6.2. Сущность теплопроводности

6.2.1. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности

Используя феноменологический путь исследования процесса распространения тепла в сплошной среде, французский ученый Б. Фурье в 1822 г. выдвинул гипотезу, которая в последующем была экспериментально подтверждена и получила название основного закона теплопроводности.

Тепловой поток, проходящий через элемент изотермической поверхности dF , пропорционален grad T:

, (6.4)

где – коэффициент пропорциональности.

Знак “минус” указывает на противоположные положительные направления теплового потока и градиента температуры.

Из выражения (6.4), учитывая, что , получим:

.

Следовательно, плотность потока есть вектор, направленный по нор-

мали к изотермической поверхности. Его положительное направление противоположно направлению grad T.

Скалярная величина вектора плотности теплового потока будет равна

. (6.5)

Уравнения (6.4) и (6.5) являются математическими выражениями основного закона теплопроводности.

Коэффициент пропорциональности учитывает влияние физических свойств вещества на интенсивность распространения теплоты в нем, его называют коэффициентом теплопроводности. За единицу принят Вт/(м К).

Числовое значение коэффициента теплопроводности определяет количество теплоты, проходящей через единицу изотермической поверх-носсти в единицу времени, при условии, что grad T = 1.

Величина зависит от химического состава, физического строения и состояния вещества. Для большинства материалов значение коэффициента теплопроводности определены опытным путем и приведены в справочных таблицах.

Теплопроводность в газах и парах обусловлена диффузионным переносом кинетической энергии движения молекул, поэтому коэффициенты теплопроводности для газов и паров малы. Так, например, для азота = 0,02 Вт/(м К) при Т = 273 К. Коэффициент теплопроводности для газов увеличивается с повышением температуры, а от давления практически не зависит.

В жидкостях перенос тепла теплопроводностью осуществляется путем упругих колебаний. Так как скорость распространения колебаний зависит от плотности, а последняя уменьшается с повышением температуры, то для жидкостей с ростом температуры падает. Исключение составляют глицерин и вода, для которыхс ростом температуры увеличивается.

Для металлов существенно выше, чем для жидкостей и газов. Так, например, у серебра приt = 0 ⁰C = 410 Вт/(м  К).

На коэффициент теплопроводности строительных и теплоизоляциных материалов оказывает влияние неоднородность материалов, их пористость.

Значения коэффициентов теплопроводности некоторых материалов приведены в табл. 9 и 10. Приложения

6.2.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для выявления сущности того или иного физического явления необходимо установить связь между параметрами, характеризующими его. В сложных процессах, где параметры изменяются в пространстве и времени, можно при определении этой связи использовать один из методов математической физики. Сущность этого метода состоит в том, что из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем dV, а процесс исследуется в ограниченный промежуток времени d. Значения dV и d, с математической точки зрения, принимаются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было рассматривать среду как сплошную. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса.

При решении задач, связанных с определением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности, т.е. такое уравнение, которое устанавливает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема.

Рассмотрим вывод этого уравнения. Выделим в однородном и изотропном теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz

(рис.6.2), который расположен так, что его грани параллельны соответствующим координатным плоскостям. С целью упрощения вывода уравнения предположим, что имеется одномерное (в направлении оси x ) температурное поле и что теплофизические свойства тела не зависят от координат и времени.

При выводе уравнения используется закон сохранения энергии, который для рассматриваемого случая устанавливает, что количество теплоты, подведенное к элементарному объему за время d, равно изменению его энтальпии. В выделенный объем через грань с координатой x за время d проходит dy dz d теплоты. Через противоположную грань от тела будет отводиться x+dx dy dz d теплоты. Разность этой энергии аккумулируется данным элементарным объемом. Следовательно, можно записать:

Рис. 6.2

_x dy dz d - _x+dx dy dz d = dx dy dz c_р, (6.6)

где ρ – плотность;

c_р – массовая теплоемкость при постоянном объеме;

–частная производная температуры по времени.

Величина _x+dх является неизвестной функцией координаты x. Разложим ее в ряд Тейлора и ограничимся двумя первыми членами ряда, в итоге будем иметь:

_x+dx = _x +.

С учетом полученного выражения равенство (6.6) приобретает вид:

После сокращения и подстановки выражения (6.5), записанного для одномерного температурного поля, получим:

или . (6.7)

Для выделенного параллелепипеда, имеющего трехмерное температурное поле, необходимо провести аналогичные операции вдоль осей y и z.

В итоге трехмерное температурное поле будет описываться дифференциальным уравнением вида:

(6.8)

Уравнение (6.8) называется д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е - н и е м т е п л о п р о в о д н о с т и для трехмерного нестационарного температурного поля. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке тела.

Величину называют коэффициентомтемпературопрводности. Коэффициент температуропроводности характеризует физическое свойство вещества и имеет единицу м²/с. В нестационарных тепловых процессах устанавливает скорость распространения изотерми- ческих поверхностей. Чем больше коэффициент температуропроводности, тем интенсивнее изменяется температура в теле. Численное значениеопределяют химический состав и состояние вещества, а также температура. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы прогреваются быстрее, так как они имеют большее значение. Определяют коэффициент температуропроводности экспериментальным путем, его значения для материалов приводятся в теплотехнических справочниках.

Полученное дифференциальное уравнение описывает процесс изменения температуры в системе в самом общем виде. При интегрировании его возможно бесчисленное множество решений, удовлетворяющих этому уравнению. Чтобы получить из множества решений одно частное, надо знать особенности явления, т.е. иметь дополнительные сведения о нем.

Эти дополнительные условия, которые вместе с дифференциальным уравнением однозначно определяют единичное явление, называют условиями однозначности.

Условия однозначности включают:

– геометрические условия, характеризующие форму и размер тела или системы;

– физические условия, которыми обладают тела данной системы (плотность, теплоемкость и т.д.);

– граничные условия, которые характеризуют взаимодействие системы с окружающей средой, т.е. условия протекания процесса на границе тела;

– временные условия, характеризующие протекание процесса в начальный момент времени.

Дифференциальное уравнение и приведенные четыре условия однозначности определяют конкретное единичное явление.

Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами.

Граничное условие первого (I) рода. При этом условии считается известной температура на поверхности тела в любой момент времени;

Граничное условие второго (II) рода. Здесь задается для любого времени значение плотности теплового потока в каждой точке поверхности тела;

Граничное условие третьего (III) рода. В этих условиях известны температура теплоносителя (окружающей тело среды) –T_m и коэффициента теплоотдачи α между поверхностью тела и теплоносителем. Граничное условие третьего рода записывается так:

Граничное условие четвертого (IY) рода предполагает наличие процесса теплообмена тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Считается, что между телами имеется идеальный контакт и температуры соприкасаемых поверхностей одинаковы. В этом случае имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения, т.е.

.