12 Оператор коор, имп и мом имп. Ф-я рассматр как оператор. Квант мех-ка постулативно обобщает получ результ на любые физ величины являющ-ся фун0ми координат и импульса: <F(x,p)>=∫Ψ*∙F^(x,p)Ψdx, F^=F(x^,p^) – оператор соотв ф-ии F. 1) x^=x, 2)p^_x=-ihd/dx, p^_y=-ihd/dy, p^_z=-ihd/dz. Собственные значения оператора импульса нах-ся из уравнения: p^_xΨ=p_xΨ, -ihdΨ/dx=p_xΨ, найдем собств знач и собст ф-ю оператора импульса: Ψ(x,t)=c(t)e^iP∙X/h, c – некот функ-я времени Ψ=c(t)e^ik∙x, k=2π/α=p/h. Попыт найти ф-ю c(t). Для этого расм общее ур-е Шредингера. ihdΨ/dt=-h²∙ΔΨ/2m+uΨ. Ψ(x,t)=c∙e^-iEt/h∙Ψ(x)= c∙e^-iwt∙Ψ(x)= c∙e^-i(wt-kx)_. Собствен функц операт импульса явл плоск волны. Спектр собств знач опер имп являет непр-ым, т.к. вероятн обнар к-либо знач импул независ ни от врем ни от коорд. <P>=∫Ψ*p^Ψdx=∫Ψ(-ih∙d/dx∙Ψ)dx=hk, операт мом-та имп-са: L_Z=-ihd/dφ

Собст знач L_Z нах-ся из ур-ия L^_ZΨ=L_ZΨ-ihdΨ/dt=L_ZΨ. Рассмотр теперь некотор общие св-ва операт примен в кван механике. Все опер кван мех явл-ся линейными. 1) f^(Ψ₁+Ψ₂)= f^Ψ₁+ f^Ψ₂,

2) f^(αΨ)= αf^(Ψ) Если расматр одновр действие в 2-х операт то рез-т их действия зависит от порядка применен. Если рез-т их действ от пор-ка не зависит то такие операт назыв коммутир-е. С физич т зрен это значит что собств знач опер-ов могут одновр иметь опред-е знач-е.

11. Операторный метод. Для предания законч формы связи с символом кв мех ??? набл величин примен так назыв операт метод. Под операт поним правило по средствам которого одной ф-е напр φ сопост другая ф-я f=Q^ φ, где Q^ - символич обозн операт. Δ=v²= d²/dx²+ d²/dy²+ d²/dz² – опер Лапласа, v=id/dx+jd/dy+kd/dz. – опер Набла. В простейшем случ опер представл собой умнож исходн ф-ии на нек другую. Q^=Q f=Q∙φ. Расмотр ур-е Шрединг: -h²ΔΨ/2m+uΨ=EΨ (-h²Δ/2m+u) Ψ=EΨ, H^Ψ=EΨ, H^=-h²Δ/2m+u – оператор гамельтона, Его смысл: оператор энергии, Е – собст знач оператора Гаммельтона. Операторы можно сопост и друг физич велич-ам: опер, коорд, мом имп, имп. Анал-но опер Гам можно ввести оператор соотв произвольн перем-ой g. Q^Ψ=gΨ. Расмотрим для пример задачу опред-я среднего знач-я коорд к-либо частицы. Предположим, что многокр измерен коорд в один микроск усл-ях дает знач x. Сост-е частицы в каждом опыте хар-ся волновой ф Ψ(x), x Ψ(x). Тогда среднее знач коорд, к-рое будет найдено в рез-те измер можно представ в виде: <x>=∫xΨΨ*dx, где ΨΨ*dx- вер-ть того что частица будет обнар-на в инт-ле от x до x+dx. <v>=∫vdN/N, dN – число молекул имеющ скор-ть в инт-леот v до v+dv, dN/N=dP – вер-ть того что молек имеет ск-ть в данном инт-ле. При этом мы полагаем что выполн-ся условие нормировки (∫ΨΨ*dx=1), <x>=∫x^ΨΨ*dx, x^ - оператор координаты (x^=x) равен самой коорд-те. Сов-но аналогично выч-ся средн знач любых ф коорд. <f(v)>= ∫f(v)dN/N, <f(x)>= ∫Ψ*f^(x)Ψdx.

