2. Лінійні електричні кола однофазного змінного струму

2.1. Окремі теоретичні положення

Миттєве значення ЕРС, що змінюється у часі по синусоїдному закону, має вигляд: деЕ_т – максимальне значення електрорушійної сили, – кутова частота, t – час (мить), в який визначається миттєве значення, , – фаза або фазний кут в момент часу t, дорівнює фазі в початковий момент (при t =0) і тому називається початковою фазою.

По такому самому закону будуть змінюватись викликані нею струми і напруги в вітках електричного кола.

В електричних колах змінного струму крім активних опорів присутні ще і реактивні (індуктивні і ємнісні) величини яких залежать від кутової частоти струму – ,.

Наявність в електричному колі реактивних опорів, індуктивності та ємності призводять до зсуву фаз між струмами та напругами, а саме – миттєва напруга на активному опорі дорівнює и= і·R і збігається по фазі із струмом. На індуктивності напруга випереджає струм на кут, а на ємності напругавідстає від струму на кут.

Якщо в вітках електричного кола присутні активні і реактивні опори, то перший та другий закони Кірхгофа в колах змінного струму можна застосовувати тільки для миттєвих значень, а розрахунок миттєвих значень струмів та напруг, навіть в простих колах, є досить громіздкою задачею.

При послідовному з’єднанні елементів в електричному колі, що містить активні та реактивні опори, діюче значення струму джерела розраховується по формулі:

,

де U – діюче значення напруги на затискачах джерела, Z, R_екв, X_екв – повний опір, еквівалентні активний та реактивний опори кола відповідно.

В колах з паралельним з’єднанням елементів струм джерела дорівнює:

де Y, g_екв, в_екв – повна провідність, еквівалентні активна та реактивна провідності кола відповідно.

Кут зсуву фаз між напругою та струмом джерела розраховується за формулами:

.

Активна потужність енергії – , Вт;

Реактивна потужність енергії – , ВАр;

Повна потужність – , ВА.

Баланс потужностей в електричному колі змінного струму має вигляд:

2.2. Символічний метод (метод комплексних амплітуд) розрахунку електричних кіл змінного струму

Розрахунок електричних кіл змінного струму спрощується, якщо синусоїдні величини зображувати векторами або комплексними числами.

Наприклад, електрорушійна сила, миттєве значення якої , рис 2.1,a, в прямокутній системі координат можна зобразити вектором – рис.2.1,б, довжина якого (згідно обраного масштабу) дорівнює максимальномуЕ_т (або діючому ) значенню ЕРС і який розташований відносно горизонтальної осі “x” під кутом початкової фази , причому додатні кути відкладаються проти, а від‘ємні – за напрямком руху годинникової стрілки .

Підставою для такого зображення є те, що якщо даний вектор обертати проти руху годинникової стрілки з кутовою швидкістю , то проекція такого вектора на вісь ординат “у” в кожний момент часу буде дорівнювати миттєвому значенню ЕРС,

Так само зображуються і решта синусоїдних величин в колі (струми, напруги), які викликані дією ЕРС Оскільки всі вектори при однаковій частоті будуть обертатися з однією і тією ж швидкістю, то їх взаємне розташування в часі не змінюється. Тому такі вектори можна розглядати в системі координат в певний момент часу, як правило при t=0, як сукупність нерухомих векторів, яка називається векторною діаграмою. Векторна діаграма дає змогу досить просто розраховувати електричні параметри в електричних колах графічним методом.

Але метод векторних діаграм, як і всі графічні методи особливо в складних колах, призводить до похибок в розрахунках.

Задача значно спрощується, якщо вісь “х” вважати віссю дійсних чисел, а вісь “у” віссю уявних чисел комплексної площини. Тоді на такій площині положення векторів можна зафіксувати комплексними числами, наприклад векторбуде відповідати комплексному числу, рис.2.1,в.

Так само комплексними числами зображуються і інші величини електричного кола, що змінюються в часі синусоїдно. Наприклад, вираз для діючого значення електрорушійної сили, що змінюється в часі синусоїдно в комплексній формі запису має вигляд.

Прояв електромагнітних явищ, які обумовлюються реактивними елементами кола (зсув по фазі між струмом та напругою), в символічному методі врахований, а саме, спад напругина індуктивному опоріпомножується на оператор повороту на 90^˚, тобто на j = , а спад напруги на ємнісному опорі необхідно помножити на оператор. Тоді напруги на індуктивності та ємності в символічному методі записуються яківідповідно. В цих виразах множникитає реактивними опорами індуктивності та ємності, що записані в комплексній формі.

