1.1. Розрахунок простих кіл постійного електричного струму

При розв’язуванні задач з простими електричними колами, які мають тільки одне джерело живлення, доцільно використовувати метод еквівалентного перетворення електричного кола з метою його спрощення.

При послідовному з’єднанні резисторів еквівалентний опір розраховується по формулі:

,

де n - кількість послідовно з’єднаних резисторів.

При паралельному з’єднанні резисторів еквівалентна провідність буде дорівнювати:

,

де m - кількість паралельно з’єднаних резисторів, а еквівалентний опір:

.

При мішаному з’єднанні резисторів еквівалентний опір електричного колаR_екв знаходять поступовим спрощенням схеми і еквівалентним перетворенням, тобто “згортанням” її до одного еквівалентного опору. Тоді струм джерела можна розрахувати за законом Ома

Приклад 1

В електричному колі, схема якого зображена на рис.1.1 відомі значення опорів резисторів R₁ =5,6 Ом, R₂ =4 Ом_, R₃ =6 Ом, R₄ =5,4Ом,

R₅ =7 Ом і R₆ =5 Ом та електрорушійна сила (ЕРС) Е = 63 В.

Розрахувати струми в вітках кола і перевірити баланс потужностей. .

Аналіз і розв`язок

1. Спростимо схему електричного кола до одного еквівалентного опору відносно затискачів джерела живлення.

Схема спрощується за допомогою заміни групи послідовно або паралельно з`єднаних резисторів одним еквівалентним опором. Так групу резисторів першої вітки, де R₂ та R₃, які з’єднані між собою паралельно, і послідовно приєднаного до них резистора R₁., можна замінити одним резистором з еквівалентним опором R₁₂₃ , який розраховується за формулою .

В іншій вітці кола резистори R₅ і R₆ з’єднані послідовно. Їх еквівалентний опір дорівнює арифметичній сумі опорів R₅₆ = R₅ + R₆ =12 Ом.

Після проведених перетворень розрахункова схема кола приймає вигляд, показаний на рис.1.2, де еквівалентні опори та R₅₆ з’єднані між собою паралельно і приєднані до вузлів «a» і «d».

Еквівалентний опір всього кола відносно затискачів джерела енергії «с» і «d» розраховується за формулою:

.

Струм І₄ в нерозгалуженій частині даної схеми визначається по закону Ома:

Для того, щоб розрахувати струми І₁ та І₅ необхідно спочатку знайти напругу між вузлами «a» і «d».

За ІІ законом Кірхгофа Е = І₄ R₄+U_ad звідки U_ad =Е - І₄ R₄ =63 - 8,4·2,7 = 40,32 В.

Тоді струми у вітках І₁ та І₅ можна розрахувати по закону Ома

; .

Аналогічно розраховуються струми I₂ та I₃ , тобто розраховують спочатку величину напруги а потім за законом Ома струми в паралельних вітках. Для розрахунку струмів у паралельних вітках можна користуватись ще і таким правилом: струм в одній із паралельних віток дорівнює загальному струму цих віток помноженому на опір іншої вітки (сусідньої) і поділеному на суму опорів обох віток.

; .

Для перевірки рішення можна користуватися рівняннями складеними за першим законом Кірхгофа ,або рівнянням балансу потужностей, який для схеми, зображеної на рис1.1 має вигляд:

Р_дж.= Р_сп

Потужність джерела Р_дж = Е І₄ =63·8,4 =529,2 Вт

Потужність споживачів дорівнює

.=.

Потужність енергії, яку генерує джерело, повинно дорівнювати арифметичній сумі потужностей споживачів. Відносна похибка розрахунку не повинна бути більшою 3%.

Приклад 2

В електричних колах досить часто потрібно розрахувати зворотну задачу, коли значення ЕРС невідоме, а задано один із електричних параметрів кола, наприклад, величина напруги, струму або потужність на одному із елементів електричного кола.

Наприклад, в електричному колі (рис.1.1) в попередньому прикладі задано: потужність енергії P₃, яка споживається резистором R₃ та значення опорів резисторів R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆. Знайти величину ЕРС Е.

В цьому випадку порядок розрахунку буде таким:

1.Потужність енергії, що споживається резистором R₃ розраховується за формулою, звідки знаходимо значення струмуІ₃: .

2. Величину напруги на резисторі R₃ визначаємо за законом Ома: .

3. Оскільки резистори R₃ та R₂ приєднані до одних і тих же вузлів «b» і «d», тобто з’єднані паралельно, то величина напруги U₂ = U_bd =U_3. Тоді величина струму І₂ також розраховується за законом Ома: .

4.Величину струму в нерозгалуженій частині вітки І₁ можна визначити склавши рівняння за І законом Кірхгофа для вузла «b»: .

