Лекції та практичні з МатАналізу / 2. Лекції / Лекція 19

При означенні інтеграла ∫b

f (x)dx вимагалось, щоб: 1) проміжок інтегрування [a;b] був

a

скінченним; 2) підінтегральна функція f (x) була визначена та обмежена на [a; b]. Якщо хоча

б одна з цих умов порушується, то інтеграл ∫b

f (x)dx

називається невласним інтегралом.

a

1. Інтеграли з необмеженими границями

1.1. Означення інтеграла з необмеженими границями

Нехай функція

f (x) визначена в інтервалі [a;+∞) і інтегровна на довільному відрізку

[a, b] [a;+∞), так, що має зміст інтеграл I (b) = ∫b

f (x)dx , який є неперервною функцією від b .

a

Означення 1.1. Якщо існує скінченна границя lim ∫b

f (x)dx , то вона називається невласним

b→+∞ a

інтегралом першого роду від функції f (x)

на інтервалі [a;+∞) і позначається

+∞∫ f (x)dx .

a

Отже,

+∞∫ f (x)dx = lim ∫b

f (x)dx .

(1.1)

a

b→+∞ a

Наприклад, якщо f (x) =

1

, то +∞∫

dx

задає площу трапеції в межах [1;+∞) , яка, як буде

x2

x 2

1

показано у прикладі 1.3, дорівнює 1 (рис.1).

y

y=1/x2

1

x

0

1

Рис.1. Геометричний зміст невласного інтеграла першого роду

За аналогією визначаються невласні інтеграли і для інших безмежних інтервалів:

∫b

f (x)dx = lim ∫b

f (x)dx ;

(1.2)

−∞

a→−∞ a

0

dx

0

dx

0

π )

π .

∫

= lim ∫

= lim arctg x

= lim (arctg 0 − arctg a) = = 0 −(−

=

2

2

a

−∞ 1 + x

a→−∞ a

1 + x

a→−∞

a→−∞

2

2

в) При обчисленні інтеграла

+∞

dx

за точку c

зручно вибрати 0 . Тоді, враховуючи результати

∫

1

+ x

2

−∞

а) і б), матимемо

+∞

dx

0

dx

+∞

dx

π

π

=π .

∫

= ∫

+

∫

=

+

1 + x

2

2

+ x

2

−∞

−∞ 1 + x

0 1

2 2

Приклад 1.2. Обчислити

+∞

∫cos xdx .

π

+∞

b

∫cos xdx = lim

∫cos xdx = lim sin b .

π

b→+∞

π

b→+∞

Оскільки останньої границі не існує, то інтеграл є розбіжним.

Приклад 1.3. Встановити, при яких значеннях α інтеграл +∞∫

dx

збігається і при яких

xα

розбігається.

1

а) Нехай α ≠1 . Тоді

+∞ dx

b

−α

1

1−α

b

1

1

∫

α = lim

∫x

dx =

lim

lim

α−1 −1 .

x

=

1

x

b→+∞

1

1 −

α b→+∞

1

1

−α b→+∞ b

+∞ dx

1

1

1

1

1

Якщо

α −1 > 0 , то

lim

−

1

=

(0

−1) =

, тобто

∫

=

і інтеграл збіжний.

α−1

1 −α

α −

1

x

α

α −1

1 −α b→+∞ b

1

1

1

1

+∞ dx

Якщо

α −1 < 0

то

lim

−

1

=

(∞ −1) = +∞ ,

тобто

∫

–

розбіжний.

α−1

1

−α

x

α

1 −α b→+∞

b

1

+∞

b

б) При α =1

матимемо

∫dx

= lim ∫dx = lim (ln b − ln1)= +∞ , тобто інтеграл розбіжний. Отже,

1

x

b→+∞ 1

x

b→+∞

+∞

dx

1

∫

,α

>1

=

α −

1

.

xα

α ≤1

1

+ ∞,

0 ≤ f (x) ≤ g(x) . Тоді

а) якщо інтеграл +∞∫g(x)dx

збігається, то інтеграл +∞∫ f (x)dx також збігається і

a

a

0 ≤ +∞∫ f (x)dx ≤ +∞∫g(x)dx ;

a

a

б) якщо інтеграл +∞∫ f (x)dx

розбігається, то інтеграл +∞∫g(x)dx також розбігається.

a

a

Теорема 1.2. Якщо існує скінченна границя lim

f (x)

+∞

= c і 0 < c < +∞ , то інтеграли

∫

f (x)dx

x→+∞ g(x)

a

ють з іншим, збіжність чи розбіжність якого відома. Часто таким інтегралом є

+∞∫

dx

.

α

1

x

Приклад 1.4.. Дослідити на збіжність і оцінити +∞∫

dx

.

x 2 (1 + ln 2

x)

1

Для всіх x ≥1 виконується нерівність 1 + ln2 x ≥1 , а отже нерівність

0 ≤

1

≤

1

.

x 2 (1

+ ln 2

x)

x 2

Інтеграл

+∞∫

dx

=1 збіжний (див. приклад 1.3), тому інтеграл +∞∫

dx

також збіжний і

x 2

x 2

(1 + ln 2 x)

1

1

0 < +∞∫

dx

≤1 .

x 2 (1 + ln 2 x)

1

Приклад 1.5. Дослідити на збіжність інтеграл +∞∫

x +3

2 dx .

1

x

Оцінимо знизу підінтегральну функцію для x ≥1 :

x + 2 =

x +

2

=

=

1 +

2

> 1

. Оскільки

x

3

x

3

x

3

x

x

3

x

інтеграл +∞∫dxx є розбіжним (див. приклад 1.3.), то розбігається і

+∞∫

x +3

2 dx .

1

1

x

збіжність інтеграла +∞∫

f (x)

dx . Якщо цей інтеграл збіжний, то кажуть, що функція

f (x)

a

абсолютно інтегрована.

Теорема 1.3. Якщо інтеграл +∞∫

f (x)

dx є збіжним, то збігається і +∞∫ f (x)dx .

a

a

У цьому випадку інтеграл +∞∫ f (x)dx називається абсолютно збіжним.

a

+∞cos x

Приклад 1.6. Дослідити на збіжність інтеграл

∫ x3

dx .