Такі символічні зображення величин, що змінюються в часі синусоїдно, та зображення опорів комплексними числами дають можливість співвідношення між синусоїдними величинами та інтегро-диференціальні рівняння, складені за законами Кірхгофа в колах змінного струму, замінити простими алгебраїчними співвідношеннями комплексних чисел або рівняннями з комплексними коефіцієнтами. Після такої заміни в символічній формі запису виконуються необхідні розрахунки, а потім, якщо необхідно, виконують зворотній перехід до оригіналів, тобто до записів виразів миттєвих значень величин.

Докладніше розрахунок параметрів електричних кіл змінного струму розглянемо на конкретних прикладах №4 і №5.

Приклад №.4

Послідовно з конденсатором, ємність якого С=318,47 мкФ, включені дві котушки індуктивностей з параметрами L₁=0,034 Гн, R₁= 3 Ом, L₂= 25,92 мГн, R₂=1 Ом.

До даного електричного кола підведена напруга, миттєве значення якої .Необхідно накреслити схему електричного кола та розрахувати:

– діюче значення струму;

– діюче значення напруг на окремих елементах кола;

– повну, активну та реактивну потужності електричної енергії, що споживаються електричним колом;

– побудувати векторну діаграму струму та напруг;

– записати вираз миттєвих значень струму.

Схема електричного кола згідно умови задачіпредставлена на рис.2.2.

Аналізуючи умову задачі, з’ясовуємо, що кутова частота підведеної напруги (див. запис миттєвого значення напруги) = 314 рад/сек. На такій частоті опори реактивних елементів електричного кола дорівнюють:

Ом;

Ом;

Ом.

Зверніть увагу, що при розрахунках опорів величини ємності та індуктивностей переводяться в основні одиниці виміру згідно системи СІ (С – [Ф], L – [Гн]).

Розрахунок простих електричних кіл, а дане коло є просте, можна виконати так:

За законом Ома діюче значення струму , деU –діюче значення підведеної напруги, а Z_екв – еквівалентний опір електричного кола.

Діюче значення напруги дорівнює

В.

Еквівалентний опіp при послідовному з’єднанні елементів розраховується за формулою:

Тоді діюче значення струму дорівнює:

А

Але за цим методом необхідно окремо розраховувати ще й кут зсуву між струмом і напругою, який залежить від характеру загального опору.

.

Оскільки загальний опір кола має активно-індуктивний характер, то струм буде відставати від напруги на кут .

Вираз для миттєвого значення струму:

.

Активна потужність, що споживається електричним колом, розраховується за формулою:

= 110·11,38·cos = 518,12Вт.

Реактивна потужність:

= 110·11,38·sin65,55˚ = 1138,542 ВАр.

Повна потужність:

= 110·11,38 = 1251,8 ВА.

Ці самі потужності розраховуються ще і за такими формулами:

Для побудови векторної діаграми необхідно розрахувати по закону Ома діючі значення спадів напруг на окремих елементах електричного кола:

U_C=I·X_C =11,38·10 = 113,8 B;

U_R1=I·R₁ =11,38·3 = 34,14 B;

U_L1=I·X_L1 =11,38·10,7 = 121,76 B;

U_R2=I·R₂ =11,38·1 = 11,38 B;

U_L2=I·X_L2 =11,38·3,14 = 35,73 B

Векторну діаграму будуємо в такій послідовності:

1. Орієнтуючись на числові значення струму та спадів напруг вибираємо масштаби для векторів струму та напруг:

– 1см. довжини вектора струму буде відповідати 2 А,

– 1см. довжини векторів напруг буде відповідати 20В.

2. На площині довільно креслимо вісь дійсних чисел відносно якої під кутом -35,55˚( що відповідає -35˚33^’) в напрямку руху годинникової стрілки відкладаємо вектор струму . Довжина вектора в вибраному для струму масштабі дорівнює 5,69 см.

3 Відносно вектора струму відкладаємо вектора спадів напруг на окремих елементах електричного кола. Вектор напруги на ємності орієнтують під кутом 90˚ відносно вектора струму в сторону відставання. Вектора напруг на активних опорах співпадають по напрямку з вектором струму, а вектори спадів напруг на індуктивностяхвипереджають вектор струмуна кут 90˚.В результаті складання векторів напруг:

=

отримаємо вектор загальної напруги , який буде розташований під кутом 30^˚ проти руху годинникової стрілки і довжина якого в вибраному для напруги масштабі буде дорівнювати 5,5 см.

Векторна діаграма має вигляд як на рис.2.3.

Приклад 5

Задачу, яка задана в прикладі №4, розрахуємо символічним методом.

Якщо застосувати символічний метод, то розрахунок зводиться до таких дій над комплексними числами:

1. Записуємо комплексним числом діюче значення напруги, миттєве значення якої

.

2. Опори елементів кола також зображуємо комплексними числами.

