ТАУ 2-12 Лекции / ЛЕКЦИЯ_5 / ЛАБА 1 / Методы пространства состояния в теории управления

Соседка В.Л., Соседка Е.В., Соседка Ю.В.

Методы пространства состояния в теории управления

Лабораторные работы и расчеты в пакете MATLAB

(БЛОК 1)

Донецк «Східний видавничий дім»

2007

ББК 32.965-01 УДК 681.5

Соседка В.Л., Соседка Е.В., Соседка Ю.В. Методы пространства состояния в теории управления. – Донецк: Східний видавничий дім, 2007.

– 224 с.

ISBN 978-966-317-003-9

С 54 Материалы книги основаны на описании систем регулирования методом пространства состояния. Основные положения теории иллюстрируются расчетами, структурными схемами и графиками, полученными в результате моделирования. Рассматриваются модели в разных базисах. Обоснованы методы синтеза структурных схем в базисе, в котором все переменные состояния модели соответствуют реальным переменным физического объекта. Расчеты, структурные схемы и моделирование систем регулирования выполнено в пакете

MATLAB (Simulink и Control System Toolbox)

ББК 32.965-01 УДК 681.5

ISBN 978-966-317-003-9

Соседка В.Л.,

Соседка Е.В., Соседка Ю.В., 2007

Макет «Східний

видавничий дім”, 2007

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматического управления (ТАУ), насчитывающая не один десяток лет, постоянно совершенствуется и усложняется. Особенно интенсивное развитие она получила в последнее время благодаря усовершенствованию классических методик, основанных на частотных характеристиках и передаточных функциях, и развитию новых методик, основанных на представлении математических моделей систем регулирования методом пространства состояния. Владение ТАУ является необходимым элементом технической культуры, важной составляющей профессиональной подготовки и востребованности специалиста на рынке труда.

Однако знания, полученные после окончания института, часто являются недостаточными. Практическая деятельность требует их пополнения и углубления, что достигается самостоятельным образованием. Для этого необходимо, во-первых, некоторый минимум базовых знаний, а, во-вторых, наличие соответствующей литературы. С одной стороны литература должна быть конкретной, включать минимум по рассматриваемому вопросу знаний, а, со второй стороны, достаточно глубокой и специализированной. Примером такого подхода является серия «Библиотека по автоматике», выпускаемая в Советском Союзе. К сожалению, на Украине нет издательств, которые на государственном уровне издавали, распространяли и популяризировали технические знания.

При финансовой поддержке банка «Финансовый Союз» делается первый шаг по возрождению утерянных традиций: издается книга «Методы пространства состояния в теории управления». В этой книге основные положения теории методы пространства состояния: составление моделей в разных базисах, аналитическое и структурное моделирование, синтез модальных регуляторов, синтез идентификаторов (наблюдателей), синтез цифровых регуляторов, изложены на примерах лабораторных работ. В каждой лабораторной работе ставиться задача, излагаются общие теоретические положения, и приводится решение конкретного примера с использованием пакета MATLAB. Такой подход позволяет быстрее применить теоретические положения при решении практических задач, так как выполнение лабораторной работы является тестом по оценке усвоения теоретического материала.

Пакет MATLAB является одним из наиболее эффективных средств выполнения научно-технических расчетов, моделирования, визуализации результатов, обработки данных эксперимента и их анализа. Формулировка задач и схемы их решения представляются

понятными математическими выражениями, близкими к традиционным формулам, связывающие векторные или матричные объекты. Язык программирования в среде MATLAB относительно простой, он гораздо (на несколько порядков) проще языков типа С или ФОРТРАН, хотя MATLAB и допускает их применение. Опыт показывает, что, затратив несколько академических часов (до 8) на изучения MATLAB, можно с его помощью исследовать сложные системы регулирования. В пакете Simulink выполнять структурное моделирование линейных и нелинейных систем, в пакете Сontrol System Toolbox - математические исследования, а результаты моделирования и математических исследований представлять в виде двухмерных или трехмерных графиков. Особенно эффективен MATLAB при самостоятельном изучении, так как степень усвоения материала всегда можно проверить, промоделировав или написав программу. Глубина использования MATLAB при решении отдельных задач различна. Иногда сами расчеты выполняются аналитически, а средства системы применяются для построения графиков. В других случаях можно говорить о полном решении средствами MATLAB, так как аналитические преобразования выполняются с помощью символьных вычислений (Symbolic Math Toolbox). В некоторых случаях демонстрируются разные подходы к решению, что дает возможность сопоставить их трудоемкость и степень сложности программной реализации.

Авторы надеются, что время, затраченное на освоение материала книги, будет многократно компенсировано при использовании приобретенных навыков на практике. Уверены, что усвоение метода пространства состояния позволит использовать современный аппарат матричной алгебры и её приложения для расчета систем регулирования, а освоение MATLAB вооружит читателя мощным инструментом, применимым к разным областям техники, а не только к ТАУ.

