Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08

5% =

5

= 0 ,05

30% =

30

= 0 ,3

100

100

Основные типы задач на проценты

Нахождение p % от числа a

ð

Найти 40 % от 200.

a - 100 %

a × p

40 × 200

x - p %

x = 100

x =

= 80

100

Нахождение числа

ð

3 % вклада в сбербанк

составляют 150 грн. Какова сумма

по его проценту

вклада?

a - p%

x = a ×100

x-100%

p

x =

150 ×100

= 5000 (грн.)

3

Нахождение процентного

ð

При плановом задании 50

автомобилей в день завод выпустил 55

отношения двух чисел

автомобилей. На сколько процентов он

a - 100 %

x =

p

выполнил план?

× 100%

55 × 100

p - x %

a

x =

= 110 %

50

Формула сложных процентов

æ

p

ön

ð

Вкладчик положил в банк

Аn = A × ç1

+

÷ ,

è

100 ø

20000 грн. под 14% годовых. Сколько

А – первоначальная величина

денег будет на счете вкладчика через 3

вклада;

года?

n – срок вклада;

A3 = 20000(1 + 0,14)3 = 29630,88 (грн.)

p – ежегодно начисляемое число

процентов;

Аn – величина вклада через n лет.

11

Если

a - b > 0 ,

Если a - b < 0 ,

Если

a - b = 0 ,

то

a > b

то

a < b

то

a = b

3.

Если a > b , то êéac > bc,

c > 0

ëac < bc,

c < 0

4.

Если a > b , то a + c > b + c, c Î R

5.

Если a > b, c > d ( a,b,c,d > 0 ) , то ac > bd

8.

Если a > b

( a > 0, b > 0 ) , то an > bn , n Î N

9.

Если a > b

( ab > 0 ) , то

1

<

1

a

b

a + b - ab = a + b - 2 ab = ( a - b )2 .

2

2

2

Арифметика и алгебра

Степени действительных чисел

Определения

Свойства

1.

an = a ×a ×K×a

14243

1. ar1 × ar2 = ar1 +r2

6. 1r =1

n

n Î N , n ¹ 1, a Î R

r1

2.

a1 = a,

a Î R

2. ar = ar1

-r2 ,a ¹ 0

7. 0r = 0, r > 0

a 2

3.

a 0 = 1, a ¹ 0

3. (ar1 )r2 = ar1 ×r2

8. (-1 k) = íì+1, k = 2n,n ÎN

1

-n

î-1, k = 2n -1

4.

a

= an ,

4. (a × b)r = ar × br

9. (- a)2n > 0, a > 0

a ¹ 0, n Î N

æ a

ör

a r

m

n

m

5. ç

÷ =

b

r

10. (- a)2n-1 < 0,

a > 0

5.

a

n

=

a

, a ³ 0

è b

ø

r ,r1 ,r2 Î R ,b ¹ 0

n Î N , n ¹1, m Î N

6.

- m

=

1

,a > 0

a

n

n am

00 – не имеет смысла

n Î N , n ¹1, m Î N

Формулы сокращенного умножения

(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b2

a 2 - b2 = (a - b)(a + b)

квадрат суммы и разности двух чисел

разность квадратов

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

– куб суммы и разности

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2 )

– сумма и разность кубов

Формула

бинома

Ньютона

(a + b)n = an + nan-1 × b +

n(n -

1)

an-2b2 +

n(n -1)(n - 2)

an-3b3 + ... + bn

1× 2

1× 2 ×3

n-я степень которого равна а, т.е.

n a = b Û bn = a, n ÎN , n ¹ 1

Если а >0, то:

Принято считать, что символу

1.

2n+1 a > 0

2 n a , а >0, соответствует только

2.

2n+1 - a < 0

одно положительное значение.

3.

2n - a – не существует

Его называют арифметическим.

n 0 = 0

2 a = a

1. (n

)n = a, a ³ 0

Свойства

4. n m a = nm a , a ³ 0

a

2. (n am )k = n a mk , a ³ 0

5. n ab = n a n b, a ³ 0, b ³ 0

3.

n

a

m

=

nk

a

mk

, a ³ 0

a

=

n a

6. n

, a ³ 0, b > 0

b

n b

Следствия

1.

a2 = a , a Î R

4. x ×2n a = 2n x2n ×a , x > 0, a ³ 0

2. 2n a2n = a , a Î R

5. x × 2n a = -2n x2n × a , x < 0, a ³ 0

3. 2n+1 a2n+1 = a, a Î R

6. n am ×r as = nr amr+sn , a ³ 0

aloga b = b,

a > 0,

a ¹1,

b > 0 (основное логарифмическое тождество)

В частности:

elnb = b,

b > 0

loga a = 1,

a > 0,

a ¹ 1

(логарифмическая единица)

loga 1 = 0,

a > 0,

a ¹ 1

(логарифмический ноль)

Свойства

1.

logc (ab)= logc a + logc b,

c > 0,

c ¹ 1,

a > 0,

b > 0

2.

log

æ a ö

= log

a - log

b,

c > 0,

c ¹ 1,

a > 0,

b > 0

ç

÷

c

è b ø

c

c

3.

log

ak = k ×log

a,

c > 0,

c ¹ 1,

a > 0

c

c

4.

logb a =

logc a

,

c > 0, c ¹ 1, a > 0,

b > 0,

b ¹ 1

logc b

5.

logb a × loga b = 1 или logb a =

1

,

a > 0,

a ¹ 1, b > 0, b ¹ 1

loga b

6.

logbn a

m

m

a > 0, b > 0,

b ¹ 1

= n logb a ,

Сравнение степеней

Сравнение корней

1.

