Системы массового обслуживания (смо)
Пример 1. В типографию с тремя множительными аппаратами поступают заказы на размножение документации. Если все аппараты заняты, то вновь поступивший заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом составляет 30 минут. Интенсивность поступающих заявок – 1,5 заявки в час. Определить показатели эффективности работы типографии.
Решение
По условию задачи число каналов обслуживания n = 3, число мест в очереди m = 0, т. е. имеем трехканальную СМО с отказами. Интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки / час), интенсивность потока обслуживания µ = = 2 (заявок / час), относительная нагрузка на систему ρ = == 0,75 =.
Составим граф состояний СМО:
Вычислим значения дробей относительной интенсивности переходов, которые имеются на графической модели:
Вероятность свободного состояния СМО (вероятность того, что пришедшая заявка застанет систему свободной) вычисляется по формуле
ρ0 = (1 + d1 + d1d2 + d1d2d3 + … + d1d2 … dr)–1,
или
ρ0 = (1 + d1 + d1d2 + d1d2d3)–1 =
=
Вероятность отказа равна:
Относительная пропускная способность:
Абсолютная пропускная способность:
А = λ · = 1,5 · 0,967 = 1,450 (заявок / час).
Среднее число занятых каналов:
Окончательно отказ получают 3,3% заказов, обслуживаются 96,7% заказов. В среднем занято менее одного множительного аппарата, техническая оснащенность типографии излишняя.
Задачи
Определить показатели эффективности работы СМО с отказами.
n = 1; λ = 3,2; µ = 4,0;
n = 2; λ = 1,4; µ = 0,9;
n = 3; λ = 5; µ = 1;
n = 4; λ = 8; µ = 3;
n = 5; λ = 2; µ = 0,4.
Пример 2. В стоматологическом кабинете 2 кресла, а в коридоре три стула для ожидания. Поток клиентов – 6 пациентов в час, среднее время обслуживания одного пациента – 90 минут. Если все стулья в коридоре заняты, то пациент не становится в очередь. Проанализировать СМО.
Решение.
По условиям задачи n = 2,m = 3,
Составим граф состояний СМО:
Запишем значения дробей относительной интенсивности переходов:
Вероятность свободного состояния:
Остальные вероятности состояний СМО определим по рекуррентной формуле
Среднюю длину очереди определим как математическое ожидание ее целочисленных ненулевых случайных значений
Lq = 1 · ρ3 + 2 · ρ4 + 3 · ρ5 =
= 1 · 0,0384 + 2 · 0,1729 + 3 · 0,7781 = 2,718.
Вероятность отказа совпадает с вероятностью наиболее загруженного состояния
Вероятность обслуживания
Абсолютная пропускная способность СМО
А = λ · = 0,222 · 6 = 1,332.
Среднее число обслуживаемых пациентов
Среднее число заявок в системе (пациентов, находящихся на лечении в креслах и в очереди)
По формулам Литтла находим среднее время:
– нахождения заявки в очереди (время ожидания в коридоре)
– пребывания заявки в системе (время нахождения пациента в очереди и на лечении)
Окончательно: кабинет обслуживает 22% обратившихся, или 1,33 пациента в час. В очереди находится 2,72 пациента, на лечении – 1,998 пациента, всего пациентов 2,72 + 1,998 = 4,72. В очереди приходится ждать 2,04 часа, всего на посещение врача уходит 3,54 часа. Отказ получают 78% обратившихся.
Задачи
Проанализировать эффективность работы следующих СМО:
n = 1; m = 1; λ = 5; µ = 6,3;
n = 2; m = 1; λ = 0,5; µ = 0,2;
n = 2; m = 2; λ = 4; µ = 1,5;
n = 3; m = 1; λ = 9; µ = 3;
n = 3; m = 2; λ = 0,2; µ = 0,01.