13 Пространств
квантование.
При реш-ии задачи о частице в пот-ой яме
мы имеем дело с 1 координ. Это привело
к появл 1-го квантового числа. В атоме
Н2
е дв-ся в трехмерном простр-ве (имеет 3
степени свободы) поэтому следует ожидать
что должны появ 3 квант числа. xΨN,
x,y,zΨNLM,
n-главн
квант число. 2 других квант числа (l,m)
связаны с квантованием момента импульса
е. LZ
– проекция момента имп-са, L^ZΨ=LZΨ,
LZ
– пост-е значение L^Z=
-ih∙d/dφ,
-ih∙dΨ/dφ=LZΨ,
Ψ=eαφ,
α=iLZ/h,
Ψ=exp(iΨLZ/h).
Т.к. волн ф-я должна быть однозн по узлу
то необх выполн услов-е Ψ(φ)=Ψ(φ+2π) это
будет вып-но при усл-ии LZ/h=m
(m=0,1,2...),
LZ=mh(*).
Проекц момен имп на выдел в пр-ве напр-е
приним квантованные значения кратные
пост планка. m
– магнитн квант число. Очевидно что
эсли квантуется проекция мом имп то
квантуется и само знач-е L.
Ll=(√l(l+1))h
Очев-но что max
знач магн квант числа m
будет равно l,
т.е max
m=l,
поэтому очевидн что LZ<L.
Их нер-во обозн что напр вект момента
имп не может совпад ни с одним выделен
в простр напр-ем. Пусть l=2L=h√6
Из (*) вытек что пост планка можно расм
как естеств еденицу момент импульса.
Опыт Штерна и Герлаха:
Момент
имп-са е связан с его движ-ем, а это
приводит к появл магн момента LPM
Неоднор маг поле действ на магн мом PM
с силой пропорционально самому моменту
F
~ PM
Если квантуется момент имп-са то автомат
квант и магн момент т.е. атомы
должны
отклон-ся в м.п. дискретно. Это набл Шт
и Г. В этих опытах использ шарик из 1-ой
гр. т. М. наход-ся в основн сост-ии
n=1l=0!!!
Простр квант какого момента имп было
обнар-но? Для объясн этого рез-та и
других ученые выдвин гипот что е имеет
собств(несвяз с орбит движ-ем механич
и магн момент) Этот мом имп назв СПИН.
LS=h√S(S+1),
S
– спиновое квант число. LsZ=mSh.
12
Оператор коор, имп и мом имп. Ф-я
рассматр как оператор. Квант мех-ка
постулативно обобщает получ результ
на любые физ величины являющ-ся фун0ми
координат и импульса: <F(x,p)>=∫Ψ*∙F^(x,p)Ψdx,
F^=F(x^,p^)
– оператор соотв ф-ии F.
1) x^=x,
2)p^x=-ihd/dx,
p^y=-ihd/dy,
p^z=-ihd/dz.
Собственные значения оператора импульса
нах-ся из уравнения: p^xΨ=pxΨ,
-ihdΨ/dx=pxΨ,
найдем собств знач и собст ф-ю оператора
импульса: Ψ(x,t)=c(t)eiP∙X/h,
c
– некот функ-я времени Ψ=c(t)eik∙x,
k=2π/α=p/h.
Попыт найти ф-ю c(t).
Для этого расм общее ур-е Шредингера.
ihdΨ/dt=-h2∙ΔΨ/2m+uΨ.
Ψ(x,t)=c∙e-iEt/h∙Ψ(x)=
c∙e-iwt∙Ψ(x)=
c∙e-i(wt-kx).
Собствен функц операт импульса явл
плоск волны. Спектр собств знач опер
имп являет непр-ым, т.к. вероятн обнар
к-либо знач импул независ ни от врем ни
от коорд. <P>=∫Ψ*p^Ψdx=∫Ψ(-ih∙d/dx∙Ψ)dx=hk,
операт мом-та имп-са: LZ=-ihd/dφ
Собст
знач LZ
нах-ся из ур-ия L^ZΨ=LZΨ-ihdΨ/dt=LZΨ.
Рассмотр теперь некотор общие св-ва
операт примен в кван механике. Все опер
кван мех явл-ся линейными. 1) f^(Ψ1+Ψ2)=
f^Ψ1+
f^Ψ2,
2) f^(αΨ)=
αf^(Ψ)
Если расматр одновр действие в 2-х операт
то рез-т их действия зависит от порядка
применен. Если рез-т их действ от пор-ка
не зависит то такие операт назыв
коммутир-е. С физич т зрен это значит
что собств знач опер-ов могут одновр
иметь опред-е знач-е.
11.
Операторный метод.
Для предания законч формы связи с
символом кв мех ??? набл величин примен
так назыв операт метод. Под операт поним
правило по средствам которого одной
ф-е напр φ сопост другая ф-я f=Q^
φ, где Q^
- символич обозн операт. Δ=v2=
d2/dx2+
d2/dy2+
d2/dz2
– опер Лапласа, v=id/dx+jd/dy+kd/dz.
