22-11-2015_10-51-11 / Mathcad - transient_Л_7
.pdf
Задача 1
Расчет переходного процесса классическим методом при использовании вычислений в системе MathCAD
Пусть в линейной электрической цепи, приведенной на рис.1, в момент t=0 произошло замыкание ключа. Требуется найти зависимости от времени напряжения u3 в течение переходного процесса, если заданы параметры всех элементов цепи.
|
Исходные данные для варианта 7 |
||||
R1 10 |
R2 11 |
R3 5 |
L 6 10 3 |
E 200 В |
|
R4 12 |
Ом |
C 120 10 6 |
Ф |
|
|
рис.1
Расчет тока в индуктивности и напряжения наемкости до коммутации. До коммутации цепь находилась в режиме постоянного тока. Для постоянного тока идеальная катушкаиндуктивности представляет собой закоротку, а конденсаторразрыв ветви.
E
iL_0
R3 R4 R1
iL_0 7.407
uc_0 iL_0 (R3 |
R4) |
uc_0 125.926 |
(1)
Составление характеристического уравненияи расчет его корней Составим уравнения Кирхгофа в мгновенной форме для произвольного момента времени после коммутации. Особенность составления уравнений такова, что независимые контуры нужно выбирать так, чтобы ветвь с индуктивностью вошла в минимальное число контуров.
после коммутации
i3 iL ic = 0
uc R2 ic R3 i3 = 0
L d iL |
R1 iL R3 i3 = E |
(2) |
|
dt |
|
|
|
1 |
t |
|
|
uc |
|
ic(t) dt = 0 |
|
|
|
||
C0
Вуравнениях Кирхгофа (2) заменим производную любой переменной на параметр р, интеграл - на 1/p, любую переменную -на единицуи запишем полученную системууравнений в матричной форме. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю определителя главной матрицы. Найдем корни этого уравнения.
Given
Y (
i3 iL ic uc)
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
||
|
R3 |
0 |
R2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||
R3 |
L p R1 |
0 0 |
= 0 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
p C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P Find(p) float 5 ( 603.73 |
2156.7) |
|
P 603.73 2.157 103 |
|
|
P0 0 |
603.73 |
|
P0 |
1 2.157 103 |
|
Вычисление зависимых начальных условий.
Зависимые начальные условияэто в начальный момент после коммутации токи во всех элементах, не являющихся индуктивностями, напряженияна всех элементах, неявляющихся емкостями и производные всех токов.
Токи в индуктивностях и напряжениа на емкостях называются переменными состояния, а все остальные переменныезависимыми переменными.
Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа в мгновенной форме после коммутации, положим t=0 , применим законы коммутации и перенесем в правую часть уравнений известные токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.
В уравнениях Кирхгофа (2) обозначим напряжение наемкости uc(t), а производные будем обозначать символом<'>(штрих). Продифференцируем те уравнения, в которых нет производных и присоединим полученные уравнения к системе уравнений Кирхгофа. Получим системууравнений:
i3 |
ic = iL_0 |
|
X (uc' |
iL' i3' |
ic' |
i3 |
ic) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R2 ic R3 i3 = uc_0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 0 0 |
0 |
R3 R2 |
|
|||||||||
LiL' |
|
R3 i3 = E |
|
R1 iL_0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
0 |
0 |
R3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
C |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
||
C uc' ic = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
(4) |
|
i3' |
iL' ic' = 0 |
|
1 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
R2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
uc' R2 ic' |
R3 i3' = 0 |
|
|
|
|
|
|
iL_0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uc_0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
E R1 iL_0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
X M 1 V |
|
|
i3_0 X4 |
i3_0 12.963 |
u3_0 i3_0 R3 |
i3_0' X2 |
i3_0' 9.271 103 |
u3_0' i3_0' R3 |
Определение принужденных токов.
Принужденные токиэто установившиеся токи после завершения переходного процесса. Посколькув цепи имеется только источник постоянной ЭДС, то установившиеся токипостоянные и их нужно рассчитывать по правилам расчета постоянных токов. Конденсатор, включенный последовательно с источником ЭДС приводит к тому, что все принужденные токи равны нулю.
iL_pr |
E |
|
iL_pr 13.333 |
|
R3 R1 |
||||
|
|
|||
u3_pr iL_pr R3 |
u3_pr 66.667 |
|||
Запишем общие решения для uc:
u3(t) = A0 eP0 0 t |
A1 eP0 1 t |
u3_pr |
|
(8) |
|||||
|
|
||||||||
Продифференцируем |
|
|
|
|
|
|
|||
d u3(t) = A0 P |
P |
t |
A1 P |
|
P |
0 1 |
t |
(9) |
|
e |
0 0 |
|
e |
|
|
||||
dt |
0 0 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
Расчет постоянныхинтегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования необходимо записать решения (8) и выражения производных переменных (9) для момента времени t=0 и приравнять полученные токи и ихпроизводные их начальным условиям (7).
A0 A1 = u3_0 |
u3_pr |
|
A0 P0 0 A1 P0 |
1 = i_0' |
(10) |
Системулинейных уравнений (10) запишем и решим в матричной форме
|
1 |
1 |
u3_0 u3_pr |
||
Ma |
|
|
Va |
|
|
P0 0 |
P0 1 |
|
u3_0' |
|
|
1 |
|
32.423 |
|
A Ma |
Va |
A |
|
|
|
|
30.571 |
Запись решения
u3(t) A0 exp P0 0 t A1 exp P0 1 t u3_pr
t 0 0.000005 0.003
70
u3(t) 60
50
0 |
5 10 |
|
4 |
0.001 |
0.0015 |
0.002 |
0.0025 |
0.003 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
i3 iL ic = 0
uc R2 ic R3 i3 = 0
L d iL R1 iL R3 i3 = E dt
