Модели сетевого планирования и управления

Пример.

Рассчитать временные параметры сетевого графика:

Решение

К основным параметрам сетевого графика относятся: продолжительность выполнения всего проекта (продолжительность критического пути), время свершения событий, сроки начала и окончания отдельных работ и их резервы времени.

Вначале рассчитываем ранний срок t_p ( j) cвершения событий j ( j = 1, 10) – самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, или, иными словами, самый длинный предшествующий событию путь.

Для исходного события ранний срок свершения полагаем равным нулю (t_p (1) = 0). Ранний срок любого последующего события j (вычисления выполняем строго в порядке возрастания номеров событий) определяется как наибольшая сумма ранних сроков свершения каждого предшествующего события и продолжительности работы, связывающей предшествующее событие с j–м:

t_p (2) = t_p (1) + t (1, 2) = 0 + 4 = 4,

t_p (3) = max (t_p (2) + t (2, 3); t_p (1) + t (1, 3)) = max (4 + 3; 0 + 8) = 8,

t_p (4) = max (t_p (3) + t (3, 4); t_p (1) + t (1, 4)) = max (8 + 2; 0 + 9) = 10,

t_p (5) = max (t_p (2) + t (2, 5); t_p (3) + t (3, 5)) = max (4 + 5; 8 + 2) = 10,

t_p (6) = max (t_p (5) + t (5, 6); t_p (3) + t(3, 6); t_p (4) + t (4, 6)) =

= max (10 + 4; 8 + 5; 10 + 8) = 18,

t_p (7) = max (t_p (6) + t (6, 7); t_p (4) + t (4, 7)) = max (18 + 2; 10 + 6) = 20,

t_p (8) = max (t_p (5) + t (5, 8); t_p (6) + t (6, 8)) = max (10 +8; 18 + 3) = 21,

t_p (9) = max (t_p (8) + t (8, 9); t_p (6) + t (6, 9); t_p (7 + t (7, 9)) =

= max (21 +6; 18 +5; 20 +2) = 27,

t_p (10) = max (t_p (9) + t (9, 10); t_p (7) + t (7, 10)) = max (27 +5; 20 + 3) = 32.

Итак, критическое время выполнения проекта (минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта) – 32 временные единицы.

Затем вычисляем поздний срок t_n ( j) свершения событий, j ( j = 1, 10) – самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием. t_n ( j) можно трактовать и как наибольшее время, до которого можно отсрочить выполнение последующих за событием j работ без увеличения критического времени проекта.

Для завершающего события поздний срок свершения полагаем равным раннему сроку свершения (критическому времени выполнения проекта):

t_n (10) = t_p (10) = 32.

Для любого другого события j (вычисления выполняются строго в порядке убывания номеров событий) t_n( j) определяется как минимум из разностей, уменьшаемым в которых является поздний срок свершения непосредственно следующего события, а вычитаемым – продолжительность работы между j–м событием со следующим:

t_n (10) = 32; t_n (9) = t_n (10) – t (9, 10) = 32 – 5 = 27,

t_n (8) = t_n (9) – t (8, 9) = 27 – 6 = 21,

t_n (7) = min (t_n (10) – t (7, 10); t_n (9) – t (9, 10)) = min (32 – 3; 27 – 2) = 25,

t_n (6) = min (t_n (7) – t (6, 7); t_n (9) – t (6, 9); t_n (8) – t (6, 8)) =

         = min (25 – 2; 27 – 5; 21 – 3) = 18,

t_n (5) = min (t_n (6) – t (5, 6); t_n (8) – t (5, 8)) = min (18 – 4; 21 – 8) = 13,

t_n (4) = min (t_n (7) – t (4, 7); t_n (6) – t (4,6)) = min (25 – 6; 18 – 8) = 10,

t_n (3) = min (t_n (4) – t (3, 4); t_n (6) – t (3, 6); t_n (5) – t (3, 5)) =

         = min (10 – 2; 18 – 5; 13 – 2) = 8,

t_n (2) = min (t_n (3) – t (2, 3); t_n (5) – t (2, 5)) = min (8 – 3; 13 – 5) = 4,

t_n (1) = min (t_n (4) – t (1, 4); t_n (3) – t (1, 3); t_n (2) – t (1, 2)) =

         = min (10 – 9; 8 – 8; 5 – 4) = 0.

Вычисляем резервы времени событий R( j) как разность между поздним и ранним сроками свершения события: R( j) = t_n( j) – t_p( j).

Для расчета сроков свершения событий и их резервов времени вычисления производятся непосредственно на сетевом графике, используя четырехсекторную схему:

Находим критический путь. В него включаем работы, соединяющие события с нулевым резервом времени. Определение критического пути начинается с завершающего события.

Окончательно имеем следующий график (критический путь выделен жирной линией):

Определяем временные параметры работ – ранние и поздние сроки начала и окончания работ, полный и свободный резервы времени.

Ранний срок начала работы (I, j) равен раннему сроку свершения события i : t_p,H(I, j) = t_p(I ).

Ранний срок окончания работы (I, j) равен сумме раннего срока свершения начального события работы и ее продолжительности: t_p,о(I, j) = t_p(I ) + t(I, j ) = t_p,H (I, j) + t(I, j).

Поздний срок начала работ (I, j) равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью работы: t_n,H (I, j) = t_n( j) – t( I, j ) = t_n,о(I, j) – t(I, j).

Полный резерв времени работы (I, j) – максимально возможный запас времени, на который можно увеличить продолжительность работы или отсрочить начало ее выполнения при условии, что весь комплекс работ будет завершен в критический срок: R_n(I, j) = t_n( j) – t_p(i) – t(I, j ).

Свободный резерв времени работы (I, j) – максимальный запас времени, на который можно увеличить продолжительность работы или отсрочить начало ее выполнения при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: R_c(I, j) = = t_p( j) – t_p(i) – t(I, j).

Результаты вычислений сведем в таблицу:

Работа	Продолжительность	Ранние сроки			Поздние сроки			Резервы времени
		tp,н(I, j)	tp,о(I, j)	tn,н(I, j)		tn,о(I, j)	Rn(I, j)		Rc(I, j)
(1, 2)	4	0	4	1		5	1		0
(1, 3)	8	0	8	0		8	0		0
(1, 4)	9	0	9	1		10	1		1
(2 ,3)	3	4	7	5		8	1		1
(2, 5)	5	4	9	8		13	4		1
(3, 4)	2	8	10	8		10	0		0
(3, 6)	5	8	13	13		18	5		5
(3, 5)	2	8	10	11		13	3		0
(4, 6)	8	10	18	2		18	0		0
(4, 7)	6	10	16	19		25	9		4
(5, 6)	4	10	14	14		18	4		4
(5, 8)	8	10	18	13		21	3		3
(6, 8)	3	18	21	18		21	0		0
(6, 9)	5	18	23	22		27	4		4
(6, 7)	2	18	20	23		25	5		0
(7, 9)	2	20	22	25		27	5		5
(7, 10)	3	20	23	29		32	9		9
(8, 9)	6	21	27	21		27	0		0
(9, 10)	5	27	32	27		32	0		0

Задачи

Рассчитать временные параметры сетевого графика:

1

2

3

4

5