– опер Набла. В простейшем случ опер
представл собой умнож исходн ф-ии на
нек другую. Q^=Q
f=Q∙φ.
Расмотр ур-е Шрединг: -h2ΔΨ/2m+uΨ=EΨ
(-h2Δ/2m+u)
Ψ=EΨ,
H^Ψ=EΨ,
H^=-h2Δ/2m+u
– оператор гамельтона, Его смысл:
оператор энергии, Е – собст знач
оператора Гаммельтона. Операторы можно
сопост и друг физич велич-ам: опер,
коорд, мом имп, имп. Анал-но опер Гам
можно ввести оператор соотв произвольн
перем-ой g.
Q^Ψ=gΨ.
Расмотрим для пример задачу опред-я
среднего знач-я коорд к-либо частицы.
Предположим, что многокр измерен коорд
в один микроск усл-ях дает знач x.
Сост-е частицы в каждом опыте хар-ся
волновой ф Ψ(x),
x
Ψ(x).
Тогда среднее знач коорд, к-рое будет
найдено в рез-те измер можно представ
в виде: <x>=∫xΨΨ*dx,
где ΨΨ*dx-
вер-ть того что частица будет обнар-на
в инт-ле от x
до x+dx.
<v>=∫vdN/N,
dN
– число молекул имеющ скор-ть в инт-леот
v
до v+dv,
dN/N=dP
– вер-ть того что молек имеет ск-ть в
данном инт-ле. При этом мы полагаем что
выполн-ся условие нормировки (∫ΨΨ*dx=1),
<x>=∫x^ΨΨ*dx,
x^
- оператор координаты (x^=x)
равен самой коорд-те. Сов-но аналогично
выч-ся средн знач любых ф коорд. <f(v)>=
∫f(v)dN/N,
<f(x)>=
∫Ψ*f^(x)Ψdx.
10
Прим ур Шред к H2
Расмитрим систему с зарядом ядра +Ze
и электрон с зарядом –е. U(x)=-kZee/r,
коэф пропор-ти в Cu:
k=1/4TE0,
ΔΨ+2mΨ
(E-U)/h2=0,
ΔΨ+2m(E+kZee/r)Ψ=0
(ee=e2)
Волн-я функ-я в общем сл зависит от 3-х
простр-х коорд. Естественно в данном
случае расматр-ть не дикарт а сферич
сист коорд.
Расм частный
случай, когда волн-я ф-я е в атоме сферич
симметр, тюею завис только от раст от
ядра. Такой случай не предусм старой
теории Бора, там орбиты были
плоские.
Но в кван мех-ке нет представл в дв-ии
по орбитам, => и нет препядствий для
реализации сферич симметр сост-ий.
φ(r,θ,u),
Δ=v2=(d/r2dr)(r2d/dr)+
Ф(θ,φ,d/dθ,d/dφ)/r2
– радиальная и угловая части опер-ра
лапласа. d/r2dr(r2dΨ/dr)+Ф(Ψ)/r2+2m/h2((E+kZe2/r)Ψ=0.
Найдем собств ф и собств значен эн. Т.к.
е не может нах-ся в ядре => r<>0,
то сущ-ет сост-е в кот-м е нах-ся наиб
близко к ядру. Это сост обладает наим
энерг. (d/r2dr)(r2dΨ/dr)=
-2m/h2(E+kZe2/r)Ψ,
В качестве решения попробуем для начала
взять просто экспоненту: Ψ(r)=e-r/r(0),
1/r2(r2/r02-2r/r0)=
-2m/h2(E+kZe2/r),
2/r0=2mZe2k/h2
r0=h2/mkZe2,
1/r02=
-2mE/h2
E=
-h2/2mr02=
-k2Z2me4/2h2
F=
-kx,
U(x)=kx2/2,
w2=k/m
=> U(x)=mw2x2/2,
ΔΨ+2m(E+U)Ψ/h2=0
– стац ур-е Шред, d2Ψ/dx2+2m(E-mw2x2/2)Ψ=0,
точное решение этого ур-я выражается
ч/з полиномы Эрмита. Если x∞,
то Ψ’’~x2Ψ,
Ψ~e-α(x∙x),
α
– параметр. Поэтому
попробуюм
искать решение в виде Ψ=е-αxx
(Анюта, xx
это x2),
Ψ(-2α+4α2x2)=(-2mE/h2+m2w2x2/h2)Ψ
Для того чтобы это было тождество при
любых х, необх чтобы коэф, стоящ при
один степенях х были одинаковы: -2α=
-2mE/h2,
4α2=m2w2/h2
E=αh2/m,
α=mw/2h
E=mwh2/2mh
=> E0=hw/2,
Ψ0(x)=exp(-mwx2/2h),
легко убедится что Ψ0
явл не единст реш-ем. Ψ1(x)=xΨ0,
E1=3hw/2.