10 Прим ур Шред к H₂ Расмитрим систему с зарядом ядра +Ze и электрон с зарядом –е. U(x)=-kZee/r, коэф пропор-ти в Cu: k=1/4TE₀, ΔΨ+2mΨ (E-U)/h²=0, ΔΨ+2m(E+kZee/r)Ψ=0 (ee=e²) Волн-я функ-я в общем сл зависит от 3-х простр-х коорд. Естественно в данном случае расматр-ть не дикарт а сферич сист коорд.

Расм частный случай, когда волн-я ф-я е в атоме сферич симметр, тюею завис только от раст от ядра. Такой случай не предусм старой теории Бора, там орбиты были

плоские. Но в кван мех-ке нет представл в дв-ии по орбитам, => и нет препядствий для реализации сферич симметр сост-ий. φ(r,θ,u), Δ=v²=(d/r²dr)(r²d/dr)+ Ф(θ,φ,d/dθ,d/dφ)/r² – радиальная и угловая части опер-ра лапласа. d/r²dr(r²dΨ/dr)+Ф(Ψ)/r²+2m/h²((E+kZe²/r)Ψ=0. Найдем собств ф и собств значен эн. Т.к. е не может нах-ся в ядре => r<>0, то сущ-ет сост-е в кот-м е нах-ся наиб близко к ядру. Это сост обладает наим энерг. (d/r²dr)(r²dΨ/dr)= -2m/h²(E+kZe²/r)Ψ, В качестве решения попробуем для начала взять просто экспоненту: Ψ(r)=e^-r/r(0), 1/r²(r²/r₀²-2r/r₀)= -2m/h²(E+kZe²/r), 2/r₀=2mZe²k/h² r₀=h²/mkZe², 1/r₀²= -2mE/h²  E= -h²/2mr₀²= -k²Z²me⁴/2h²

9 Гармонич осчилятор.

F= -kx, U(x)=kx²/2, w²=k/m => U(x)=mw²x²/2, ΔΨ+2m(E+U)Ψ/h²=0 – стац ур-е Шред, d²Ψ/dx²+2m(E-mw²x²/2)Ψ=0, точное решение этого ур-я выражается ч/з полиномы Эрмита. Если x∞, то Ψ’’~x²Ψ, Ψ~e^-α(x∙x), α – параметр. Поэтому

попробуюм искать решение в виде Ψ=е^-αxx (Анюта, xx это x²), Ψ(-2α+4α²x²)=(-2mE/h²+m²w²x²/h²)Ψ Для того чтобы это было тождество при любых х, необх чтобы коэф, стоящ при один степенях х были одинаковы: -2α= -2mE/h², 4α²=m²w²/h²  E=αh²/m, α=mw/2h  E=mwh²/2mh => E₀=hw/2, Ψ₀(x)=exp(-mwx²/2h), легко убедится что Ψ₀ явл не единст реш-ем. Ψ₁(x)=xΨ₀, E₁=3hw/2. Квантовый осцилятор находящ-ся в квадратн потенц яме может находится в разл состоян характер набором волновых функций Ψ₀,Ψ₁,…,Ψ_n. Причем каждой волн ф соотв свое знач энер E. (Ψ_nE_n=(n+1/2)hw, состоян с n=0 назыв основное невозбужд с миним энерг. Остальные сост-я возб-е. ΔE=hw. При переходе осцилятора из одного сост-я в другое изменяется эн-я и происх либо испуск фатона либо его поглащ. Если переход соверш м/у соседн уровн то испуск фотон с энерг E=hw. Все это нах-ся в полном соотв с гипотезой Планка. ΔEΔt~h (ΔE это не ΔE=hw).

