Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08

выражается формулой

a°

=

a

,

180°

p

где a – радианная мера угла, a° – градусная мера того же угла.

Переход от радианной меры

Переход от градусной меры

к градусной

к радианной

a° =

a ×180°

a =

a°× p

p

180°

¢

¢¢

p

1 радиан » 57°17 45

1° = 180 радиан

a°

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

a

0

p

p

p

p

p

3p

2p

6

4

3

2

2

sin t = yt ,

cos t = xt

tg t =

yt

или

tg t =

sin t

ctg t =

xt

или

ctg t =

cos t

xt

cos t

yt

sin t

sec t =

1

или

sec t =

1

cos ec t =

1

или

cosec t =

1

xt

cos t

yt

sint

Синус

Косинус

Тангенс и котангенс

Четность (нечетность)

Периодичность

Синус, тангенс и котангенс –

2p – основной (наименьший

положительный) период синуса и

нечетные функции:

косинуса:

sin(- x)= - sin x

sin(x + 2p)= sin x

tg(- x =) -tgx

cos(x + 2p)= cos x

ctg(- x =) -ctgx

p – основной период тангенса и

Косинус – четная функция:

котангенса:

cos(- x)= cos x

tg(x + p)= tgx

ctg(x + p)= ctgx

значения тригонометрических функций углов

p

± a, p ± a,

3

p ± a, 2p ± a

2

2

(

p

× n ± a в общем случае) выражаются через значения тригонометрических

2

функций угла a .

Правило. Если аргумент приводимой тригонометрической функции равен

p

± a

или

3

p ± a

(

p

× (2k +1)± a в общем случае), то название функции

2

2

2

меняется на сходное, т.е. синус на косинус, косинус на синус, тангенс на

котангенс и котангенс на тангенс.

Если же аргумент приводимой тригонометрической функции равен

sin(p + a)= - sin a

æ

3

ö

tgç

p - a

÷ = ctga

2

è

ø

cos(2p - a)= cos a

æ

ö

= -tga

ctgçp + a

÷

è

2

ø

Если два угла в сумме составляют

p

(дополнительные углы), то синус

2

(тангенс) одного равен косинусу (котангенсу) другого.

Формулы приведения для первой четверти называют формулами

дополнительного угла.

* sin π

= cos 3π , т.к.

π

+ 3π = π

* tg π = ctg π

,

т.к. π +

π

= π

8

8

8

8

2

6

3

6

3

2

1. sin x + sin y = 2 sin x + y cos x - y

7.

1 + cos a = 2 cos 2 a

2

2

2

2. sin x - sin y = 2 cos x + y sin x - y

8.

1 - cos a = 2 sin 2 a

2

2

2

3. cos x + cos y =

2 cos

x

+ y

cos

x - y

9.

1 + sina =

2 cos

2 æ p

-

a

ö

2

2

ç

4

2

÷

è

ø

4. cos x - cos y = -2 sin

x + y

sin

x -

y

10.

1 - sina =

2 sin

2

æ p

-

a

ö

2

2

ç

÷

è 4

2 ø

5. cos a + sin a =

2 cos( p - a )

11. tgx ± tgy = sin( x ± y )

4

cos x cos y

6. cos a - sin a =

2 sin( p - a )

12. ctgx ± ctgy = sin( y ± x )

4

sin x sin y

13. a sin x + b cos x = a2

+ b2

sin(x + j ), где j определяем из условий

cos j =

a

, sinj =

b

æ

b

ö

a 2 + b2

çили tgj =

a

÷

a 2 + b2 è

ø

2tg

a

2tg

a

1. sina =

2

3. tga =

2

1 + tg 2

a

1 - tg 2

a

2

2

2 a

2 a

1-tg

1-tg

2

2. cosa =

2

4. ctga =

1+tg2

a

2tg

a

2

2

Угол t

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

Функция

sin t

0

1

2

3

1

0

−1

0

2

2

2

cos t

1

3

2

1

0

−1

0

1

2

2

2

tg

t

0

1

1

3

–

0

–

0

3

ctg

t

–

3

1

1

0

–

0

–

3

é

p

p ù

t Î ê-

;

ú , синус которого равен a.

