5.2. Операции над машинами Тьюринга

Рассмотрим две основные операции: композиция и итерация МТ. Пусть М₁ и М₂  машины Тьюринга с общим алфавитом. Композицией (или произведением) машин Тьюринга М₁ и М₂ (в этом порядке) называется машина Тьюринга М (обозначение М=М₁М₂), работающая следующим образом: если на вход машины М подать входное слово Р, то оно сначала преобразуется машиной М₁, а затем полученное выходное слово подаётся на вход машины М₂, и выходное слово машины М₂ считается результатом преобразования входного слова Р машиной М: М(Р)=М₂(М₁(Р)).

Если известны функциональные схемы (ФС) машин М₁ и М₂, то ФС композиции М=М₁М₂ строится следующим образом:

1. СТОП-состояние машины М₁ отождествляется с начальным состоянием машины М₂;

2. СТОП-состояние машины М₂ объявляется СТОП-состоянием композиции М=М₁М₂;

3. Остальные состояния М₂ переобозначаются.

Пусть даны три МТ с общим алфавитом  М₁, М₂ и М₃ и некоторое условие С. МТ, описываемая формулой , называетсяразветвлением машины М₁ на машины М₂ и М₃ по признаку С, если она работает следующим образом: входное слово Р подаётся на вход машины М₁, результат обработки ею слова Р (М₁(Р)) подаётся на вход машины М₂, если условие С выполнено, и на вход М₃  в противном случае.

Можно считать, что машина М₁ имеет два СТОП-состояния и, таких, что машина М₁ приходит в состояние в том случае, когда для М₁(Р) выполнено условие С, и в  в противном случае.

Итерацией называется операция установления обратной связи от машины М_J к машине М_I, при которой выходное слово машины М_J подаётся на вход машины М_I (СТОП-состояние М_J отождествляется с начальным состоянием М_I). При этом образуется цикл; начало и конец цикла будем обозначать точкой () над соответствующими буквами. Если в МТ содержится несколько циклов, то начала и концы циклов обозначаются двумя (), тремя () и т.д. точками над соответствующими буквами.

Указанные операции над МТ позволяют из более простых машин собирать суперпозицию МТ, реализующую более сложные алгоритмы.

Для построения ФС суперпозиции МТ поступают следующим образом (по умолчанию считаем, что у всех машин алфавиты одинаковы  0 и 1).

1. Таблица составной машины имеет столько строк, сколько их в сумме во всех исходных машинах. Вначале эта таблица заполняется строками из ФС каждой исходной машины в том порядке, в каком они записаны в формуле (слева направо и сверху вниз).

2. Состояния в 1-й колонке формируемой таблицы заменяем состояниями общей машины так, чтобы их номера шли в порядке возрастания; во 2-й и в 3-й колонках проводим переобозначения состояний исходных машин в соответствии с проведенными заменами. При этом их СТОП-состояния не изменяются; не изменяются символы, записываемые на ленту, и символы команд на перемещение головки.

3. В заключение проводим переобозначения для СТОП-состояний. Для этого нужно уяснить, как проходит передача управления от машины к машине и как проявляются СТОП-состояния общей машины, т. е. необходимо отождествить состояния исходных машин и общей машины с учетом новых обозначений.

Пример 5.3. Пусть МТ С определена операцией умножения С=АВ¹, причём машины А и В заданы своими ФС (соответственно табл. 5.4. и 5.5).

Таблица 5.4 Таблица 5.5

А	0	1		В	0	1
А1	0RA2	0RA2		B1	0RB2	1RB3
А2	1RA1	1LA0		B2	1SB2	0LB1
				B3	0SB0	1LB3

Построим таблицу результирующей машины. ФС для машины М приведена в табл. 5.6.

Т

Алфавит состояний для машины С будет:

С={С₀, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅},

где С₁=А₁, С₂=А₂, С₃=В₁, С₄=В₂, С₅=В₃;

А₀В₁=С₃  передача управления от А к В,

С₀В₀  стоп-состояние общей МТ.

аблица 5.6

М	0	1
С1	0RC2	0RC2
С2	1RC1	1LC3
С3	0RC4	1RC5
С4	1SC4	0LC3
С5	0SC0	1LC5

Пример 5.4. Машины Тьюринга A, B и C заданы своими ФС (табл. 5.7-5.9). Суперпозиция этих машин описывается формулой:

Таблица 5.7 Таблица 5.8 Таблица 5.9

А	0	1		В	0	1		С	0	1
А1	1RA1	0LA2		В1	0RB2	0RB0(1)		С1	0LC1	1RC2
А2	0RA2	1SA0		В2	1RB1	1SB0(2)		С2	1RC1	0SC0

Построим ФС составной машины N. В соответствии с правилами построения результирующей таблицы запишем алфавит состояний МТ N: N={N₀, N₁, N₂, N₃, N₄, N₅, N₆}; здесь обозначено: N₁=B₁, N₂=B₂, N₃=C₁, N₄=C₂, N₅=A₁, N₆=A₂.

Таблица 5.10

Передача управления и остановка машины N определяются следующими выражениями: B0(1)C1=N3, B0(2)A1=N5, A0B1=N1, N0C0. Переобозначив состояния в соответствии с приведенными выражениями, получим ФС машины N (табл. 5.10). N	0	1
N1	0RN2	1RN3
N2	1RN1	1SN5
N3	0LN3	1RN4
N4	1RN3	0SN0
N5	1RN5	0LN6
N6	0RN6	1SN1

Приведем краткое описание работы общей МТ N. Её работа начинается с работы МТ B. Если она по результату обработки входного слова приходит к первому СТОП-состоянию, тогда работу продолжит МТ C; её СТОП-состояние - общее СТОП-состояние МТ N. Если машина В приходит ко вто-

рому СТОП-состоянию, тогда начнет работать МТ A; её СТОП-состояние отождествляется с начальным состоянием МТ В и далее процесс продолжится в зависимости от того, как поведет себя машина В.

5.4. Задания для самостоятельной работы

1. Используя правила композиции и ветвления, составить программу (ФС) МТ N, которая состоит из машин A, B, C, D.

A

0

1

B

0

1

C

0

1

D

0

1

A1

0RA1

0SA2

B1

0RB2

1RB0(1)

C1

1RC1

0RC2

D1

0RD2

1SD0(1)

A2

0SA0(1)

1RA2

B2

1LB1

1SB0(2)

C2

0SC0(1)

1SC0(2)

D2

1LD1

1SD0(2)

1. 4.

2.

3

.

2. Исследовать работу полученной машины М для приведённых конкретных конфигураций.