Авторы старались сделать эту книгу не только учебным пособием, но и руководством, позволяющим применять знания из разных областей для решения инженерных задач.

Коллектив будут приветствовать всех, кто поддержит возрождение издательства технической литературы на Украине и примет участие в издании новых учебных пособий.

Мы будем признательны нашим читателям за замечания, исправления и критику, присланную по адресу: v.lukich@uf.fm

Лабораторная работа № 1 Представление моделей систем регулирования

в пакете MatLab

Цель работы:

изучить возможности MatLab по созданию и преобразованию моделей линейных систем;

получить практические навыки по созданию и преобразованию моделей линейных систем;

получить практические навыки по определению реакции типовых звеньев на гармонические воздействия.

Общие характеристики пакета Control System Toolbox (CST)

Исследование систем автоматического управления начинается с создания математической модели [4]. В пакете CST линейные модели могут быть представлены в четырех формах:

-передаточная функция (tf);

-нули, полюса и коэффициент усиления (zpk);

-пространство состояния (ss);

-частотные характеристики (frd).

Задать модель системы в форме tf – это задать вектор коэффициентов числителя и знаменателя. Например, если в форме tf требуется представить модели системы, передаточная функция которой известна

H(s) = s2 + 2ss +10 ,

то в m-файле требуется записать следующую команду h1=tf([1,0], [1,2,10]).

Для создания модели системы в форме zpk, требуется знание нулей z (корней числителя), полюсов p (корней знаменателя) и

коэффициента усиления k . Например, если модель задана в форме zpk

H(s) = 2s , (s −2 )(s2 −2s + 2 )

то в m-файле ей будут соответствовать следующие команды:

z = 0;

p =[2, 1+ j, 1− j]; k = 2;

H = zpk(z, p,k).

Модель системы в пространстве состояния задается системой матричных уравнений

dXdt = AX + BU;

Y = CX + DU,

где X - вектор состояния; U , Y - векторы входа и выхода системы; A - матрица коэффициентов, B -матрица управления, C -матрица выхода, D -матрица, характеризующая связь входного сигнала с выходным.

В частном случае, характеризующем простые системы, выход является скалярной величиной. В этом случае матрица С - это вектор строка, а матрица X –вектор столбец

и их произведение дает скалярную величину.

Предположим, что имеется дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока независимого возбуждения, у которого за входную величину принят ток I, а за выходную – угол поворота

dt

Тогда имеем:

x&1 = x2 ;

x&2 = −5x1 −2x2 ;

y= x1 .

Сучетом принятых обозначений, уравнение (1) в матричной форме

имеет вид

D = 0.

Численные значения матриц А, B, C и D можно получить из выражений (2). В пакете CST имеется команда ss, позволяющая

D = 0;

H = ss(A,B,C,D).

Модель в форме frd характеризует систему в частотной области. Исходными данными для создания формы frd являются модели, представленные формами: tf, zpk или ss. Для снятия частотных характеристик на вход системы подается ряд частот и команда frd определяет стационарную реакцию на эти возмущения. Для работы с моделью в форме frd в m-файле следует записать следующую программу, из которой следует, что исходная модель задана в форме tf, а тестовые сигналы задаются вектором Fred

На рис.1 представлена схема, показывающая связи между математическими моделями, представленными в пакете CST.

Рис.1. Схема преобразования моделей в пакете CST

Из схемы рис.1 видно, что модели, заданные в форме tf, zpk и ss, взаимно преобразуемы. Переход от формы ss к форме tf и zpk задается командами:

Аналогично можно записать команды, преобразующие модель формы zpk к другим формам представления:

Модель, заданная в форме tf, может быть преобразована к формам ss и zpk:

Преобразование моделей к форме frd осуществляется из tf, ss и zpk и нуждается в векторе входного тестового сигнала:

h1=tf(num,den)

h1=ss(h1) h1=zpk(h1). fred=(1;10;20;40) h2=frd(h1,fred).

В пакете CST имеются команды, позволяющие получать математическое описание сложных систем по их структурным схемам [4]. Структурная схема последовательного соединения представлена на рис.2.

H

Рис.2. Структурная схема последовательного соединения звеньев

Передаточная функция этого соединения H определяется следующими командами:

H=series(H1,H2),

или

H=H2*H1.

При определении передаточных функций последовательно соединенных звеньев следует учитывать обратный порядок сомножителей в операции умножения и на структурной схеме.

Параллельное соединение звеньев показано на рис.3.

H2

H

Рис.3. Структурная схема параллельного соединения

Передаточная функция H этой структуры включает следующие команды:

Н=parallel(H1,H2),

или

H=H2+H1.