5 Величину напруги між вузлами «a» і «d» можна в даному випадку розрахувати одним із двох способів:

а) за законом Ома: ;

в) за ІІ законом Кірхгофа: .

Далі порядок розрахунку електричного кола не відрізняється від порядку приведеного в прикладі 1.

1.2. Розрахунок складних кіл постійного електричного струму

При розрахунках задач, що мають складне електричне коло, тобто розгалужене коло з декількома джерелами живлення, які розташовані в різних вітках, використовують методи, в основу яких покладені закон Ома та закони Кірхгофа

Класичним методом розрахунку таких кіл є метод рівнянь Кірхгофа, в якому безпосередньо використовуються І та ІІ закони Кірхгофа.

Всі інші методи розрахунку являються вихідними із цих фундаментальних законів електротехніки

До таких методів належать:

– метод контурних струмів;

– метод вузлових потенціалів;

– метод накладення;

– метод еквівалентного генератора та інші.

Розглянемо класичний метод рівнянь Кірхгофа на конкретному прикладі.

Метод рівнянь Кірхгофа

Для електричного кола, що складається з m - віток, n - вузлів, число невідомих струмів дорівнює числу віток і для їх визначення необхідно скласти m рівнянь по першому та другому законами (правилами) Кірхгофа.

Рекомендуємо дотримуватись такого порядку розрахунку:

а) довільно обрати і позначити на схемі стрілками додатній напрямок струмів у всіх вітках (₁, ₂, ₃, ..., _m) і напрямки обходу контурів

б) для n-1 вузлів скласти рівняння по першому закону Кірхгофа;

в) для m-(n-1) взаємно незалежних контурів скласти по другому закону Кірхгофа.

В результаті отримуємо систему, яка складається з m рівнянь з m невідомими. Знаходження числових значень невідомих виконується будь-яким математичним методом розрахунку системи алгебраїчних рівнянь (метод Жордана- Гауса, метод Крамера та інші).

Приклад 3

Для електричного кола (рис1.3) знайти струми у всіх вітках класичним методом рівнянь Кірхгофа, якщо: R₁=13 Ом, R₂=5 Ом, R₃=2 Ом, R₄=8 Ом, R₅=11 Ом, R₆=15 Ом, Е₁=20 В, Е₂ =8 В, Е₃=6 В.

Для електричного кола, схема якого зображена на рис 1.3, скласти систему рівнянь за законами Кірхгофа. Загальна кількість рівнянь повинна дорівнювати кількості невідомих струмів.

Довільно вибираємо додатні напрямки струмів І₁, І₂, І₃, І₄, І₅, І₆, у вітках і позначаємо їх стрілками. Для даного електричного кола необхідно скласти шість рівнянь.

Кількість рівнянь, які складають за першим законом Кірхгофа, повинна бути на одиницю менше ніж кількість вузлів.

При складанні рівнянь враховуємо, що струми, які направлені до вузла, записуються в рівняннях з одним знаком (наприклад з «+»), а ті що від вузла з протилежним знаком.

Для вузлів “а”, “в”, “с” складаємо три рівняння за першим законом Кірхгофа:

Решту три рівняння складаємо за другим законом Кірхгофа. Для цього довільно вибираємо три незалежних контури і напрямки обходу в цих контурах.

Напрямки обходу вибираємо за рухом годинникової стрілки. і позначаємо круглими стрілками.

Складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа:

для контура авса:

для контура асда:

для контура свдс:

Отже для розрахунків струмів у схемі (рис.2.1) методом законів Кірхгофа необхідно скласти шість рівнянь і знайти шість невідомих струмів.

Після складання рівнянь необхідно підставити числові значення висхідних даних і привести систему рівнянь до нормального вигляду.

В матричній формі запису система рівнянь має вигляд:

Після розрахунку системи рівнянь будь яким математичним методом отримаємо:

І₁ = 0,972 А;

І₂ = - 0,462 А;

І₃ = - 1,434 А;

І₄ = 0,209 А;

І₅ = 0,671 А;

І₆ = 0,763 А.

Єдиною незручністю в цьому методі є необхідність складання і розрахунок великої кількості (рівною кількості невідомих) рівнянь.

Розрахунок балансу потужностей

Рівняння балансу потужностей для складної схеми буде мати вигляд:

, де к - порядковий номер вітки, n – кількість джерел в електричному колі, m – кількість віток.

Алгебраїчна сума потужностей всіх джерел енергії повинна дорівнювати арифметичній сумі потужностей всіх споживачів енергії. При цьому, якщо напрямок струму співпадає з напрямком дії ЕРС, потужність джерела необхідно рахувати додатньою і записувати в рівнянні із знаком “+”. У протилежному випадку цю потужність рахують відємною і записують із знаком “-“.

Запишемо для цього кола рівняння балансу потужностей:

Відносна похибка розрахунку складає

, що менше дозволеної 3% похибки.