Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08
.pdf
Комплексные числа
Формула Эйлера: eij = cosj + i sinj
Показательная форма комплексного числа z: z = re ij
Действия над комплексными числами в
Действия над
тригонометрической форме
комплексными числами в показательной форме
|
|
|
|
z |
1 |
= r (cosj |
1 |
|
+ i sinj |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 = r1eij1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 = r2eij2 |
||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
= r (cosj |
2 |
+ i sinj |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 = z 2 Û |
ì |
|
r1 = r2 |
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
= j 1 + 2k π , k Î |
|
|
ý |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îj 2 |
|
Z þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
= r(cosj - i sinj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= re-ij |
|
|||||||||||||
1. |
z1 × z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 )+ i sin(j1 + j2 )) |
|
1. z1 × z2 = r1r2e i (j1 +j2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
z1 |
= |
r1 |
(cos (j 1 - j 2 )+ i sin (j 1 - j 2 )) |
|
2. |
z1 |
= |
r1 |
ei (j1 -j2 ) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
||||||
3. |
zn = r n (cos nj + i sin nj), |
n Î N |
|
3. zn = r ne inj , |
n Î N |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
æ |
|
|
j + 2kπ |
|
|
|
|
j + 2kπ ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j + 2 kp |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ i sin |
4. n |
z = n r e |
|||||||||||||||||||||||||
4. n z = n r çcos |
n |
|
|
n |
÷, |
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n r > 0 |
||||||
|
|
|
|
k = 0,1, ..., n -1, |
n |
r > 0 |
|
|
k = 0,1, ..., n -1, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = x + iy Þ z = reij
ì |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
ïarctg |
|
, |
x > 0 |
|
|||||
x |
|
||||||||
ï |
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|||
j º arg z = íp + arctg |
|
|
, |
x < 0 , |
y ³ 0 |
||||
x |
|||||||||
ï |
|
|
|
y |
|
|
|||
ï |
-p + arctg |
|
, x < 0 |
, y < 0 |
|||||
ï |
|
|
|||||||
|
x |
||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
||
j = p , если x = 0, y > 0
2
j = - p , если x = 0, y < 0
2
r º z = 
x 2 + y2
71
Греческие и латинские алфавиты
Буква |
Название |
Буква |
Название |
Буква |
Название |
|
|
|
|
|
|
Греческий алфавит
Α α |
альфа |
Ι ι |
йота |
Ρ ρ |
ро |
Β β |
бета |
Κ κ |
каппа |
Σ σ ς |
сигма |
Γ γ |
гамма |
Λ λ |
лямбда |
Τ τ |
тау |
δ |
дельта |
Μ µ |
мю |
Υ υ |
ипсилон |
Ε ε |
эпсилон |
Ν ν |
ню |
Φ φ |
фи |
Ζ ζ |
дзэта |
Ξ ξ |
кси |
Χ χ |
хи |
Η η |
эта |
Ο ο |
омикрон |
Ψ ψ |
пси |
Θ θ |
тэта |
Π π |
пи |
Ω ω |
омега |
|
|
|
|
|
|
Латинский алфавит
|
A a |
а |
J j |
йот/жи |
S s |
эс |
|
|
B b |
бэ |
K k |
ка |
T t |
тэ |
|
|
|
||||||
|
C c |
цэ |
L l |
эль |
U u |
у |
|
|
D d |
дэ |
M m |
эм |
V v |
вэ |
|
|
E e |
е |
N n |
эн |
W w |
дубль-вэ |
|
|
F f |
эф |
O o |
о |
X x |
икс |
|
|
G g |
гэ/жэ |
P p |
пэ |
Y y |
игрек/ипсилон |
|
|
H h |
ха/аш |
Q q |
кью |
Z z |
зет |
|
|
I i |
и |
R r |
эр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
Содержание
1.Арифметика и алгебра ……..…………………………………...4
1.1Множества. Числовые множества …………………..……… ..…4
1.2Модуль действительного числа ……………………………….…4
1.3Делимость суммы и произведения …………………….……....…6
1.4Признаки делимости натуральных чисел …………..……………6
1.5Дроби …………………………………………...…………………8
1.6Стандартный вид положительного числа………………………...9
1.7Отношения и пропорции ……………………................................10
1.8Проценты. Основные типы задач на проценты …......………….11
1.9Числовые неравенства ……………………………..……………12
1.10Степени действительных чисел ………………………………....13
1.11Формулы сокращенного умножения …………………………...13
1.12Корни n-й степени. Арифметические корни …………………...14
1.13Логарифмы ………………………………………………………15
1.14Сравнение степеней, корней, логарифмов и средних величин ..16
1.15Прогрессии ………………………………………………………17
1.16Многочлен n-ой степени от одной переменной ……………..…18
1.17Алгебраические уравнения. Квадратное уравнение…….……...18
2.Тригонометрия …………………………..…………………..……20
2.1Понятие угла в тригонометрии …………………….......................20
2.2Связь между градусом и радианом ………………………………21
2.3Определение тригонометрических функций действительного числа …..………………………………………………….……….22
2.4Формулы приведения …………………………………………….23
2.5Основные формулы тригонометрии ………………………..……24
2.6Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс……………….27
73
2.7Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями.……………………..…...…..28
2.8Некоторые значения обратных тригонометрических функций………………………………...…29
3.Геометрия…………………………………………………….30
3.1Меры некоторых геометрических фигур………………………...30
4.Функции и их графики …………………………………………….32
4.1Понятия функции. Способы задания функции ………………… 32
4.2Основные элементарные функции ……………………….……....33
4.3Общие свойства функций ……………………………………. ….35
4.4Обратные функции ……………………………………………… 37
4.5Графики основных элементарных функций ………………….…38
4.6Преобразование графиков ………………………………………..42
5.Предел функции………………………………………………………43
6.Производная ………………………………………………....................45
6.1Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной ……………………………………………45
6.2Основные правила и формулы дифференцирования . . . . . . . . . .46
6.3Приложения производной к раскрытию неопределённостей….47
6.4Приложение производной к исследованию функций …….……48
7.Таблица интегралов ……………………………………..………….52
8.Векторы…………………………………………………………………..53
8.1Прямоугольная декартовая система координат …………………53
8.2Понятие вектора. Линейные операции над векторами…………..55
8.3Координатная форма задания вектора ...…………………………56
8.4Геометрический смысл координат вектора.
Разложение вектора по базису .……………...……………………57
8.5Скалярное произведение двух векторов …………………….…...58
74
8.6Векторное произведение двух векторов…………………………59
8.7Смешанное произведение трёх векторов………………………...60
9.Прямая на плоскости……………………………...……...................61
10.Плоскость……………………………………………………………...62
11.Прямая в пространстве…………………………………................63
12.Кривые в декартовых и полярных координатах…...........64
13.Поверхности второго порядка ………………………................68
14.Комплексные числа …………………………………......................70
15.Греческий и латинский алфавиты………………………...…72
16.Содержание ...……………………………………………………...…73
75
Навчальне видання
Стислий довідник з математики (на рос. мові)
для студентів технічних вузів
частина I
Любов Іванівна Малигіна Наталія Володимирівна Крапива Ірина Борисівна Тостановська
Під редакцією Анатолія Васильовича Усова