як аргументи x, y могли набувати довільних значень з

деякого околу точки M 0 . Часто виникає складніша, проте більш реальна ситуація, коли

шукається екстремум функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів. Роз’яснимо суть задачі на простому прикладі: серед прямокутників, що мають заданий

периметр p , знайти такий, площа якого була б найбільшою.

Позначимо через x та y довжину і ширину прямокутника, тоді його площа σ буде дорівнювати

σ= x y ,

аумова запишеться

2x + 2 y = p .

Отже, потрібно знайти екстремум функції σ за умови 2x + 2 y = p .

Дана конкретна задача розв’язується просто. Виразимо y = 12 ( p − 2x) і підставимо у

функцію σ

σ = x 12 ( p − 2x) .

Одержана функція є функцією однієї змінної. Дослідимо її на екстремум.

σ ' = 12 p − 2x =0 x = 4p ,

тоді

y = 12 ( p − 2p ) = 4p ; σ '' = −2 <0 .

Отже, прямокутник із заданим периметром буде мати найбільшу площу у випадку рівності довжини і сторони. Тобто це буде квадрат.

У загальному випадку задачу ставлять так. Знайти екстремум функції

z = f (x, y)	(3.1)
за умови, що змінні x, y	задовольняють рівняння
ϕ(x, y) = 0 .	(3.2)

Зауваження. Умова (3.2) може містити не лише одне рівняння, але й два, або ж нерівності.

Задачу (3.1), (3.2) називають задачею на відшукання умовного екстремуму функції двох змінних, а рівняння (3.2) – рівнянням зв’язку.

Означення 3.1. Функція має в точці M 0 (x0 , y0 ) умовний максимум (мінімум), якщо для будь - якої точки M (x, y) Uδ (M 0 ) за умови, що координати точок M та M 0 задовольняють умови зв'язку (3.2), виконується нерівність

f (M ) ≤ f (M 0 ); ( f (M ) ≥ f (M 0 )).

Для геометричного тлумачення постановки задачі (3.1), (3.2) розглянемо функцію двох змінних

z −3 =( x −2 )2 +( y −2 )2 ,

визначену на всій площині XOY .

Потрібно знайти екстремум цієї функції, якщо на змінні x та y накладено умову x + y −6 = 0.

	0	2	3	6
3	2			y
3	2

Рис. 6. Умовний екстремум функції

Тобто, на відміну від звичайної точки екстремуму, значення функції z = f (x, y) в точці

умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякого її околу, а тільки в тих, які лежать на лінії, рівнянням якої є умова зв'язку ϕ(x, y) = 0 .

Як видно з рис.6 , екстремум функції z −3 =( x −2 )2 +( y −2 )2 досягається в точці M 0 (2;2) і дорівнює zmin =3. Проте із накладанням умови x + y −6 = 0 функція набуває свого мінімального значення в точці M 1 (3;3)

zmin =( 3 −2 )2 +( 3 −2 )2 +3 = 5.

Зауваження. Умовний і безумовний екстремум можуть збігатися або ні. Функція може не мати екстремуму, проте мати умовні екстремуми.

Покажемо тепер, що задачу про відшукання умовного екстремуму функції двох змінних можна звести до задачі на відшукання безумовного екстремуму деякої іншої функції.

Нехай точка M 0 (x0 , y0 ) ϕ(x, y) = 0								- точка умовного екстремуму функції двох змінних
	z = f (x, y)								(3.3)
із заданим рівнянням зв’язку									(3.4)
ϕ(x, y) = 0.
Рівняння (3.4)				неявно задає				y як функцію від	x . Тоді функція (3.3) за умови (3.4) є
функцією однієї змінної x . Визначимо похідну від функції z по змінній x
	dz	=	∂f +	∂f		dy	.		(3.5)
				∂y
	dx		∂x			dx
Оскільки точка M 0					- точка умовного екстремуму,				то похідна (3.5) повинна бути рівною
нулю, тобто

(	∂f	+	∂f	dy	)	= 0 .
(		+			)	= 0 .
	∂x		∂y	dx		M 0
						M 0

З рівняння зв’язку (3.4) після диференціювання по x одержимо рівність

∂∂ϕx + ∂∂ϕy dydx =0

і, зокрема в точці P0

(	∂ϕ	+	∂ϕ	dy	)	= 0 .
(		+			)	= 0 .
	∂x		∂y	dx		M 0
						M 0

Домножимо (3.8) на поки що невідомий множник λ (незалежний від одержану рівність (3.6)

(

∂f

)

λ (

∂ϕ

)

= 0 або

∂x

∂y

M 0

∂x

∂y dx

M 0

∂f

∂ϕ

∂f

∂ϕ

= 0 .

+ λ

∂x

∂y

∂x

M 0

Нехай λ можна вибрати таким, що

(	∂f	+ λ	∂ϕ)
				=0,
	∂x		∂x	M0

(3.6)

(3.7)

(3.8)

x та y ) і додамо

(3.9)

( ∂f + λ ∂ϕ)		= 0.	(3.10)
∂y	∂y	M 0
		M 0
Зауваження.	Таке λ можна вибрати, якщо хоча б одна з частинних похідних функції ϕ(x, y)			в
точці M 0 відмінна від нуля.
Рівняння (3.9), (3.10) виражають, як відомо, необхідні умови екстремуму функції
L(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y).			(3.11)
Функцію L(x, y, λ)	називають функцією Лагранжа.
Звідси випливає, що точка умовного екстремуму функції			f (x, y) за умови ϕ(x, y) = 0	є

обов’язково стаціонарною точкою функції (3.11). Запропонований метод називається методом множників Лагранжа. Метод Лагранжа розповсюджується на функції n змінних.

