15.3. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Вычисления при решении СОДУ состоят из нескольких вложенных один в другой циклических процессов. Внешний цикл – цикл пошагового численного интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл – итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Параметр цикла – номер итерации. Во внутреннем цикле решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Поэтому в математическое обеспечение анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.

Для решения СНАУ можно применять прямые итерационные методы такие, как метод простой итерации или метод Зейделя, но в современных программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно модель получена именно в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона – высокая скорость сходимости.

Представим СНАУ в виде

F(X) = 0.

Разлагая F(X) в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки Хk, получаем

F(X) = F(Xk) + (dF/ dX)(X–Xk) + (X–Xk)^T( d²F/ dX²)(X–Xk) / 2 + ... = 0.

Сохраняя только линейные члены, получаем СЛАУ с неизвестным вектором Х :

Яk(X – Xk) = – F(Xk),

где Яk = ( dF/dX)|k. Решение системы дает очередное приближение к корню системы, которое удобно обозначить Xk+1.

Вычислительный процесс стартует с начального приближения X0 и в случае сходимости итераций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая как

|ΔХk| = |Xk – Xk–1|,

станет меньше допустимой погрешности ε.

Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Условия сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, но существует легко используемый подход к улучшению сходимости. Это близость начального приближения к искомому корню СНАУ. Использование этого фактора привело к появлению метода решения СНАУ, называемого продолжением решения по параметру.

В методе продолжения решения по параметру в ММС выделяется некоторый параметр α, такой, что при α=0 корень Xα= 0 системы известен, а при увеличении α от 0 до его истинного значения, составляющие вектора Х плавно изменяются от Xα= 0 до истинного значения корня.

Тогда задача разбивается на ряд подзадач, последовательно решаемых при меняющихся значениях α, и при достаточно малом шаге Δα изменения α условия сходимости выполняются.

В качестве параметра α можно выбрать некоторый внешний параметр, например, при анализе электронных схем им может быть напряжение источника питания. Но на практике при интегрировании СОДУ в качестве α выбирают шаг интегрирования h. Очевидно, что при h = 0 корень СНАУ равен значению вектора неизвестных на предыдущем шаге. Регулирование значений h возлагается на алгоритм автоматического выбора шага.

В этих условиях очевидна целесообразность представления математических моделей для анализа статических состояний в виде СОДУ, как и для анализа динамических режимов.