3.4. Алгоритмы нахождения подграфов
Циклом называется замкнутый маршрут в неориентированном графе. Для ориентированного графа определяется аналогично понятие контур - замкнутый путь.
Пример 3.6. В графе (рис.3.6) каждому ребру присвоен свой номер. Выделим соответствующее ему число циклов. Для нашего примера циклами Ci являются замкнутые маршруты, образованные ребрами : C1={1, 2, 5, 4}, C2={5, 6, 7}, C3={3, 6, 2}, C4={1, 2, 6, 7, 4} и т. д. Среди этих циклов найдутся такие, которые включают в себя другие циклы. Так, цикл C4 состоит из циклов C1 и C2 , у которых имеется общее ребро 5, не вошедшее в цикл 4.
Говорят, что цикл 4 получен линейной комбинацией циклов 1 и 2, т. е. является линейно зависимым от них.
Рис. 3.6
Линейнозависимым от некоторой совокупности других циклов называется цикл, который можно построить линейной комбинацией циклов в этой совокупности.
П
рисвоим
каждому ребру графа номерj,
j=1,m
и
сопоставим каждому циклу Сi
двоичный
m-разрядный
вектор
Vi
,
компоненты
vij
которого
определяются следующим образом:
vij
=
0, если
ребро
j
не входит в цикл
Ci
, vij
= 1 - в противном случае.
Тогда линейной комбинацией векторов Vi является результат векторной операции сложения по модулю два этих векторов.
Поскольку
Vi
-
отношение принадлежности рёбер графа
циклу
Ci
,
а
Ci
-
это
множество рёбер,
то
в результате применения векторной
операции
мы получаем совокупность рёбер, входящих
в циклы, составляющих линейную комбинацию
за исключением общих для этих циклов
рёбер.
На языке теории множеств это означает объединение множеств Ci без их пересечения, что соответствует операции «симметрическая разность» двух множеств.
|
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
V1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
V4 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
В нашем примере общим является ребро 5, которое исключено из цикла 4.
Линейно-независимым от совокупности других циклов называется цикл, который не может быть построен линейной комбинацией этих циклов.
Максимальное множество линейно-независимых циклов образует систему независимых циклов; мощность этого множества называется цикломатическим числом. Это число определяется по формуле Эйлера
=m-n+p (3.2)
3.5. Дерево. Остов
Деревом называется конечный связный граф без циклов. Из свойств отсутствия циклов и связности следует, что у дерева количество компонент связности p=1 и цикломатическое число =0, т.е. = m - n+1=0,
отсюда следует, что
m=n-1, (3.3)
т. е. число ребер в дереве на единицу меньше числа вершин.
Ниже на рис. 3.7 приведены примеры деревьев.
Пример 3.7.
Рис. 3.7
Остов - это подграф (частичный граф), который может быть построен из графа удалением некоторых ребер и который является деревом.
В общем случае для графа можно построить несколько остовов. Для приведенного ниже графа построен один из возможных вариантов остова.
Пример 3.8.
Рис. 3.8
Для несвязного графа рассматриваются отдельные его компоненты. Остов такого графа - совокупность его компонент.
Пример 3.9.
Рис. 3.9