2

2

ë

û

Свойства:

1.

sin(arcsina ) = a , a Î[-1;1]

é

p

pù

2.

arcsin(sin t ) = t , t Î ê-

;

ú

2

ë

2 û

3.

arcsin( -a ) = - arcsin a

æ

p

p ö

t Îç-

;

÷ , тангенс которого равен a.

2

è

2 ø

Свойства:

a Î R

1.

tg( arctg a ) = а,

arctg( tg t ) = t ,

æ

p

p

ö

2.

t Îç

-

;

÷

2

è

2 ø

3.

arctg( -t ) = -arctg t

1.

сtg( arcctg a ) = а,

a Î R

2.

arcctg( сtg t ) = t ,

t Î(0;p )

3.

arcctg( - t ) = p - arcctgt

1.

arcsina + arccosa =

p

,

a

£1

2

2.

arctga + arcctga =

p

, a Î R

2

3.

arcsin a = arccos

1 - a2

= arctg

a

= arcctg

1 - a2

,

a Î (0;1 )

1 - a

2

a

4.

arccos a = arcsin

1 - a2

= arcctg

a

= arctg

1 - a2

,

a Î (0;1 )

1 - a

2

a

5.

arctg a = arcctg 1 = arcsin

a

= arccos

1

,

a > 0

a

1 + a

2

1 + a

2

6.

arcctg a = arctg 1 = arcsin

1

= arccos

a

,

a > 0

a

1 + a

2

1 + a

2

Простейшие тригонометрические уравнения

1.

sin x = a ,

a

£ 1

Þ

x = (-1)k arcsin a + pk , k Î Z

2.

cos x = a ,

a

£ 1

Þ

x = ± arccos a + 2pk , k Î Z

3.

tg x = a ,

a Î R

Þ

x = arctg a + pk , k Î Z

4.

ctg x = a ,

a Î R

Þ

x = arcctg a + pk , k Î Z

sin x = 0

sin x = 1

sin x = -1

p

p

x = pk , k Î Z

x =

+ 2pk , k Î Z

x = -

+ 2pk , k Î Z

2

2

cos x = 0

cos x = 1

cos x = -1

p

x =

+pk , k ÎZ

x = 2pk , k Î Z

x = p + 2pk , k ÎZ

2

Некоторые значения обратных тригонометрических

функций

y = arcsin x

y = arccos x

arcsin 0 = 0

arccos0 =

p

arcsin1 =

p

2

arccos 1 = 0

2

arcsin

2 = p

arccos

2 = p

2

4

2

4

arcsin

1

=

p

arccos

1

=

p

2

2

6

3

arcsin

3 = p

arccos

3 = p

2

3

2

6

y = arctg x

y = arcctg x

arctg 0 = 0

arcctg 0 =

p

2

arctg1 =

p

arcctg1 =

p

4

4

arctg

1

= p

arcctg

1

=

p

3

6

3

3

arctg

3 = p

arcctg

3 =

p

3

6

29

Геометрия

Меры некоторых геометрических фигур

Треугольник

(А, B, C – вершины и углы;

a, b, c – стороны;

R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности;

p = a + b + c

- полупериметр)

2

c 2 = a 2 + b2 - 2ab ×cos C (теорема косинусов)

B

a

=

b

=

c

(теорема синусов)

c

a

sin A

sin B

sin C

SD = 1 ab× sinC , SD = pr , SD

= abc

A

C

b

2

4R

SD =

p(p - a)(p - b)(p - c)

(формула Герона)

B

c 2 = a 2 + b2 (т. Пифагора)

a

a

c

a

= 1 ab

= a

2

3

SD

SD

a

C

b

A

2

4

Четырехугольник (h – высота, d1

и d2 - диагонали)

B

C

C

j

B

D

A

D