При охвате звена H1 обратной связью структура системы принимает вид (рис.4).

H2

Рис.4.Обощенная структурная схема замкнутой системы регулирования

Передаточная функция замкнутой системы определяется выражением:

H=feedback(H1,H2).

При положительной обратной связи команда определения H изменяется:

H=feedback(H1,H2,+1).

Два звена могут иметь разные входы (горизонтальной конкатенации) - рис.5.

Рис.5. Структурная схема горизонтальной конкатенации

Выходная величина для горизонтальной конкатенации определяется выражением:

y =[H1, H2] u1 .

u2

Передаточная функция, соответствующая структуре рис.5, определяется командой:

H=[H1, H2].

Если два звена имеют общий вход, но разные выходы, то такое соединение образует вертикальную конкатенацию (рис.6).

Выходная величина для вертикальной конкатенации соответствует соотношению:

y= H1 u .H 2

ав пакете CST этому соединению соответствует команда:

H=[H1; H2].

H1 y1

u

H2 y2

H

Рис.6. Структурная схема вертикальной конкатенации

При описании моделей систем регулирования в пространстве состояния возникает необходимость компактного описания в соединении блоков, представленных на рис.7.

H

Рис.7. Структурная схема соединения блоков, формирующих результирующую (агрегативную) модель

Математическая запись структурной схемы рис.7 соответствует формированию диагональной матрицы

В пакете CST этому преобразованию соответствует команда:

H=append(H1,H2).

Домашнее задание:

1.Изучить команды, формирующие модели линейных стационарных систем, в пакете CST.

2.Изучить команды, определяющие соединения звеньев стационарных систем, в пакете CST.

Порядок выполнения работ:

Лабораторная работа выполняется на персональной ЭВМ с использованием пакета MatLab.

1.Командой tf создать математические модели типовых звеньев: апериодического, колебательного, интегрирующего, дифференцирующего и усилительного. Параметры типовых звеньев задаются самостоятельно.

2.Используя команды соединения звеньев, создать структуры, образующие:

-последовательное соединение двух звеньев, трех звеньев;

-параллельное соединение двух звеньев, трех звеньев;

-горизонтальную конкатенацию двух звеньев, трех звеньев;

-вертикальную конкатенацию двух звеньев, трех звеньев;

-соединение с обратной связью: прямой цепи стоят два звена, а обратной связи одно; прямой цепи стоят три звена, а обратной связи - два звена.

3.Используя команду zpk преобразовать передаточные функции, образованные соединением звеньев, полученные на предыдущем шаге, которые были представлены формой tf, в форму zpk.

4.Используя команду ss, перейти от формы tf к форме ss.

5.Используя команду ss, перейти от формы zpk к форме ss.

6.Используя структуру, представленную в табл.1, определить передаточную функцию замкнутой системы. Параметры звеньев задать самостоятельно.

7.Используя команду frd, определить реакцию апериодического

иинтегрирующего звена.

8.Используя команду frd, определить реакцию апериодического

иколебательного звена (тестовые сигналы задать самостоятельно из расчета, что по измеренным выходным сигнал можно построить АФХ исследуемых звеньев).

Содержание отчета:

1. Характеристики команд, используемых при представлении моделей в пакете CST.

2.Характеристика команд, используемых при создании сложных структурных схем.

3.Структурные схемы исследуемых систем и их передаточные функции.

4.Реакция апериодического, колебательного, интегрирующего и дифференцирующего звеньев, определенная командой frd (тестовые сигналы выбираются самостоятельно).

5.АФХ апериодического и колебательного звеньев.

Контрольные вопросы:

1.Какие исходные данные требуются для формирования модели

вформе tf?

2.Какие исходные данные требуются для формирования модели

вформе zpk?

3.Какие исходные данные требуются для формирования модели

вформе ss?

4.Как сформировать выходные сигналы модели, заданной в форме frd?

5.Как записать модель в форме ss если исходные данные заданы

вформе tf?

6.Как записать модель в форме ss если исходные данные заданы

вформе zpk?

7.Какой командой определяется последовательное соединение звеньев?

8.Какой командой определяется параллельное соединение звеньев?

9.Какой командой определяется соединение звеньев, образующих горизонтальную конкатенацию?

10.Какой командой определяется соединение звеньев, образующих вертикальную конкатенацию?

11.Как определить передаточную функцию замкнутой системы (обратная связь отрицательная)?

12.Как определить передаточную функцию замкнутой системы (обратная связь положительная)?

13.Как, имея матрицы A , B , C , D записать дифференциальные уравнения системы?

14.Как, используя матрицы A , B , C , D представить структурную схему системы?

15.Как по структурной схеме, полученной в пункте 14, получить передаточную функцию системы?

