Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08

Геометрия

Круг

Окружность

Сектор

A

С = 2pr

(длина окружности)

k

Sкр = pr

2

(площадь круга)

r

a

Sc = 1 r 2a

(площадь сектора OAkBO)

О

B

2

l ÈАкВ = r ×a (длина дуги AkB),

а – радианная мера угла АОВ

Шар

Сфера

Шаровой сектор

S = 4pR2

(площадь поверхности сферы)

R

h

V = 4 pR3

(объем шара)

3

O

V = 2 pR2h

(объем шарового сектора),

3

h – высота шарового сегмента

Многогранники

Наклонный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед

(все грани параллелограммы)

(все грани прямоугольники)

V = Sосн × h

V = abc

d 2 = a2 +b2 +c2

Куб

Пирамида

(все грани квадраты)

V = a 3

V = 1 Sосн ×h

d

d = a 3

3

a

31

Аналитический – функция

Графический – функция задается с

задаётся формулой (или

помощью графика.

несколькими формулами)

*

ì - 2 x +1, x < -1

*

y = í

x - 2,

x ³ -1

î

Табличный – функция задается с

Словесный – функция задается

помощью таблицы,

словесным описанием.

устанавливающей соответствие

*

Значение функции равно

между значениями аргумента и

единице, если x –рациональное число и

значениями функции:

равно нулю, если x – иррациональное

число (функция Дирихле).

x

x1

x2

…

xn

y

y1

y2

…

yn

1.

линейная функция:

y = kx + b,

k , b Î R

2.

степенная функция:

y = xa ,

a Î R

3.

показательная функция: y = a x , a > 0, a ¹ 1

4.

логарифмическая функция:

y = loga x ,

a > 0, a ¹ 1

5.

тригонометрические функции:

y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx

6.

обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, y = arccos x ,

y = arctgx , y = arcctgx

Например:

1.

целая рациональная функция: y = Pn (x),

где P (x)= a

xn + a

xn-1 + ... + a

x + a

, a

¹ 0, a

Î R, i =

0

1

n-1

n

0

i

0,n

n

2.

дробная рациональная функция:

y = R(x), где R(x) =

Pn (x)

, Qm (x) ¹ 0

3.

гиперболические функции:

Qm (x)

-

синус гиперболический y = sh x

, где sh x =

e x

- e - x

2

-

косинус гиперболический

у = сhx , где сhx =

e x + e- x

2

sh x

-

тангенс гиперболический

y = th x , где thx =

ch x

-

котангенс гиперболический

y = сth x , где сthx =

сh x

sh x

ch2 x - sh2 x = 1

sh2x = 2shx×chx

sh(x ± y)= shx ×chy ± chx × shy

ch2 x = ch2 x + sh2 x

ch(x ± y)= chx ×chy ± shx × shy

Функции и их графики

Графики гиперболических функций

y

y

y = chx

y= cthx

1

y =s h x

у=1

y= thx

0

x

0

x

у= -1

Неэлементарные функции

y = sign x

Единичная функция Хевисайда

Символ sign x читаем: сигнум x, т.е.

знак x

)º íì1, x ³ 0

ì1,

x > 0

y = h(x

ï

x = 0

y = sign x º í0,

î0,

x < 0

ï

x < 0

î-1,

Символом [ x ] обозначают

Символом { x } о бо з н ач а ю т

наибольшее целое число, не

р а з н о с т ь м е ж д у ч и с л о м x и

превышающее числа х.

его целой частью, т.е. {x}= x − [ x].

* [0,5]=0

[ − 0 ,3]= − 1

* { 1 , 2 } = 1 , 2 − 1 = 0 . 2

{ 5 , 4 } = 5 , 4 − 5 = 0 . 4

[ 3 , 5 7 ] = 3

[ − 1 , 5 ] = − 2

Фун кц ия y = [x] (читаем: целая

Фун кц ия y = {x} (читаем: дробная

часть x)

часть x)

Построение формулы

Построение графика

обратной функции

обратной функции

1) равенство y =f ( x ) р а з р е ш и т ь

Чтобы построить график функции

относительно переменной x, т. е.

