Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
21
Добавлен:
11.02.2016
Размер:
31.43 Mб
Скачать

 

 

Геометрия

 

 

Круг

Окружность

Сектор

 

A

С = 2pr

(длина окружности)

 

k

Sкр = pr

2

(площадь круга)

 

r

 

 

a

Sc = 1 r 2a

(площадь сектора OAkBO)

О

B

 

 

2

 

 

 

 

 

l ÈАкВ = r ×a (длина дуги AkB),

 

 

 

а радианная мера угла АОВ

 

Шар

Сфера

 

Шаровой сектор

 

 

S = 4pR2

(площадь поверхности сферы)

R

h

V = 4 pR3

(объем шара)

 

 

3

 

 

 

O

 

V = 2 pR2h

(объем шарового сектора),

 

 

 

 

3

 

h – высота шарового сегмента

 

 

 

 

 

 

Многогранники

 

Наклонный параллелепипед

 

Прямоугольный параллелепипед

(все грани параллелограммы)

 

(все грани прямоугольники)

 

 

V = Sосн × h

 

 

V = abc

 

 

 

 

 

d 2 = a2 +b2 +c2

 

Куб

 

 

 

Пирамида

(все грани квадраты)

 

 

 

 

 

V = a 3

 

 

V = 1 Sосн ×h

 

d

d = a 3

 

 

3

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

Функции и их графики

Понятие функции

Числовой функцией f называется такое отображение некоторого множества D действительных чисел на другое множество Е действительных чисел, при котором каждому числу x из D ставится в соответствие единственное

число y из Е.

Обозначение: y = f (x),

где х – аргумент функции f (независимая переменная), у – соответствующее значение функции f.

Символ f обозначает закон, по которому для любого х Î D можно найти y Î E.

Множество D называют областью определения функции f и обозначают D(f).

Множество Е называют областью значений функции f и обозначают E(f).

Определение. Графиком функции f называется множество точек (х, у)

координатной плоскости Оху таких, что хÎD ( f ), y = f (x).

Способы задания функции

 

Аналитический – функция

 

Графический – функция задается с

задаётся формулой (или

 

 

помощью графика.

несколькими формулами)

 

 

 

 

*

 

 

ì - 2 x +1, x < -1

*

 

 

y = í

x - 2,

x ³ -1

 

 

 

î

 

 

 

 

Табличный – функция задается с

Словесный – функция задается

помощью таблицы,

 

 

 

словесным описанием.

устанавливающей соответствие

*

Значение функции равно

между значениями аргумента и

единице, если x рациональное число и

значениями функции:

 

 

 

 

 

 

равно нулю, если x иррациональное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число (функция Дирихле).

 

x

 

x1

 

x2

 

xn

 

 

 

 

y

 

y1

 

y2

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

Функции и их графики

Основные элементарные функции

1.

линейная функция:

y = kx + b,

k , b Î R

 

2.

степенная функция:

y = xa ,

a Î R

 

3.

показательная функция: y = a x , a > 0, a ¹ 1

4.

логарифмическая функция:

y = loga x ,

a > 0, a ¹ 1

5.

тригонометрические функции:

y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx

6.

обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, y = arccos x ,

 

 

 

 

 

y = arctgx , y = arcctgx

Элементарные функции

Элементарная функция получается из конечного числа основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции (нахождение функции от функции).

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

целая рациональная функция: y = Pn (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где P (x)= a

 

xn + a

 

xn-1 + ... + a

 

x + a

 

, a

 

¹ 0, a

 

 

Î R, i =

 

 

 

0

1

n-1

n

0

i

0,n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

дробная рациональная функция:

y = R(x), где R(x) =

Pn (x)

 

 

, Qm (x) ¹ 0

 

 

 

 

3.

гиперболические функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qm (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

синус гиперболический y = sh x

, где sh x =

e x

- e - x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

косинус гиперболический

у = сhx , где сhx =

 

e x + e- x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh x

 

 

 

 

 

 

 

-

тангенс гиперболический

y = th x , где thx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch x

 

 

 

 

 

 

 

 

-

котангенс гиперболический

y = сth x , где сthx =

сh x

 

 

sh x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 x - sh2 x = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2x = 2shx×chx

 

 

 

 

sh(x ± y)= shx ×chy ± chx × shy

 

 

ch2 x = ch2 x + sh2 x

 

 

ch(x ± y)= chx ×chy ± shx × shy

33

 

Функции и их графики

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики гиперболических функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

y = chx

 

 

y= cthx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y =s h x

у=1

 

y= thx

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

0

x

 

 

 

 

 

у= -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неэлементарные функции

 

 

 

 

y = sign x

 

Единичная функция Хевисайда

 

 

Символ sign x читаем: сигнум x, т.е.

