14.3.1. Преобразование математических моделей в процессе получения рабочих программ анализа

Реализация функциональных математических моделей различных иерархических уровней как системы уравнений определенного типа на ЭВМ подразумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразования уравнений в соответствии с особенностями выбранного метода. Конечная цель преобразований - получение рабочей программы анализа в виде последовательности элементарных действий (арифметических и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. Все преобразования исходной математической модели ЭВМ выполняет автоматически по специальным программам, пользователю нужно лишь указать те программы, которые он хочет использовать. Этот процесс можно представить в виде иллюстрации (рис 14.3). На рисунке 14.3 показан процесс преобразований математической модели, относящихся к различным иерархическим уровням.

Ветвь 1 постановка задачи на микроуровне в виде ДУЧП. Методы решения ДУЧП основаны на:

1) дискретизации, заключающейся в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах;

2) алгебраизации - замене производных алгебраическими соотношениями.

Применяют различные способы дискретизации и алгебраизации переменных при решении ДУЧП. Если ДУЧП стационарное (то есть описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений (АУ), в общем случае нелинейных (ветвь 2). Если ДУЧП нестационарное (то есть описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из двух этапов:

1) устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат система ОДУ;

2) устранение производных по времени (ветвь 4).

Ветвь 5 непосредственное решение нелинейных АУ различными методами. Ветвь 6 линеаризация уравнения.

Ветвь 7 решение системы ЛАУ с помощью прямых методов (метод Гаусса и др.).

Ветвь 8 преобразование исходного описания задачи, относящейся к макро уровню, к системе ОДУ с известными н.у. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования по ветвям 4,6,7 или 4,5; если же система линейных ОДУ, то непосредственный переход к системе ЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к системе ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логических уравнений, моделям массового обслуживания или аналитическим моделям, отображающим упрощенно технико-экономические показатели объекта (ветвь 11). Сведение этих форм моделей в последовательность элементарных вычислительных операций (ветвь 12) не вызывает затруднений.

Рис. 14.3. Преобразование математических моделей с разных иерархических уровней

14.3.2. Формализация получения математических моделей систем

Процедуры получения математических моделей в САПР, как правило, формализованы. Описание объекта на входном языке программного комплекса на макроуровне представляет собой последовательность строк, каждая из которых характеризует очередной элемент объекта. В строке обычно записывается:

1) Обозначение вида элемента. Пример: гидроцилиндр GC, гидро-

клапан GK, источник давления ЕР, диод D, резистор R, емкость C, ис-

точник тока I, источник напряжения E и др.

2) Идентификатор MM элемента, указывающий, какую из имеющихся моделей нужно применить.

3) Номер элемента, позволяющий отличить данный элемент от других элементов того же вида в составе объекта.

4) Способ соединения данного элемента с другими элементами объекта, обычно выражаемый номерами узлов, к которым подключаются внешние связи элемента. Перед описанием объекта на входном языке удобно составить описание в виде эквивалентной схемы или графа, где ветви (ребра) соответствуют элементам, а узлы (вершины) связям элемента.

5) Числовые значения параметров элемента. Если элемент является унифицированным и характеризуется большим количеством параметров, то числовые значения параметров, вводятся в ЭВМ заранее и хранятся там, в виде некоторого массива. Тогда допускается при описании элемента вместо перечислений параметров элемента указывать

идентификатор массива параметров, он обычно совпадает с наименованием типа элемента. Например, на входном языке комплекса ПА-6 строка, описывающая упругий стержень в механической системе, имеет вид

где UP идентификатор, K номер; Y1 и Y2 номера узлов, с которыми связан стержень; X1, X2 и X3 значения параметров, ими является длина, площадь поперечного сечения и модуль продольной упругости.

Указание идентификатора MM для каждого элемента соответствует заданию уравнений MM элементов компонентных уравнений.

Компонентные уравнения– (уравнения MM элементов на макроуровне)

можно записать в виде

где V=(U, W) вектор фазовых переменных; U подвектор фазовых переменных, непосредственно характеризующих запасы энергии в элементах объекта; t время.

Фазовые переменные могут быть либо переменными типа потенциала (электрические напряжения, температуры, давления, скорости), либо переменными типа потока (электрические токи, тепловые потоки, расходы, силы). Компонентные уравнения связывают разнотипные фазовые переменные.

Указание способа связи элементов друг с другом соответствует заданию топологических уравнений, представляющих собой соотношения между однотипными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам: F2 (V)=0. Топологические уравнения выражают условия равновесия сил, законы сохранения, условия неразрывности и прочее.