29-11-2015_11-04-29 / Mathcad - transient_M8
.pdf
Задача1
Расчет переходного процесса классическим методом при использовании вычислений в системе MathCAD
Пусть в линейной электрической цепи, приведенной на рис.1, в момент t=0 произошло замыкание ключа. Требуется найти зависимости от времени тока u3 в течение переходного процесса, если заданы параметры всех элементов цепи.
Для упрощения задачи найдем вначале ток i
Исходные данные для варианта М
R1 10 |
R2 11 |
R3 5 |
L 6 10 3 |
E 200 В |
|
R4 12 |
Ом |
C 120 10 6 |
Ф |
|
|
рис.1
Расчет тока в индуктивности и напряжения наемкости до коммутации. До коммутации цепь находилась в режиме постоянного тока. Для постоянного тока идеальная катушкаиндуктивности представляет собой закоротку, а конденсаторразрыв ветви.
E
i_0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
R3 |
(R4 R1) R2 |
i_0 16.216 |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R1 R2 R4 |
|
|
|||||
iL_0 i_0 |
|
R2 |
|
iL_0 5.405 |
|
||||||
R1 R2 R4 |
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
i2_0 |
i_0 |
|
R1 R4 |
|
|
|
|||||
R1 |
R2 R4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
uc_0 i2_0 R2 |
uc_0 118.919 |
Составление характеристического уравненияи расчет его корней Составим уравнения Кирхгофа в мгновенной форме для произвольного момента времени после коммутации. Особенность составления уравнений такова, что независимые контуры нужно выбирать так, чтобы ветвь с индуктивностью вошла в минимальное число контуров.
после коммутации
i iL ic i2 = 0
uc R2 i2 = 0
uc R3 i = E
L d iL |
R1 iL R3 i = E |
(2) |
|
dt |
|
|
|
1 |
t |
|
|
uc |
|
ic(t) dt = 0 |
|
|
|
||
C0
Вуравнениях Кирхгофа (2) заменим производную любой переменной на параметр р, интеграл - на 1/p, любую переменную -на единицуи запишем полученную системууравнений в матричной форме. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю определителя главной матрицы. Найдем корни этого уравнения.
Given
|
Y (i |
i2 |
iL ic |
uc) |
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
R2 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
R3 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
R3 0 |
R1 L p |
0 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|||
|
p C |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P Find(p) float 5 |
( 2045.5 1116.0 i 2045.5 |
1116.0 i) |
||||||||
|
P 2.046 |
103 |
1.116i 103 2.046 103 |
1.116i 103 |
||||||
|
|
P0 0 |
2.046 103 1.116i 103 |
|
||||||
|
|
P0 1 2.046 103 |
1.116i 103 |
|
||||||
|
|
Вычисление зависимых начальных условий. |
||||||||
|
|
Зависимые начальные условияэто в начальный момент после |
||||||||
коммутации токи во всех элементах, не являющихся индуктивностями, |
||||||||||
напряженияна всех элементах, неявляющихся емкостями и производные всех токов.
Токи в индуктивностях и напряжениа на емкостях называются переменными состояния, а все остальные переменныезависимыми переменными.
Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа в мгновенной форме после коммутации, положим t=0 , применим законы коммутации и перенесем в правую часть уравнений известные токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.
В уравнениях Кирхгофа (2) обозначим напряжение наемкости uc(t), а производные будем обозначать символом<'>(штрих). Продифференцируем те уравнения, в которых нет производных и присоединим полученные уравнения к системе уравнений Кирхгофа.
Получим системууравнений:
i ic i2 = iL_0
R2 i2 = uc_0
R3 i = E uc_0
L d iL R3 i = E R1 iL_0 dt
C uc' ic = 0
i' iL' ic' i2' = 0
uc' R2 i2' = 0
uc' R3 i' = 0
|
iL_0 |
|
|
|
uc_0 |
|
|
|
|
||
|
E uc_0 |
|
|
|
E R1 iL_0 |
||
V |
0 |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|||
|
0 |
|
|
X |
M 1 V |
|
|
X (uc' |
iL' |
i' |
ic' i2' i |
ic i2) |
|
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
R2 |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
L |
0 |
0 |
0 |
R3 0 |
0 |
|
|||
M |
C |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
(4) |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
R2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
i_0 X5 |
i_0 16.216 |
i_0' X2 |
i_0' 1.802 104 |
Определение принужденных токов.
Принужденные токиэто установившиеся токи после завершения переходного процесса. Посколькув цепи имеется только источник постоянной ЭДС, то установившиеся токипостоянные и их нужно рассчитывать по правилам расчета постоянных токов. Конденсатор, включенный последовательно с источником ЭДС приводит к тому, что все принужденные токи равны нулю.
|
i_pr |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
R3 |
R1 R2 |
|
|
|
i_pr 19.535 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R1 R2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем общие решения для токов: |
|
|||||||
i(t) = A0 eP0 0 t A1 eP0 1 t |
i_pr |
(8) |
||||||
|
||||||||
Продифференцируем токи |
|
|
|
|
||||
d i(t) = A0 P |
eP0 0 t |
A1 P |
|
|
eP0 1 t |
(9) |
||
|
|
|
||||||
dt |
0 0 |
|
|
0 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет постоянныхинтегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования необходимо записать решения (8) и выражения производных переменных (9) для момента времени t=0 и приравнять полученные токи и ихпроизводные их начальным условиям (7).
A0 A1 = i3_0 i_pr |
|
A0 P0 0 A1 P0 1 = i_0' |
(10) |
Системулинейных уравнений (10) запишем и решим в матричной форме
1 |
|
|
1 |
i_0 i_pr |
||
Ma |
|
|
|
Va |
|
|
P0 0 |
P0 1 |
|
i_0' |
|
||
1 |
|
|
1.659 11.114i |
|
||
A Ma |
Va |
A |
1.659 |
11.114i |
|
|
|
|
|
|
|
||
Запись решения
i(t) |
A0 exp P0 0 t A1 exp P0 1 t i_pr |
|
|
|
u3(t) |
i(t) R3 |
t |
0 0.000005 0.003 |
|
100 |
|
|
|
|
u3(t) |
80 |
|
|
|
60
0 |
5 10 |
|
4 |
0.001 |
0.0015 |
0.002 |
0.0025 |
0.003 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|