 

 

 

 

 

знак x

 

 

)º íì1, x ³ 0

 

 

ì1,

x > 0

y = h(x

 

 

ï

x = 0

 

 

y = sign x º í0,

 

î0,

x < 0

 

 

ï

x < 0

 

 

 

 

 

î-1,

 

 

 

 

Символом [ x ] обозначают

Символом { x } о бо з н ач а ю т

наибольшее целое число, не

р а з н о с т ь м е ж д у ч и с л о м x и

превышающее числа х.

его целой частью, т.е. {x}= x − [ x].

 

 

* [0,5]=0

[ − 0 ,3]= − 1

* { 1 , 2 } = 1 , 2 − 1 = 0 . 2

{ 5 , 4 } = 5 , 4 − 5 = 0 . 4

[ 3 , 5 7 ] = 3

[ − 1 , 5 ] = − 2

Фун кц ия y = [x] (читаем: целая

Фун кц ия y = {x} (читаем: дробная

часть x)

 

часть x)

34

Функции и их графики

Общие свойства функций

Нули и промежутки знакопостоянства

Нуль (корень) функции f – это то значение аргумента, при котором значение функции f равно нулю (точка пересечения графика с осью Ox).

Промежутки знакопостоянства функции f – это такие промежутки из

D( f ), на которых все значения функции f только положительны или только отрицательны.

На промежутке знакопостоянства график функции расположен либо выше оси абсцисс (функция положительна) либо ниже оси абсцисс (функция отрицательна).

Четность, нечетность

Функция f называется четной, если:

1)D ( f ) симметрична относительно точки O;

2)для любых х Î D ( f ) выполняется равенство f(x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси

ординат.

Функция f называется нечетной, если:

1) D ( f ) симметрична относительно точки O;

2)для любых х ÎD ( f ) выполняется равенство f(x) = − f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Периодичность

Функция f называется

периодической с периодом Т > 0,

если для любого х Î D( f ) значения (x ±T ) Î D( f ) и, кроме того, выполняется равенство

f ( x ±T ) = f ( x ) .

Наименьший положительный период функции f называют ее

основным периодом и

обозначают T0 .

Если функция y = f ( x ) периодическая с основным периодом T0 , то функция y = f( ω x ), ω Î R также является

периодической с периодом T = T0 .

 

 

 

 

 

 

ω

*

y = sin5 x

Þ T =

2p

=

2

 

p

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

*

у = tg(2px)

Þ T =

p

=

1

 

2p

 

 

 

 

 

2

 

35

Функции и их графики

Монотонность

Функция f называется

Функция f называется

возрастающей на ( a , b ), если для

убывающей на ( a , b ), если для

любых x1 и x 2 из ( a , b ),

любых x1 и x 2 из ( a , b ),

удовлетворяющих неравенству

удовлетворяющих неравенству

x 2 > x1 , выполняется неравенство

x 2 > x1 , выполняется неравенство

f ( x 2 ) > f ( x1 ) .

f ( x 2 ) < f ( x1 ) .

 

 

Интервалы возрастания или убывания функции f называют интервалами ее монотонности, а саму функцию f называют монотонной на каждом из них

Экстремумы

Точка a из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если для всех x из достаточно малой окрестности этой точки выполняется неравенство f ( a ) >f ( x ) .

Значение функции f в точке максимума называется максимумом этой функции.

y

f(a)

 

xmax=a

 

ymax=f(а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

a

 

В точке максимума возрастание функции сменяется ее убыванием.

Точка b из области определения функции f называется точкой минимума этой функции, если для всех x из достаточно малой окрестности этой точки выполняется неравенство f ( b ) <f ( x ) .

Значение функции f в точке минимума называется минимумом этой функции.

y

xmin=b ymin=f(b)

f(b)

0

b

x

В точке минимума убывание функции сменяется ее возрастанием.

Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции f, а значения функции f в точках экстремума называют экстремумами функции f .

36

Функции и их графики

Обратные функции

Пусть функция у = f (х) производит отображение множества D на множество Е.

Обратное отображение множества Е на множество D, при котором каждому y ÎЕ соответствует единственное число x ÎD , называется

обратной функцией f -1 .

Для взаимно обратных функций f и f -1 :

D ( f ) = E( f -1) , E( f ) = D ( f -1) .

Обратную функцию можно построить только для монотонной функции.

Построение формулы

 

Построение графика

обратной функции

 

обратной функции

1) равенство y =f ( x ) р а з р е ш и т ь

Чтобы построить график функции

относительно переменной x, т. е.