Квантовый осцилятор находящ-ся в
квадратн потенц яме может находится в
разл состоян характер набором волновых
функций Ψ0,Ψ1,…,Ψn.
Причем каждой волн ф соотв свое знач
энер E.
(ΨnEn=(n+1/2)hw,
состоян с n=0
назыв основное невозбужд с миним энерг.
Остальные сост-я возб-е. ΔE=hw.
При переходе осцилятора из одного
сост-я в другое изменяется эн-я и происх
либо испуск фатона либо его поглащ.
Если переход соверш м/у соседн уровн
то испуск фотон с энерг E=hw.
Все это нах-ся в полном соотв с гипотезой
Планка. ΔEΔt~h
(ΔE
это
не ΔE=hw).
8
Граф спос опред энерг част.
Рассмотр ур-е ktg(kl)=α.
Если нам нужны не сами знач энерг а
только каком хар-р уровня энерг(дискретный
или непрер-ый) то можно найти его
графич-кое решение. Для этого введем
безразм-ые параметры, kl=ξ,
αl=η
=> ξtgξ=η
ξ2+η2=
-2mU0l2/h2>0,
координаты пересечения окр-ти и кривых
дают значения. Видно что спектр уровней
энерг дискретен(похоже на бесконечно
глуб яму) число уровней энерг всегда
конечно (а это уже не похоже на ∞ глуб
яму). Число уровней конечно и опред-ся
ее глубиной и шириной. В любой ситуац
сущ-ет
хотябы 1 уровень энегрии его назыв
нулевой. Расм случ с положит энерг.
E>0,α=√(-2mE/h2)
– было, α=iβ
– стало. Ψ’’+k2Ψ=0,
|x|<L(область
внутри ямы); Ψ’’+β2Ψ=0,
|x|>L
(область вне ямы); Ψ=Asinkx+Bcoskx,
|x|<L;
Ψ=A’sinβx+B’cosβx,
x<-L;
Ψ=A’’sinβx+B’’cosβx,
x>L;
(здесь штрихи над А и В не производные)
Для опред всехэтих констант необх-мо
слить волновые ф-ии на границе ямы и их
производн. Но при этом значения А и В
могут принимать любые знач =>
A’’,B’’,A’,B’
так же имеют непрерывн значения т.е. мы
не наклад никаких огран-ий на знач
энерг. А это значит что при Е>0 энерг
не квантуется. Энерг спектр непрерывен.
Волн ф-я не стремится к 0 при x±∞,
т.е. движ частицы не огранич-но
Расм
случай когда полная энерг отриц. -U0<E<0,
Ψ’’+2mΨ(E-U0)/h2=0,
|x|<L;
Ψ’’+2mΨE/h2=0,
|x|>L;
2mΨ(E-U0)/h2=k2>0;
-2mE/h2=α2>0,
Ψ’’+k2Ψ=0
– ур-е для области внутри
ямы
Ψ’’-α2Ψ=0
– вне ямы, Ψ(x)=Asinkx+Bsinkx,
|x|<L;
Ψ(x)=ce-αx,
x>L;
Ψ(x)=Deαx,
x<-L;
из сообр симметрии (относит-но 0) следует
что плотность вер-ти Ψ2
должна быть симм ф-е относ x=0.
1) A=0
– четная ф-я. 2) В=0 – нечетная ф-я, C2=D2
либо С=D,
либо C=-D.
Постоян АВСD
опред из граничных усл-ий
Наша
задача опред пост АВСD
кот-ые опред-т собств волн-е ф-ии. Найдем
возможные значения энергии. Это система
лин-х однор ур-ий отн-но АВСD.
Для того чтобы такая система имела
ненул решен необх чтобы ее опред=0
Эти
условия не могут быть удовлетв одновр
т.к. k2=-α2.
Таким образом для опред-я энерг необх
решить ур-е ktgkl=α
ему соотв решение с четной волн ф-ей
либо kctgkl=-α
ему соотв ре с нечетн волн функ-ей.
Ψ’’+2mΨ(E-U)/h2=0,
0<x<L,
Ψ’’+2mΨE/h2=0,
Ψ’’+kΨ=0,
Ψ(x)=asin(kx+α),
x=0
Ψ=0
asinα=c
α=0,
x=L
Ψ=0
asinkL=c
kL=±nπ.
Ψn(x)=asin(nπ/L)x,
Из условия нормировки следует что
L∫0|Ψ|2dx=1,
a2∫sin2(nπ/L)xdx=1
K2=2mE/h2=>
E=k2h2/2m,
En=π2h2n2/2mL2.
Энергия
дискретна.
Эти уровни не
эквивистальны(расст м/у ними неодинак)
9 Гармонич осчилятор.
7 Квантов част в потенц яме кон глуб.
6 Кван част в ∞ глуб яме