4. Конечные автоматы

Цель данного занятия - освоить язык описания конечных автоматов и приобрести навыки в их анализе и взаимном преобразовании.

4.1. Общие положения

Конечный автомат [1] - это набор из пяти элементов ,

где  алфавит внутренних состояний;

входной алфавит (алфавит входных символов);

выходной алфавит (алфавит выходных символов);

  функция переходов из состояния в состояние;

  функция выходов.

В теории автоматов наиболее часто рассматриваются автоматы Мили и Мура, у которых функции переходов имеют одинаковый вид (), а функции выходов существенно различны (для автомата Мили идля автомата Мура), что определяет разное поведение автоматов. При этом решают задачи анализа и синтеза автоматов, их взаимных преобразований, установление эквивалентности автоматов и др.

4.2. Представление автомата

Для описания работы автомата чаще всего используют таблицы и графы переходов. В табл. 4.1 приведен пример представления автомата Мили, а в табл. 4.2  автомата Мура.

Таблица 4.1

		...
		...
...	...	...	...
		...

Таблица 4.2

		...
		...
...	...	...	...
		...

Автомат называется полностью определённым, если множество пар для функций перехода и выхода равны множеству пар . У частично определённого автомата функции  и  определены на множестве не всех пар ; в этом случае некоторые клетки не заполнены.

Граф переходов строится следующим образом. Две вершины и(исходное состояние и состояние перехода) соединяются дугой, направленной отк, если в автомате имеется переход изв(если). Для автомата Мили дуге () приписывается входной символи выходной. Для автомата Мура входной символзаписывается внутри вершины или рядом с ней, а дуге приписывается только входной символ .

Пример 4.1. Автомат Мили A₁ задан таблично (табл. 4.3) и графически (рис. 4.1).

S1
S2
S3

Таблица 4.3

РРис. 4.1. Граф автомата А₁

Пример 4.2. Автомат Мура A₂ задан таблично (табл. 4.4) и графически (рис. 4.2).

Таблица 4.4

Рис. 4.2. Граф автомата А₂

4.3. Взаимные преобразования автоматов

Одной из основных задач, решаемых в теории автоматов, является задача эквивалентного преобразования автомата Мили в автомат Мура либо наоборот [4].

Рассмотрим связь между автоматами Мили и Мура. Два автомата ис одинаковыми входными и выходными алфавитами называютсяэквивалентными, если после установления их в начальной состояния их реакции на любое входное слово совпадают. Для любого автомата Мили может быть построен эквивалентный ему автомат Мура и наоборот.

Преобразование автоматов связано с преобразованием их состоя-ний. На рис. 4.3 представлены преобразования для обоих случаев преобразования автоматов. Видно, что в случае а символы выхода на графе автомата Мура приписываются дуге на графе автомата Мили; в случае б в вершину s_m автомата Мура нельзя поместить несколько сим-волов выхода с дуг автомата Мили, поэтому такое состояние надо "расщеплять":

S_m=(S'_m, S"_m), где S'_m=(s_m, y_n) S"_m=(s_m, y_p).

Аналогично поступают и при преобразованиях на таблицах.

а)

б)

Рис. 4.3. Преобразования автоматов (их состояний):

а) автомата Мура в автомат Мили; б) автомата Мили в автомат Мура

Пример 4.3. Рассмотрим преобразование автомата Мили А_А, заданного табл. 4.3 (графом на рис. 4.1) и алфавитами: ,,, в автомат Мура А_В. Для автомата А_В определим множество его состояний S_B и функцию выхода; этой информации достаточно для описания автомата А_В.

Состояние расщепляется в два состояния: и(обратите внимание на дуги, входящие в вершину, отождествляющую состояниеS₁ и выходные буквы на них  ). Для удобства переобозначим их соответственно:и. Аналогично поступим и с другими состояниями. В результате получим:

Функции выхода автомата А_В определяются выражениями

Согласно схеме б (рис. 4.3) получим следующие переходы:

-из и переход в состояние ;

-из и переход в состояние ;

-из переход в состояние ;

-из переход в состояние ;

-из и переход в состояние;

-из и переход в состояние;

Табличное и графическое представления полученного автомата Мура А_В приведены в табл. 4.5 и на рис. 4.4.

Таблица 4.5

/y1
/y2
/y1
/y1
/y2

Рис. 4.4. Граф автомата Мура А_В

Пример 4.4. Рассмотрим преобразование автомата Мура А₂, задан-ный табл. 4.4, в автомат Мили A'₂. Поскольку оно простое, приведём готовый результат (табл. 4.6); граф можно построить самостоятельно.

Таблица 4.6