 

-1

найти x = f -1( y ) ;

f

, надо график функции f

2) в равенстве x = f -1( y ) заменить x

подвергнуть преобразованию

на y, а y на x, т.е. записать

симметрии относительно прямой

y = x .

y = f -1( x ) .

 

 

 

ðДля функция y = x2 , x ≥ 0 построить обратную функцию.

1) Разрешим равенство y = x2 , x ≥ 0

относительно x. Получим x = y .

2)Заменим x на y и y на x. Получим y = x .

37

Функции и их графики

Графики основных элементарных функций

Линейная функция y = kx+b, D(y)=R

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

b

a

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

b x

 

 

 

 

 

 

x

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=tga<0

 

 

k=tga<0

 

 

k=tga>0

 

k=tga>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b<0

 

b>0

 

 

b<0

 

 

 

 

 

b>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общая степенная функция y = xa , a Î R ,

D(y)= R+

 

Степенная функция

 

 

 

Степенная функция с целым

 

с натуральным показателем

 

 

 

отрицательным показателем

 

y = xn , n Î N , D(y)= R

 

 

 

y = x -n , a = -n , n Î N ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(y)= (- ¥;0)È (0;)

*

 

 

 

y = x2

 

 

 

*

y = x -2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

0 1

x

 

 

 

-1

0

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степенная функция с дробным показателем

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y = x 3/2

 

y

 

 

y = x 1/2

y

 

 

 

 

y = x -1/2

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x

 

0

 

 

x

0

 

 

 

 

 

x

 

1

 

1

1

 

 

38

 

 

 

 

Функции и их графики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательная функция y = ax, a > 0, a¹ 1

 

 

 

 

a > 1

 

 

 

 

0 < a < 1

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

 

0

x

 

 

1) D(y)=R,

E(y)=R+

1) D(y)=R,

E(y)=R+

 

 

 

2)

x 2 > x1 <=> a x 2

> a x 1

2)

x 2

> x1 <=> ax2 < a

x 1

 

 

3)

lim a x

= +¥

 

3)

lim

a x

= 0

 

 

 

 

x®+¥

 

 

 

x ® +¥

 

 

 

 

 

lim a x = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

a x = +¥

 

 

 

 

x ® -¥

 

 

 

x®-¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцию y = ex называют экспоненциальной, а её график – экспонентой.

 

 

Логарифмическая функция y =loga x,

a >0, a ¹1

 

 

 

a > 1

 

 

 

 

 

 

0 < a < 1

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

0

1

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) D(y)=R+ ,

E(y)=R

 

 

 

+

 

E(y)=R

2)

x 2 > x1 <=> loga x 2 > loga x1

 

1) D(y)=R ,

 

 

2)

x 2 > x1 <=> loga x 2 < loga x1

3)

lim

log

a x

= +¥

 

3)

lim

log

a

x = -¥

 

x ® +¥

 

 

 

 

 

x ® +¥

 

 

 

 

lim

log

a x

= -¥

 

 

lim

log

a

x

= +¥

 

x ® + 0

 

 

 

 

 

x ® +0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцию y = log e x называют логарифм натуральный и обозначают y= ln x.

39

Функции и их графики

Тригонометрические функции

Функция синус: y = sin x

 

Функция косинус: y = cos x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

-

3π

y

 

π

3π

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-π

0

 

π

x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

1)

D(y)=R

 

 

 

 

 

1)

D(y)=R

 

 

 

 

 

 

2)

E(y)=[1;1] (функция синус

2)

E(y)=[1;1] (функция косинус

 

ограниченная)

 

 

 

 

 

 

ограниченная)

 

 

 

 

 

3)

sin(−x) = − sin x (нечётная)

3)

cos(−x) = cos x (чётная)

 

 

4)

T =2π (основной период)

 

4)

T0 =2π (основной период)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

lim sinx не существует

 

5)

lim cosx не существует

 

x®±¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®±¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция тангенс: y = tg x

 

Функция котангенс: y = ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

x

 

 

-π 0

 

π 2π x

-

3π

-

π π

3π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

D(y): x ≠

p

+πn, nÎZ

 

1)

D(y): x ≠ πn, nÎZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

E(y)=R (функция тангенс

2)

E(y)=R (функция котангенс

неограниченная)

 

 

 

 

 

неограниченная)

 

 

 

 

 

3)

tg(−x)= − tg x (нечётная)

 

3)

сtg(−x)= − сtg x

(нечётная)

4)

T0 =π (основной период)

 

4)

T0 (основной период)

5)

lim

tg x =

 

 

 

 

 

5)

lim ctgx = +¥

 

 

 

 

 

 

 

x®

p

+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®+0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

tg x = +¥

 

 

 

 

 

 

lim ctg x =

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

x®-0

 

 

 

 

 

 

 

x®

p

-0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Справочники