Если a > b ³ 0 и r > 0 ,

1.

Если a > b ³ 0 , то n a > n b

то ar

> br

2.

Если a > b > 0 и r < 0 ,

2.

Если a >1, то 1 < n a < a

то a

r

< b

r

3.

Если a >1

и r2 > r1 ,

3.

Если 0 < a <1, то a < n a < 1

то ar2 > ar1

4.

Если 0 < a <1 и r2 > r1 ,

4.

n a + b £ n a + n b , a ³ 0,b ³ 0

то ar2

< ar1

1.

Если x2 > x1 > 0 и a >1, то loga x2 > loga x1

2.

Если x2 > x1 > 0 и 0 < a <1, то loga x2 < loga x1

Средние величины и их сравнение

1.

a + b – среднее арифметическое двух чисел

(a > 0,

b > 0)

2

(a > 0,

b > 0)

2.

ab

– среднее геометрическое двух чисел

3.

2

– среднее гармоническое двух чисел

(a > 0,

b > 0)

1

+ 1

a

b

4.

a2 + b2

– среднее квадратическое двух чисел

(a > 0, b > 0)

2

a £

2

1

£ ab £ a + b £ a 2 + b 2

£ b (a > 0 , b > 0 , a £ b )

1

+

2

2

a

b

Арифметическая

Геометрическая

÷ a1 ,a2 ,a3 ,K

÷÷ b1 ,b2 ,b3 ,K

an+1 = an + d , n Î N

bn+1 = bn ×q, n Î N

a1 – первый член прогрессии

b1 ¹ 0 – первый член прогрессии

d – разность прогрессии

q ¹ 0 – знаменатель прогрессии

an =a1 +d( n -1)

b = b qn-1

n

1

характеристическое свойство

характеристическое свойство

a =

an-1 + an+1

b 2 = b

n-1

×b

n+1

n

2

n

сумма первых n членов

сумма первых n членов

a1

+ an

b (1 - qn )

Sn =

×n

Sn =

1

, q ¹ 1

1 - q

2

Sn = b1 × n, q = 1

формула для разности

формула для знаменателя

прогрессии

прогрессии

d = an+1 - an

q =

bn +1

bn

если n + m = k + p , то

если n + m = k + p , то

a +a =a +a

p

bn × bm = bk ×bp

n m

k

сумма последовательных

если

q

<1, то прогрессия

натуральных чисел от 1 до n

бесконечно убывающая и ее сумма

n(n +1)

S =

S =

b 1

2

1 - q

P

(x)= a xn + a xn-1 + ...+ a

n-1

x + a

n

,

a

¹ 0, a

i

Î R, i =

0, n

n

0

1

0

P (x)= ax2 + bx + c, a ¹ 0, b ¹ 0, c ¹ 0

– квадратный трехчлен

2

P1(x)= ax + b,

a ¹ 0, b ¹ 0

– линейный двучлен

x

= - b ±

D ,

где D = b2

- 4ac – дискриминант квадратного трехчлена

1,2

2a

Если D > 0 , то

Если D = 0 , то

Если D < 0 , то

x1 ¹ x2 (корни

x1

= x2

= -

b

(корни

уравнение

действительных

действительные и

2a

корней не имеет

разные)

действительные и

равные)

Частные случаи квадратного уравнения

ax 2 + 2kx + c = 0

x 2 + px + q = 0 (приведенное

квадратное уравнение)

x1,2 = - k ± k 2 - ac

x1,2 = -

p

±

p 2

- q

D

a

2

4

= k

2

- ac

³ 0

D

= p

2

- q ³

0

4

4

4

Теорема

Виета

Если x2 + px + q = 0 , то

Если

ax 2 + bx + c = 0 , то

ì x

1 + x 2 = - p

ì

b

ï x1 + x 2 = -

a

í

ï

î x 1 × x 2 = q

í

c

ï

ï x1 × x 2

=

a

î

Выделение полного квадрата

из квадратного трехчлена

æ

b

c

ö

æ

b

b2

b2

c

ö

ax2 + bx + c = a ç x2

+

x +

÷ = aç x2

+

2

x +

-

+

÷ =

2

2

è

a

a

ø

ç

2a

4a

4a

a

÷

è

ø

æ

b ö

2

æ c

b2 ö

æ

b

ö

2

4ac - b2

æ

b ö

2

D

= a ç x +

÷

+ a

ç

-

÷ = a ç x +

÷

+

= a ç x +

÷

-

2

è

2a ø

ç

4a

÷

è

2a ø

4a

è

2a ø

4a

è a

ø

1 градус – это центральный угол,

1 радиан – это центральный угол,

составляющий 1/360 часть полного

опирающийся на дугу окружности,

угла.

длина которой равна радиусу этой

Полный угол содержит 360 о

окружности.

Полный угол содержит

1° – один градус

¢

1° = 60

2p R

= 2p » 6,28 радиан

¢

¢

= 60