Опір ємності ;

Повні комплексні опори котушок індуктивностей та

3. Еквівалентний опір кола в символічному зображенні має вигляд

=.

4. Діюче комплексне значення струму визначається за формулою

=.

Вираз миттєвого значення струму має вигляд: .

5. Комплексна потужність розраховується за формулою:

В цьому виразі дійсна частина комплексного числа дорівнює величині активної потужності, а уявна частина – величині реактивної потужності.

Приклад №6

Параметри електричного кола, яке зображене на рис.2.4, задані у вигляді комплексних чисел:

Необхідно:

– накреслити принципову схему електричного кола;

– розрахувати комплексні струми в вітках електричного кола і записати вирази їх миттєвих значень;

– скласти і розрахувати баланс потужностей в електричному колі;

– побудувати векторну діаграму струмів та топографічну діаграму напруг.

Аналізуючи вирази опорів, записаних в символічній формі, приходимо до висновку, що в ділянці кола «ab» паралельно між собою включені резистор з активним опором R₁= 34Ом та ідеальна котушка індуктивності, індуктивний опір якої X_L2=8,5Ом а ділянка електричного кола «вс» складається із двох паралельно включених віток, кожна з яких має активні і реактивні елементи. В одній із віток послідовно включені резистор з опором R₃ = 2 Ом та конденсатор з реактивним ємнісним опором X_С3=5 Ом і відповідно в іншій паралельній вітці включені R₄ =3 Ом та X_L4 =4 Ом.

Отже схема електрична принципова буде мати вигляд як на рис.2.5.

Дане електричне коло є простим, оскільки в ньому присутнє тільки одне джерело напруги. Такі кола, як правило, розраховуються шляхом еквівалентних перетворень схеми і зведенням її до одного еквівалентного опоруZ_екв, рис.2.6.

В електричному колі, яке складається тільки із джерела струму та одного еквівалентного опору (рис.2.6,б) струм І₁ розраховується по закону Ома. Оскільки розрахунки будемо виконувати символічним методом то закон Ома записується так:

,

де - еквівалентний комплексний опір кола , яке складається із двох послідовно включених ділянок кола „аb” та „bс”.

Тому=+, де,

.

Загальний еквівалентний комплексний опір електричного кола дорівнює:

=+= 2+j8 +5,268-j0,346= 7,268+j7,654 = 10,555e^j46,48.

При виконанні розрахунків доцільно операції „додавання” та „віднімання” комплексних чисел виконувати в алгебраїчній формі запису, а при множенні та діленні комплексних чисел переводити комплексні числа в показникову форму. Як виконується перехід від однієї форми запису до іншої викладено в додатку № 1 в теоретичних відомостях про комплексні числа.

Отже діюче комплексне значення струму в нерозгалуженій частині кола дорівнює:

=

Величини струмів в паралельних вітках можна визначати різними шляхами. Наводимо один із них.

Розраховуємо напруги на паралельних вітках між вузлами «a» і «b» та «b» і «с». Згідно рис 7

.

Тоді струми в паралельних вітках розраховуються за законом Ома для окремих ділянок електричного кола:

;

Перевірку правильності розрахунку можна виконати по I закону Кірхгофа або по балансу потужностей.

Рівняння, складені по першому закону Кірхгофа для вузлів «а» і «b» даного кола, мають вигляд:

Наприклад,що приблизно дорівнює значенню струму, розрахованому по закону Ома для еквівалентної схеми. Допустима похибка розрахунку дорівнює 3%.

Виконавши розрахунок кола символічним методом визначаємо діючі значення струмів в вітках:

I = 12,032 A, І₁ =2,917 А, І₂ =11,672 А, I₃ = 11,797 A, I₄ = 12,706 A.

Оскільки максимальне значення струму , то вирази миттєвих значень струмів мають вигляд:

;

;

.

Повна потужність енергії, яку джерело віддає в електричне коло, в символічному методі розраховується за формулою:

,

де вираз струму , що спряжений виразу.

= 127e ^j0 ·12,032е^+j46,481 = 1528,064 e ^j46,481.

Якщо даний вираз комплексної потужності перевести в алгебраїчну форму, то дійсна частина комплексної потужності буде дорівнювати активній потужності, а уявна частина - реактивній потужності.

1528,064 e ^j46,481 = 1052,217 + j1108,069.

З іншого боку, активна потужність, яка використовується споживачами дорівнює

Р =І_k²·R_k = I₁² ·R₁ + I₃² ·R₃₊ + I₄² ·R ₄ = 2,917² ·34 + 11,797²·2 + 12,706²·3 = 289,302+278,338 + 484,327 = 1052 Вт,

а реактивна потужність, яка використовується споживачами

Q =І_k²·X_k = I₂² ·X_L2- I₃² ·X_C3 + I₄² ·X_L4 = 11,672² ·8,5 - 11,797²·5 + 12,706²·4 = 1108 ВАр.

