2 Завдання.

Чотири споживача отримують сировину від трьох постачальників , які мають запаси цієї сировини : 160 , 140 та 179 одиниць , відповідно. Потреба кожного з споживачів: 120 , 50 , 190 , 110 од. Вартість перевезень задана матрицею:.

Необхідно:

1. Перевірити, чи є транспортна задача відкритою або закритою.

2. Скласти математичну модель, при якій вартість перевезення буде мінімальною.

3. За допомогою методу мінімальних витрат знайти початкове опорне рішення.

4. Оптимальний план транспортної задачі знайти за допомогою методу потенціалів.

5. Дати економічну інтерпретацію знайденого рішення.

Розв’язання :

1. Так як: , тобто 160+140+170=120+50+190+110, 470=470, то дана задача є закритою.

2. Нехай Xij - кількість вантажу, що перевозиться від i-го постачальника до j-ому споживачеві. Сформулюємо математичну модель: Z = Сij *Xij → min

Zmin = 7X₁₁ +8 X₁₂+1 X₁₃+2 X₁₄+4 X₂₁+5 X₂₂+9 X₂₃+8 X₂₄+9 X₃₁+2 X₃₂+3 X₃₃+6 X₃₄ при обмеженнях:

обмеження пропозиції (вся сировина повинна бути вивезено):

,

обмеження попиту (всі споживачі повинні бути задоволені):

,

на всі змінні накладаються умови не заперечності Xij ≥0,

3.За допомогою методу мінімальних витрат знайдемо початкове опорне рішення.

Запишемо дані в таблицю:

bj аi	120	50	190	110
160	7	8	1 160	2
140	4 120	5	9	8 20
170	9	2 50	3 30	6 90

 

Мінімальні витрати С₁₃ = 1 . Кількість сировини у 1-ого постачальника 160 , менше ніж потреба 3-го споживача - 190 . Тому покладемо Х₁₃ = 160 і виключимо 1 рядок з розгляду, оскільки сировина першого постачальника використано повністю. Потреби третього споживача вважаємо рівними 30 .

У частині таблиці мінімальні витрати знаходяться в клітці для змінної Х₃₂ , покладемо Х₃₂ = 50 і виключимо з розгляду другий стовпець, тому що потреби другого споживача повністю задоволені. У третього постачальника залишиться 120 од. товару.

У частині таблиці з двома рядками і трьома стовпцями мінімальні витрати на перевезення перебувають для змінної Х₃₃ (тому С₃₃ = 3). Покладемо Х₃₃ = 30 і виключимо з розгляду третій стовпець, так як повністю задоволені потреби третього споживача.

Аналогічно заповнимо (у певній послідовності ) клітини для змінних Х₁₃ , Х₂₁ , Х₂₄ , Х₃₁ , Х₃₃ , Х₃₄ . Інші шість змінних вільні .

В результаті отримаємо вихідний початковий опорний план.

X₀ = ,

при данному плану, загальна вартість перевезень склада:

Z₀ = 1*160+4*120+2*50+3*30+8*20+6*90=1530 (грош.ум.од.)

4. Перевіримо отриманий план на оптимальність. Для цього знайдемо потенціали постачальників і споживачів за формулою U_i+V_j = C_ij (для базисних клітин).

нехай U₃ = 0,

U₁ = -2,

U₂ = 2,

V₁ = 2,

V₂ = 2,

V₃ = 3,

V₄ = 6.

Знаючи потенціали, підрахуємо оцінки вільних клітин за наступною формулою:

∆_ij = C_ij – (U_i + V_j) (за вільними клітинам).

∆₁₁ = C₁₁ – (U₁ + V₁) = 7-0=7>0,

∆₁₂ = C₁₂ – (U₁ + V₂) = 8-0=8>0,

∆₁₄ = C₁₄ – (U₁ + V₄) = 2-4=-2<0,

∆₂₂ = C₂₂ – (U₂ + V₂) = 5-4=1>0,

∆₂₃ = C₂₃ – (U₂ + V₃) = 9-5=4>0,

∆₃₁ = C₃₁ – (U₃ + V₁) = 9-2=7>0.

