Лабораторные работы по численным методам / 6 / ОТЧЕТ №6

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации  ФГБОУ ВПО «ПГСХА им. Академика Д.Н. Прянишникова»

Кафедра информационных технологий и автоматизированного проектирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

Разностный аналог первой и второй производной

Вариант №2

Выполнил:

Студент гр.ПИб-21а Вятченин Александр

Проверил: Профессор каф. ИТАП М.Г. Бояршинов

Пермь 2015

Задание

Вычислить приближенное значение первой и второй производной функции

в точке с помощью разностных аналогов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Исследовать сходимость численно определяемых значений к точному значению и определить зависимость погрешности численного дифференцирования от шага h.

Выполнение расчетов

Для оценки точности разностных формул определяется первая производная заданной функции: 0,116897758.

Для выполнения расчетов принято:

Далее, для различных значений шага h определяются приближенные значения производных в соответствии с приведенными формулами.

Табл. 1. Зависимость погрешности численного определения значения первой производной f’ от сеточного шага h

h	d(f'\/)	d(f'/\)	d(f'-)
1,00E-02	0,08006819	0,08038054	0,1168860523
1,00E-03	0,00801557	0,00801869	0,1168976407
1,00E-04	0,00080169	0,00080172	0,1168977565
1,00E-05	8,0171E-05	8,0171E-05	0,1168977576
1,00E-06	8,0171E-06	8,017E-06	0,1168977576
1,00E-07	8,0331E-07	8,0207E-07	0,1168977576
1,00E-08	8,8326E-08	8,931E-08	0,1168977576
1,00E-09	6,7105E-08	6,7105E-08	0,1168977576
1,00E-10	1,5494E-07	1,5494E-07	0,1168977576
1,00E-11	8,7268E-06	8,7268E-06	0,1168977576
1,00E-12	0,0001023	0,00011975	0,1168977576
1,00E-13	0,00078588	0,00078588	0,1168977576
1,00E-14	0,00587546	0,00587546	0,1168977576

Рис. 1. Погрешности аппроксимации d\/(), d-() и d/\() по первой производной функции.

Для оценки точности разностных формул определяется вторая производная заданной функции:16,02008551.

Для выполнения расчетов принято:

Для различных значений шага h определяются приближенные значения производных.

Табл. 2 Погрешность вычисления значения производной f’’ от сеточного шага h.

h	d"
1,00E-02	0,024788
1,00E-03	0,014165
1,00E-04	0,014059
1,00E-05	0,01406
1,00E-06	0,013977
1,00E-07	0,033739
1,00E-08	1,743483
1,00E-09	16,02009
1,00E-10	16,02009
1,00E-11	16,02009
1,00E-12	2,22E+08
1,00E-13	16,02009
1,00E-14	16,02009

δ

h

Рис. 2 Погрешность аппроксимации второй производной

функции f(x)=1/sin4x разностным аналогом вблизи точки x=0,4.

Вывод.

1. Определены приближенные значения первой и второй производной заданной функции в указанной точке для различных шагов дифференцирования с использованием четырех формул.

2. С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения численного значения первой и второй производной уменьшается.

3. При очень малых сеточных шагах, , погрешности определения значения первой и второй производной возрастают, что связано с влиянием ошибок округления результатов счетов в ЭВМ.