Повернемось до задачі (3.1), (3.2). Опустивши викладки, сформулюємо правило для відшукання умовного екстремуму функції двох змінних:

Правило для відшукання умовного екстремуму функції двох змінних

1. Побудувати функцію Лагранжа (3.11)

L(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y)

(3.12)

та знайти її стаціонарні точки. Для цього необхідно скласти систему трьох рівнянь

L'x =L'y =

ϕ(x,

f x' + λϕ'x =0

f y' + λϕy' =0 ,	(3.13)
y) = 0

з якої знайти можливі значення змінних x, y та λ. Для одержаних точок (xk , yk , λk )

перевіряють умови існування екстремуму функції Лагранжа. Точки, в яких функція Лагранжа набуває своїх екстремальних значень, будуть точками умовного екстремуму функції z = f (x, y) . Можливий випадок, коли функція Лагранжа не має екстремуму. Тоді

використовують інші методи відшукання умовного екстремуму функції двох змінних. Деякі з них будуть проілюстровані на прикладах.

Приклад 3.1. Знайти умовний екстремум функції z = x + y , якщо

x2 + y2 =1 .

Будуємо функцію Лагранжа

L(x, y,λ) = x + y +λ(x2 + y2 −1).

Розв’язуємо систему (3.13)

						= −		1	,		x =	1
				x		= −		1	,		x =	1
L'		=1	+ 2xλ = 0					2λ				2
	x							1				1
	'		+ 2 yλ = 0			= −		1	,		y =	1	.
Ly =1			+ 2 yλ = 0	y		= −		2λ	,		y =	2	.
		+ y	2 −1 = 0					2λ				2
x2		+ y	2 −1 = 0
				1			+	1		−1 = 0,	λ = ± 1
						2			2			2
					4λ			4λ				2

Отже, одержали дві стаціонарні точки функції Лагранжа M1

(− 1 ; −

1 ) та M2 (

1 ;

1 ).

Для встановлення характеру цих точок обчислюємо другі частинні похідні

∂2 L

= 2

∂2 L

= 0;

∂2 L

= 2

= 2.

∂ 2

∂x∂y

∂

1(M1) = 2 > 0,

2 (M1) = 2

2 −0 = 2 > 0.

Отже, точка M1

- точка умовного мінімуму.

∂2 L

= 2

(−

)

= −

∂2 L

= 0;

∂2 L

= 2 (−

) = − 2.

∂ 2

∂x∂y

∂

M 2

1(M2 ) = − 2 < 0,

2 (M2 ) = (− 2 ) (− 2 ) −0 = 2 > 0.

Точка M2 - точка умовного максимуму.

zmin

= z(M1) = −

+(−

1 ) = −

zmax = z(M2 ) = 1 +

1 = 2.

Приклад 3.2.

Знайти оптимальне значення функції z = x2 − y2 , якщо 2x − y −3 = 0.

Функція Лагранжа має вигляд: L(x, y,λ) = x2 − y2 +λ(2x − y −3) .

= 2x + 2λ = 0

2x + 2λ

= 0

λ = −2

= −2 y −λ = 0

− 4 y

= 0

= 2 .

L'y

− y −3 = 0

2x − y −3 = 0

Отже, точка M0 (2;1) - стаціонарна точка функції Лагранжа. Встановимо характер цієї точки.

∂2 L

= 2;

∂2 L

= 0;

∂2 L

= −2.

∂x2

∂x∂y

∂y2

1 =

∂2 L

= 2 > 0,

2 =

2 0

= −4

< 0.

∂x2

0 − 2

M 0

Отже,

функція Лагранжа в точці M0 екстремуму не має. Проте, це не означає, що функція

z = x2 − y2

в точці M0

не має умовного екстремуму. Дійсно, запишемо безпосередньо другий

диференціал функції z

в точці M0 (2;1)

d 2 z = 2dx2 +0 dxdy −2dy2 або d 2 z = 2dx2 −2dy2.

Продиференціювавши рівняння зв’язку 2x − y −3 = 0, одержимо

2dx −dy = 0 , dy = 2dx.

Тоді

d 2 z = 2dx2 −2(2dx)2 = 2dx2 −8dx2 = −6dx2 < 0.

Другий диференціал є від’ємно визначеною квадратичною формою, тому в точці M0 (2;1) функція z набуває свого умовного максимуму

zmax = 22 −12 = 3.

Соседние файлы в папке 2. Лекції

#
12.02.2016333.43 Кб41Лекція 17-18.pdf
#
12.02.2016320.45 Кб54Лекція 19.pdf
#
12.02.2016280.94 Кб53Лекція 2.pdf
#
12.02.2016311.55 Кб39Лекція 20.pdf
#
12.02.2016320.03 Кб43Лекція 21.pdf
#
12.02.2016323.33 Кб40Лекція 24.pdf
#
12.02.2016360.11 Кб59Лекція 3.pdf
#
12.02.2016247.27 Кб50Лекція 4.pdf
#
12.02.2016290.86 Кб45Лекція 5.pdf
#
12.02.2016353.87 Кб40Лекція 6.pdf
#
12.02.2016348.6 Кб40Лекція 7.pdf