14.3. Методика получения математических моделей элементов

Процедура получения математических моделей элементов включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, подлежащих отражению в модели. Этот

выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет

степень универсальности математической модели.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта.

Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, научно-

техническая литература, результаты экспериментов.

3. Синтез структуры математической модели. Структура математической модели общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений параметров. Структура математической модели может быть также представлена в графической форме (эквивалентная схема, граф).

4. Расчет числовых значений параметров математической модели.

Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры, то есть

где Х вектор параметров модели; ХД область изменения параметров. определяется в соответствии с формулами (1) и (2)

а скаляр направления

где yim функция, зависящая от x, а yiист. Определяется по результатам экспериментов. При этом эксперименты могут быть физическими, либо численными с применением более точных математических моделей, если таковые имеются в иерархическом ряду.

5. Оценка точности и адекватности математической модели. Для оценки точности, должны использоваться yiист., которые не использовались в предыдущем пункте. Большую ценность представляют не оценки

погрешностей Em , выполненные в одной-двух случайных точках про-

странства внешних переменных, а сведения об области адекватности

(ОА). Это требует больших затрат машинного времени. Поэтому расчет

ОА выполняется только при тщательной обработке математической модели унифицированных элементов, предназначенных для многократного применения.

Операции 2-5 этой методики могут выполняться многократно в процессе последовательного приближения к желаемому результату.

Так как расчет и представление сведений об ОА в многомерном пространстве затруднительны, то используют аппроксимации области адекватности (АОА). Для человека наиболее удобны АОА в виде вписанного в ОА гиперпараллелепипида со сторонами, параллельными координатным осям. Графическая иллюстрация ОА и АОА для двумерного пространства внешних переменных Q = (q1, q2), будет выглядеть в виде (рис. 12.1.), где ОА ограничена линиями i=1, i=2 и i=3, задаваемыми

уравнениями , i=1,2,3. АОА выделена на рисунке штриховкой.

Сведения об АОА представляются в виде диапазонов изменения

внешних переменных, в которых модель адекватна (с точностью ):

. Другой возможной формой АОА является область, получаемая из ОА с помощью линеаризации ее границ. Линеаризация - метод рассмотрения нелинейных систем, при котором, при некоторых допущениях, они рассматриваются как линейные.

Такая форма неудобна для восприятия человеком, но предпочтительна при автоматическом контроле адекватности модели в процессе вычислений на ЭВМ.

Рис.14.2 Область адекватности модели