8 Граф спос опред энерг част. Рассмотр ур-е ktg(kl)=α. Если нам нужны не сами знач энерг а только каком хар-р уровня энерг(дискретный или непрер-ый) то можно найти его графич-кое решение. Для этого введем безразм-ые параметры, kl=ξ, αl=η => ξtgξ=η

ξ²+η²= -2mU₀l²/h²>0, координаты пересечения окр-ти и кривых дают значения. Видно что спектр уровней энерг дискретен(похоже на бесконечно глуб яму) число уровней энерг всегда конечно (а это уже не похоже на ∞ глуб яму). Число уровней конечно и опред-ся ее глубиной и шириной. В любой ситуац

сущ-ет хотябы 1 уровень энегрии его назыв нулевой. Расм случ с положит энерг. E>0,α=√(-2mE/h²) – было, α=iβ – стало. Ψ’’+k²Ψ=0, |x|<L(область внутри ямы); Ψ’’+β²Ψ=0, |x|>L (область вне ямы); Ψ=Asinkx+Bcoskx, |x|<L; Ψ=A’sinβx+B’cosβx, x<-L; Ψ=A’’sinβx+B’’cosβx, x>L; (здесь штрихи над А и В не производные) Для опред всехэтих констант необх-мо слить волновые ф-ии на границе ямы и их производн. Но при этом значения А и В могут принимать любые знач => A’’,B’’,A’,B’ так же имеют непрерывн значения т.е. мы не наклад никаких огран-ий на знач энерг. А это значит что при Е>0 энерг не квантуется. Энерг спектр непрерывен. Волн ф-я не стремится к 0 при x±∞, т.е. движ частицы не огранич-но

7 Квантов част в потенц яме кон глуб.

Расм случай когда полная энерг отриц. -U₀<E<0, Ψ’’+2mΨ(E-U₀)/h²=0, |x|<L; Ψ’’+2mΨE/h²=0, |x|>L; 2mΨ(E-U₀)/h²=k²>0; -2mE/h²=α²>0, Ψ’’+k²Ψ=0 – ур-е для области внутри

ямы Ψ’’-α²Ψ=0 – вне ямы, Ψ(x)=Asinkx+Bsinkx, |x|<L; Ψ(x)=ce^-αx, x>L; Ψ(x)=De^αx, x<-L; из сообр симметрии (относит-но 0) следует что плотность вер-ти Ψ² должна быть симм ф-е относ x=0. 1) A=0 – четная ф-я. 2) В=0 – нечетная ф-я, C²=D² либо С=D, либо C=-D. Постоян АВСD опред из граничных усл-ий

Наша задача опред пост АВСD кот-ые опред-т собств волн-е ф-ии. Найдем возможные значения энергии. Это система лин-х однор ур-ий отн-но АВСD. Для того чтобы такая система имела ненул решен необх чтобы ее опред=0

Эти условия не могут быть удовлетв одновр т.к. k²=-α². Таким образом для опред-я энерг необх решить ур-е ktgkl=α ему соотв решение с четной волн ф-ей либо kctgkl=-α ему соотв ре с нечетн волн функ-ей.

6 Кван част в ∞ глуб яме

Ψ’’+2mΨ(E-U)/h²=0, 0<x<L, Ψ’’+2mΨE/h²=0, Ψ’’+kΨ=0, Ψ(x)=asin(kx+α), x=0 Ψ=0  asinα=c α=0, x=L Ψ=0 asinkL=c kL=±nπ.

Ψ_n(x)=asin(nπ/L)x, Из условия нормировки следует что ^L∫₀|Ψ|²dx=1, a²∫sin²(nπ/L)xdx=1

K²=2mE/h²=> E=k²h²/2m, E_n=π²h²n²/2mL². Энергия дискретна.

Эти уровни не эквивистальны(расст м/у ними неодинак)