Соседка В.Л., Соседка Е.В., Соседка Ю.В. Методы пространства состояния в теории управления

Таблица 1.

H

Лабораторная работа № 1_01A Исследование типовых звеньев в пакете MatLab

1. Цель работы:

1.Изучить команды MatLab по созданию моделей в пакете

Control System Toolbos (CST);

2.Изучить возможности команды ltiview для исследования характеристик типовых звеньев;

3.Изучить влияние изменения параметров передаточных функций на вид временных и частотных характеристик типовых звеньев.

2. Постановка задачи

Структурные схемы систем автоматического управления состоят из типовых звеньев:

-апериодическое;

-колебательное;

-интегрирующее;

-дифференцирующее.

Апериодическое звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

Колебательное звено имеет две постоянные времени T1и T2 , что

является необходимым условием. Достаточное условие состоит в том, чтобы между параметрами звена с постоянными времени T1и T2 в

переходных процессах осуществлялся обмен энергиями. Это достигается при комплексных корнях характеристического уравнения знаменателя передаточной функции (4).

Интегрирующее звено описывается интегральным уравнением первого порядка

0

которому соответствует передаточная функция

Дифференцирующее звено определяет выходной сигнал как производную от входного сигнала

которому соответствует передаточная функция идеального дифференциального звена

TД - постоянная времени дифференцирования.

Однако на реальных физических элементах невозможно выполнить идеальное дифференцирование. При технической реализации дифференцирование выполняется приближенно и поэтому передаточная функция реального дифференцирующего звена имеет вид:

Выражение (9) показывает, что дифференцирование выполняется в ограниченном диапазоне частот при выполнении неравенства 1>>TД s .

В m–файле представлены программы для определения влияния параметров типовых звеньев (коэффициенты усиления K , постоянных времени T , T1, T2 на временные и частотные характеристики).

Программа 1 иллюстрирует влияние изменения коэффициента усиления K апериодического звена на временные и частотные характеристики. Пакет MatLab может осуществлять аналитические вычисления и преобразования. Для этого нужно воспользоваться пакетом символьной математики (Symboliс Math Toolbox), в котором переменные определяются как символьные типа syms.

Все вышеперечисленные характеристики можно получить в одном окне, используя команду Ltiview. При выполнении этой команды MatLab строит переходные и частотные характеристики исследуемого звена. При входе в меню Edit появляется ниспадающее меню, из которого следует выбрать Plot Configurations, - что позволяет получить все вышеперечисленные характеристики в одном окне.

Влияние изменения постоянной времени на временные и частотные характеристики апериодического звена приведен в программе 2 (tip_zv_02.m).

%Программа 2

Запишем программу для исследования влияния изменения параметров колебательного звена на его временные и частотные характеристики. Так как постоянные времени колебательного звена задаются самостоятельно, то предварительно нужно определить корни характеристического управления знаменателя передаточной функции (4).

Запишем произвольную передаточную функцию колебательных звеньев

В пакете MatLab корни характеристического уравнения знаменателя определяются следующими командами

p=[3,4,1]

roots(p)

В результате получим

Ans=

-1.0000 -0.3333

Что свидетельствует об апериодичности характеристик переходного процесса. Передаточная функция (10) соответствует двум последовательно соединенным апериодически звеньям.

Изменим коэффициенты характеристического уравнения и получим

p= [4,3,1] roots(p)

Ans=

-0.3750+j0.3307 -0.3750-j0.3307

Комплексные корни характеристического уравнения знаменателя указывает, что передаточная функция соответствует колебательному звену.

В программе 3 исследовано влияние коэффициентаK .

%Программа 3

Оставив в Программе 3 неизменным коэффициент усиления, а изменяя постоянные времени, получим новые временные и частотные характеристики. Аналогично записываются программы для исследования интегрирующего и дифференцирующего звеньев.

3. Домашнее задание

1.Изучить характеристики (временные и частотные) типовых

звеньев.

2.Изучить команды МАТLAB, позволяющие записать передаточные функции типовых звеньев и представить их временные

ичастотные характеристики на соответствующих графиках.

3.Написать фрагменты программ для исследования типовых

звеньев.

4.Порядок выполнения работ

Лабораторная работа выполняется на персональной ЭВМ с использованием пакета МАТLAB.

1.Команды tf создают математические модели типовых звеньев: апериодического, колебательного, интегрирующего и дифференцирующего. Параметры типовых звеньев задаются самостоятельно.

2.Команды step и impulse определяются переходные и импульсные переходные характеристики.

3.Команда bode и nyquist определяются логарифмические (амплитудные и фазовые) и амплитудно-фазовые характеристики

(АФХ).

4.Команда ltiview [4] определяет временные и частотные характеристики в одном окне.

5.С помощью пакета Symbolik Math Toolbox определяют переходные и импульсные переходные функции апериодическим путем.

20