Приклад розрахований правильно. Похибка розрахунку складає менше дозволених 3%.

Наприклад:

Побудова векторної діаграми

Перед побудовою векторної діаграми необхідно розрахувати діючі значення спадів напруг на окремих елементах кола (по закону Ома).

U_R1 = U_L1= I₁·R₁= I₂·X_L2=2,917∙34 = 11,672·8,5=99,2 B;

U_С3 = I₃·X_С3= 11,797∙5 = 58,98 B;

U_R3 = I₃·R₃= 11,797∙2 = 23,59 В

U_L4 = I₄·X _L4= 12,706∙4 = 50,82 B;

U_R4 = I₄·R₄= 12,706∙3 = 38,12 В

Побудову векторної діаграми (рис.2.7) виконуємо в такому порядку:

1.Проаналізувавши величини діючих значень струмів та напруг вибираємо зручні для побудови масштаби, а саме: 1 см. довжини вектора струму відповідає 2 А, а 1см. довжини вектора напруги відповідає 10 В.

2.На площині в довільному напрямку (як правило, горизонтально ) креслимо вісь дійсних чисел. Приймемо потенціал вузла „с” електричного кола рівним нулю і позначимо його на осі дійсних чисел V_с=0. З точки „с” відкладаємо вектор вхідної напруги. Оскільки початкова фаза заданої вхідної напруги дорівнює нулю, то вектор вхідної напруги, довжина якого в вибраному масштабі дорівнює 12,7 см, буде співпадати по напрямку з віссю дійсних чисел.

3.Відносно осі дійсних чисел, а в даному випадку відносно вектора вхідної напруги, будуємо в вибраному масштабі вектор загального струму та вектора струмів. Кути зсуву між вхідною напругою і струмами записаний в виразах миттєвих значень відповідних струмів. Наприклад, згідно результату розрахунку, струмІ відстає від напруги на кут і тому вектор струму креслимо під кутомвідносно вектора напруги в напрямку руху годинникової стрілки. СтрумІ₁ випереджає напругу на кут і тому вектор струму креслимо в сторону проти руху годинникової стрілки відносно вектора напруги. Аналогічно під відповідними кутами, які зазначені в виразах миттєвих значень струмів, креслимо на векторній діаграмі вектора струмів. Після побудови усіх векторів струмів доцільно графічно перевірити І закон Кірхгофа для вузлів «а» і « b».

4.Потім будуємо, в вибраному для напруги масштабі, векторну діаграму спадів напруг. Рекомендується при побудові векторів напруг обхід в контурі або на ділянці кола вибирати проти напрямку струму в вітках і відкладати вектора спадів напруг на елементах кола в тій самій послідовності, в якій відповідні елементи розташовані в електричному колі. Тоді кінець кожного вектора спаду напруги на комплексній площині буде відповідати потенціалу відповідних точок електричного кола.

Починаємо побудову векторної діаграми від вузла „с” електричного кола.

Оскільки напруги на активних опорах співпадають по фазі із струмами, які протікають по відповідних опорах, а напруги на реактивних опорах випереджають або відстають (залежно від характеру реактивного опору) на кут від своїх струмів, то вектор напруги_R2 креслимо співпадаючим із вектором струму , а вектор_C2 креслимо під кутом 90^˚ до вектора струму в сторону руху годинникової стрілки. Сума векторів_R2 та _C2 дорівнює вектору спаду напруги між точками схеми “b” та “с” , тобто _сb . Цей самий вектор _сb можна отримати шляхом побудови векторів _R3 та _L3, але при побудові вектор _R3 креслимо співпадаючим із струмом ₃, а вектор спаду напруги на індуктивності _L3 під кутом 90^˚ до струму₃ проти руху годинникової стрілки.

Згідно другого закону Кірхгофа в даному колі, загальна напруга дорівнює векторній сумі спадів напруг = _аb + _сb . Тому із точки “b” діаграми креслимо вектор спаду напруги на індуктивності _Ш1 під кутом 90˚ до вектора струму ₁ а потім креслимо вектор напруги на активному опорі _R1, який повинен бути паралельним (співпадаючим) вектору струму ₁ і нарешті вектор спаду напруги на ємності _C1 , який креслимо під кутом 90˚ в сторону відставання від вектора струму ₁, тобто в напрямку руху годинникової стрілки.

В результаті побудови діаграми даного кола отримали вектор загальної напруги , довжина якого в масштабі повинна дорівнювати 127В і співпадати з віссю дійсних чисел, оскільки в висхідних даних загальна напруга дорівнює