Так як, серед оцінок є негативна оцінка, тому наш план не є оптимальним.

Покращимо цей план.

Необхідно побудувати цикл перерахунку для клітини з негативною оцінкою Х₁₄.

Для цього необхідно в клітинку з негативною оцінкою Δ₁₄ перенести певну кількість сировини (зробити Х₁₄ - базисної) звільнивши при цьому одну з заповнених клітин. Для цього побудуємо цикл. Його вершини знаходяться в клітинах (1;3), (3;3) та (3;4). Поставимо знаки «+» та «-» по черзі починаючи з «+» в клітинці (1;4) . Клітини зі знаком «- » містять 160 і 90 одиниць сировини. Оскільки мінімальна кількість сировини 90 , містить клітина (3;3), то вона стане вільною після того, як буде перерозподіл сировини.

У клітинах зі знаком «+» додамо 90 , зі знаком «-» віднімаємо 90 . Тепер базисні змінні: Х_13, Х₁₄ , Х₂₁ , Х₂₄ , Х₃₂ , Х₃₃ .

bj аi	120	50	190	110
160	7	8	1 70	2 90
140	4 120	5	9	8 20
170	9	2 50	3 120	6

Х₁ =

Z₁=70*1+90*2+120*4+20*8+50*2+120*3=1350 (грош.ум.од.)

Перевіримо цей план на оптимальність:

нехай U₁ = 0

U₃ = 2,

U₂ = 6,

V₁ = -2,

V₂ = 0,

V₃ = 1,

V₄ = 2.

Оцінки вільних клітинок:

∆₁₁ = C₁₁ – (U₁ + V₁) = 7+2=9>0,

∆₁₂ = C₁₂ – (U₁ + V₂) = 8>0,

∆₂₂ = C₂₂ – (U₂ + V₂) = 5-6=-1<0,

∆₂₃ = C₂₃ – (U₂ + V₃) = 2>0,

∆₃₁ = C₃₁ – (U₃ + V₁) = 9>0,

∆₃₄ = 2>0.

Даний план не є оптимальним. Побудуємо цикл з клітки (2;2), тому що Δ₂₂ <0.

Мінімальна кількість для клітин зі знаком «-» дорівнює 20 (в клітці (2;4). Перерозподіл призводить до того, що базисними змінними будуть: Х_13, Х_14, Х_21, Х_22, Х_{32 ,} Х_33.

bj аi	120	50	190	110
160	7	8	1 50	2 110
140	4 120	5 20	9	8
170	9	2 30	3 140	6

Х₂= ,

Z₂=50*1+110*2+120*4+20*5+30*2+140*3=1330 (грош.ум.од.).

Перевіримо план на оптимальність:

нехай U₁ = 0,

U₃ = 2,

U₂ = 5,

V₁ = -2,

V₂ = 0,

V₃ = 1,

V₄ = 2.

∆₁₁ = 8>0,

∆₁₂ = 8>0,

∆₂₃ = 3>0,

∆₂₄ = 1>0,

∆₃₁ = 8>0,

∆₃₄ = 2>0.

Всі оцінки позитивні, тому даний план є оптимальним.

5. Відповідь: Z_min = 1330 (грош.ум.од.)

X_opt = .

Література:

1. Зайченко О.Ю., Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. Збірник задач. – К.: Видавничий Дім «Слово», 2007. – 472с.

2. Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування. – К.: КНЕУ, 2005. – 452с.

3. Методичні вказівки до організації самостійної роботи та виконання контрольних робіт для студентів заочної форми навчання з дисципліни “Математичне програмування та дослідження операцій”. / Рудакова Г.В. – Херсон: ХНТУ, 2006. - 25с.