22-11-2015_10-51-11 / Mathcad - trans_6_з
.pdf
Задача 1
Расчет переходного процесса классическим методом при использовании вычислений в системе MathCAD
Пусть в линейной электрической цепи, приведенной на рис.1, в момент t=0 произошло замыкание ключа. Требуется найти зависимости от времени iLв течение переходного процесса, если заданы параметры всех элементов цепи.
|
Исходные данные для варианта 6 |
|||
R1 4 |
R2 8 |
R3 10 |
L 8 10 3 |
E 150 |
R4 3 |
|
C 100 10 6 |
|
|
Расчет тока в индуктивности и напряжения наемкости до коммутации. До коммутации цепь находилась в режиме постоянного тока. Для постоянного тока идеальная катушкаиндуктивности представляет собой закоротку, а конденсаторразрыв ветви.
i1_0 |
|
|
|
E |
i1_0 13.564 |
|
|||
R2 |
|
(R3 R4) R1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
R3 R4 R1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
uc_0 i1_0 R2 |
|
|
|||||||
iL_0 i1_0 |
|
R3 R4 |
|
iL_0 10.372 |
|
||||
R3 R4 R1 |
(1) |
||||||||
|
|
|
|||||||
Составление характеристического уравнения и расчет его корней Составим уравнения Кирхгофа в мгновенной форме для произвольного момента времени после коммутации. Особенность составления уравнений такова, что независимые контуры нужно выбирать так, чтобы ветвь с индуктивностью вошла в минимальное число контуров.
i2 i3 ic iL = 0
i2 i ic = 0
uc R3 i3 = E |
(2) |
uc R2 i2 = 0
L d iL R1 iL R3 i3 = 0 dt
uc 1 t ic(t) dt = 0 C 0
Y (i i2 i3 iL ic uc)
В уравнениях Кирхгофа (2) заменим производную любой переменной на параметр р, интеграл - на 1/p, любую переменную -на единицуи запишем полученную системууравнений в матричной форме. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю определителя главной матрицы. Найдем корни этого уравнения.
|
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
R3 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 R2 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
||
|
0 |
0 |
R3 L p R1 0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
||
|
p C |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P Find(p) float 5 ( 1375. |
|
695.98 i |
1375. 695.98 i) |
|||||||||
|
P 1.375 103 695.98i |
1.375 103 695.98i |
||||||||||
|
|
P0 0 |
1.375 103 695.98i |
|
|
|||||||
|
|
P0 |
1 1.375 103 695.98i |
|
|
|||||||
Вычисление зависимых начальных условий.
Зависимые начальные условияэто в начальный момент после коммутации токи во всех элементах, не являющихся индуктивностями, напряженияна всех элементах, неявляющихся емкостями и производные всех токов.
Токи в индуктивностях и напряжениа на емкостях называются переменными состояния, а все остальные переменныезависимыми переменными.
Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа в мгновенной форме после коммутации, положим t=0 , применим законы коммутации и перенесем в правую часть уравнений известные токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.
В уравнениях Кирхгофа (2) обозначим напряжение наемкости uc(t), а производные будем обозначать символом<'>(штрих). Продифференцируем те уравнения, в которых нет производных и присоединим полученные уравнения к системе уравнений Кирхгофа. Получим системууравнений:
i2 i3 ic iL = 0
i2 i ic = 0
uc R3 i3 = E
uc R2 i2 = 0
LiL' R1 iL R3 i3 = 0
C uc' ic = 0
i2' i3' ic' iL' = 0
i2' i' ic' = 0
uc' R3 i3' = 0
uc' R2 i2' = 0
(4)
X (iL' uc' i i2 i3 ic i' i2' i3' ic')
|
0 0 0 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
R2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
M |
L 0 |
0 |
|||||||||
0 C |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
||||
|
0 0 0 0 |
0 |
0 |
1 |
1 0 |
1 |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
R3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 0 0 |
0 |
0 |
0 |
R2 0 |
0 |
||||
|
|
iL_0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uc_0 |
E |
|
||
|
|
uc_0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
R1 iL_0 |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
X M 1 V |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
13 iL_0' X0 iL_0' 9.788 10
Определение принужденных токов.
Принужденные токиэто установившиеся токи после завершения переходного процесса. Посколькув цепи имеется только источник постоянной ЭДС, то установившиеся токипостоянные и их нужно рассчитывать по правилам расчета постоянных токов. Конденсатор, включенный последовательно с источником ЭДС приводит к тому, что все принужденные токи равны нулю.
E
i2_pr
R2 (R3) R1
R3 R1
iL_pr i2_pr |
R3 |
|
iL_pr 9.868 |
|
R1 R3 |
||||
|
|
|||
Запишем общие решения для токов:
iL(t) = A0 eP0 0 t A1 eP0 1 t iL_pr
Продифференцируем токи
d iL(t) = A0 P |
eP0 0 t A1 P |
eP0 1 t |
|
dt |
0 0 |
0 1 |
|
(8)
(9)
Расчет постоянныхинтегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования необходимо записать решения (8) и выражения производных переменных (9) для момента времени t=0 и приравнять полученные токи и ихпроизводные их начальным условиям (7).
A0 A1 = iL_0 iL_pr |
|
A0 P0 0 A1 P0 1 = iL_0' |
(10) |
Системулинейных уравнений (10) запишем и решим в матричной форме
1 |
1 |
Va |
iL_0 iL_pr |
||
Ma |
|
|
|
|
|
P0 0 P0 1 |
|
iL_0' |
|
||
1 |
|
0.252 |
0.498i |
|
|
A Ma |
Va |
|
A |
|
|
|
|
|
0.252 |
0.498i |
|
Запись решения |
|
|
|
||
|
iL(t) A0 exp P0 0 t |
A1 exp P0 1 t iL_pr |
|||
t 0 0.000005 0.003
10.2
iL(t)
10
9.8
0 |
5 10 |
|
4 |
0.001 |
0.0015 |
0.002 |
0.0025 |
0.003 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|