-1

найти x = f -1( y ) ;

f

, надо график функции f

2) в равенстве x = f -1( y ) заменить x

подвергнуть преобразованию

на y, а y на x, т.е. записать

симметрии относительно прямой

y = x .

y = f -1( x ) .

y

y

y

y

b

a

a

a

b

a

0

0

b x

x

0

x

x

0

b

k=tga<0

k=tga<0

k=tga>0

k=tga>0

b<0

b>0

b<0

b>0

Общая степенная функция y = xa , a Î R ,

D(y)= R+

Степенная функция

Степенная функция с целым

с натуральным показателем

отрицательным показателем

y = xn , n Î N , D(y)= R

y = x -n , a = -n , n Î N ,

D(y)= (- ¥;0)È (0;+¥)

*

y = x2

*

y = x -2

y

y

1

1

-1

0 1

x

-1

0

1

x

Степенная функция с дробным показателем

*

y

y = x 3/2

y

y = x 1/2

y

y = x -1/2

1

1

1

0

x

0

x

0

x

1

1

1

Функции и их графики

Показательная функция y = ax, a > 0, a¹ 1

a > 1

0 < a < 1

y

y

1

1

0

x

0

x

1) D(y)=R,

E(y)=R+

1) D(y)=R,

E(y)=R+

2)

x 2 > x1 <=> a x 2

> a x 1

2)

x 2

> x1 <=> ax2 < a

x 1

3)

lim a x

= +¥

3)

lim

a x

= 0

x®+¥

x ® +¥

lim a x = 0

lim

a x = +¥

x ® -¥

x®-¥

Логарифмическая функция y =loga x,

a >0, a ¹1

a > 1

0 < a < 1

y

y

0

1

x

1

0

1

x

1) D(y)=R+ ,

E(y)=R

+

E(y)=R

2)

x 2 > x1 <=> loga x 2 > loga x1

1) D(y)=R ,

2)

x 2 > x1 <=> loga x 2 < loga x1

3)

lim

log

a x

= +¥

3)

lim

log

a

x = -¥

x ® +¥

x ® +¥

lim

log

a x

= -¥

lim

log

a

x

= +¥

x ® + 0

x ® +0

Функция синус: y = sin x

Функция косинус: y = cos x

y

-

3π

y

π

3π

1

1

2

2

2

-π

0

π

2π

x

0

x

-1

-1

1)

D(y)=R

1)

D(y)=R

2)

E(y)=[−1;1] (функция синус

2)

E(y)=[−1;1] (функция косинус

ограниченная)

ограниченная)

3)

sin(−x) = − sin x (нечётная)

3)

cos(−x) = cos x (чётная)

4)

T =2π (основной период)

4)

T0 =2π (основной период)

0

5)

lim sinx не существует

5)

lim cosx не существует

x®±¥

x®±¥

Функция тангенс: y = tg x

Функция котангенс: y = ctg x

y

y

0

x

-π 0

π 2π x

-

3π

-

π π

3π

2

2

2

2

1)

D(y): x ≠

p

+πn, nÎZ

1)

D(y): x ≠ πn, nÎZ

2

2)

E(y)=R (функция тангенс

2)

E(y)=R (функция котангенс

неограниченная)

неограниченная)

3)

tg(−x)= − tg x (нечётная)

3)

сtg(−x)= − сtg x

(нечётная)

4)

T0 =π (основной период)

4)

T0 =π (основной период)

5)

lim

tg x = -¥

5)

lim ctgx = +¥

x®

p

+0

x®+0

2

tg x = +¥

lim ctg x = -¥

lim

x®-0

x®

p

-0

2

40