Системы массового обслуживания (смо)

Пример 1. В типографию с тремя множительными аппаратами поступают заказы на размножение документации. Если все аппараты заняты, то вновь поступивший заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом составляет 30 минут. Интенсивность поступающих заявок – 1,5 заявки в час. Определить показатели эффективности работы типографии.

Решение

По условию задачи число каналов обслуживания n = 3, число мест в очереди m = 0, т. е. имеем трехканальную СМО с отказами. Интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки / час), интенсивность потока обслуживания µ = = 2 (заявок / час), относительная нагрузка на систему ρ = == 0,75 =.

Составим граф состояний СМО:

Вычислим значения дробей относительной интенсивности переходов, которые имеются на графической модели:

Вероятность свободного состояния СМО (вероятность того, что пришедшая заявка застанет систему свободной) вычисляется по формуле

ρ₀ = (1 + d₁ + d₁d₂ + d₁d₂d₃ + … + d₁d₂ … d_r)^–1,

или

ρ₀ = (1 + d₁ + d₁d₂ + d₁d₂d₃)^–1 =

=

Вероятность отказа равна:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

А = λ · = 1,5 · 0,967 = 1,450 (заявок / час).

Среднее число занятых каналов:

Окончательно отказ получают 3,3% заказов, обслуживаются 96,7% заказов. В среднем занято менее одного множительного аппарата, техническая оснащенность типографии излишняя.

Задачи

Определить показатели эффективности работы СМО с отказами.

1. n = 1; λ = 3,2; µ = 4,0;

2. n = 2; λ = 1,4; µ = 0,9;

3. n = 3; λ = 5; µ = 1;

4. n = 4; λ = 8; µ = 3;

5. n = 5; λ = 2; µ = 0,4.

Пример 2. В стоматологическом кабинете 2 кресла, а в коридоре три стула для ожидания. Поток клиентов – 6 пациентов в час, среднее время обслуживания одного пациента – 90 минут. Если все стулья в коридоре заняты, то пациент не становится в очередь. Проанализировать СМО.

Решение.

По условиям задачи n = 2,m = 3,

Составим граф состояний СМО:

Запишем значения дробей относительной интенсивности переходов:

Вероятность свободного состояния:

Остальные вероятности состояний СМО определим по рекуррентной формуле

Среднюю длину очереди определим как математическое ожидание ее целочисленных ненулевых случайных значений

Lq = 1 · ρ₃ + 2 · ρ₄ + 3 · ρ₅ =

= 1 · 0,0384 + 2 · 0,1729 + 3 · 0,7781 = 2,718.

Вероятность отказа совпадает с вероятностью наиболее загруженного состояния

Вероятность обслуживания

Абсолютная пропускная способность СМО

А = λ · = 0,222 · 6 = 1,332.

Среднее число обслуживаемых пациентов

Среднее число заявок в системе (пациентов, находящихся на лечении в креслах и в очереди)

По формулам Литтла находим среднее время:

– нахождения заявки в очереди (время ожидания в коридоре)

– пребывания заявки в системе (время нахождения пациента в очереди и на лечении)

Окончательно: кабинет обслуживает 22% обратившихся, или 1,33 пациента в час. В очереди находится 2,72 пациента, на лечении – 1,998 пациента, всего пациентов 2,72 + 1,998 = 4,72. В очереди приходится ждать 2,04 часа, всего на посещение врача уходит 3,54 часа. Отказ получают 78% обратившихся.

Задачи

Проанализировать эффективность работы следующих СМО:

1. n = 1; m = 1; λ = 5; µ = 6,3;

2. n = 2; m = 1; λ = 0,5; µ = 0,2;

3. n = 2; m = 2; λ = 4; µ = 1,5;

4. n = 3; m = 1; λ = 9; µ = 3;

5. n = 3; m = 2; λ = 0,2; µ = 0,01.