Матричные игры

Пример 1. Два игрока, независимо друг от друга, записывают целые числа от двух до пяти включительно. Пусть x – число, записанное первым игроком, y – вторым. Если частное , то первый игрок получаетx · y единиц выигрыша; если же , то он платит второму игроку x + y единиц. Составить платежную матрицу и найти решение игры.

Решение

Каждый из игроков располагает четырьмя вариантами поведения – чистыми стратегиями (запись одной из цифр 2, 3, 4, 5). Платежная матрица будет состоять из 4 строк (строки соответствуют стратегиям первого игрока) и 4 столбцов (столбцы соответствуют стратегиям второго игрока).

Если оба игрока записывают цифру 2, то , второй игрок получает 2 + 2 единиц выигрыша (первый игрок проигрывает 4 единицы) и соответствующий элемент платежной матрицы равен (–4). Если же первый игрок записал 3, а второй 2, то , первый получает 3 ⋅ 2 = 6 единиц (второй 6 единиц проигрывает). Соответствующий элемент платежной матрицы равен 6. Продолжая так и далее, окончательно получим следующую платежную матрицу:

	B1	B2	B3	B4
A1	–4	–5	–6	–7
A2	6	–6	–7	–8
A3	8	12	–8	–9
A4	10	15	20	–10

Находим чистые цены игры. Нижняя чистая цена 𝛼 находится из условия:

(a_ij – элементы платежной матрицы), значит

𝛼 = max (–7, –8, –9, –10) = –7.

Аналогично, верхняя чистая цена игры определяется из условия:

Нижней чистой цене игры соответствует максиминная стратегия А₁, верхней чистой цене игры соответствует минимаксная стратегия В₄.

Так как чистые цены игры совпадают, то 𝛼 = 𝛽 =  = –7, где  – чистая цена игры. Игроки обязаны придерживаться своих максиминной и минимаксной стратегий, так как в противном случае первый игрок может просто проиграть более 7 единиц, а второй игрок вместо выигрыша в 7 единиц может проиграть 10, 15, 20 единиц.

Задачи:

Найти решение игр, представленных платежными матрицами:

1

2

3

4

5

Пример 2. Найти решение матричной игры, заданной платежной матрицей:

Решение

Проведем упрощение платежной матрицы. Так как элементы первой и четвертой строки совпадают, то соответствующие чистые стратегии (А₁ и А₄) являются дублирующими. Одну из них можно исключить из рассмотрения (например, А₁) а значит, исключить и первую строку платежной матрицы. Все элементы пятой строки меньше соответствующих элементов второй строки, т. е. стратегия А₂ доминирует над стратегией А₅. Стратегию А₅ и пятую строку матрицы не рассматриваем:

Так как элементы 3-го столбца не превосходят соответствующие элементы 1-го столбца, элементы 5-го столбца не превосходят элементы 2-го столбца, элементы 5-го столбца не превосходят элементы 6-го столбца, то стратегия B₁ доминируется стратегией B₃, стратегия B₂ доминируется стратегией B₅, стратегия B₆ доминируется стратегией B₅. Вычеркиваем в платежной матрице первый, второй и шестой столбцы. Окончательно имеем следующую платежную матрицу:

Нижняя чистая цена игры:

Верхняя чистая цена игры:

Чистые цены игры не совпадают, значит, игра не имеет решения в чистых стратегиях.

Находим смешанные стратегии игроков путем сведения матричной игры к задаче линейного программирования. Задачи линейного программирования для нашей платежной матрицы имеют вид:

f = x₁ + x₂ + x₃  min;  = y₁ + y₂ + y₃  max;

4x₁ + 2x₂  1; 4y₁ + 2y₂ + 2y₃  1;

2x₁ + 5x₂ + 2x₃  1; 2y₁ + 5y₂  1;

2x₁ + 5x₃  1; 2y₂ + 5y₃  1;

x_i  0, i = 1, 2, 3. y_i  0, i = 1, 2, 3.

Решая данные задачи, например, с помощью компьютерной программы «Поиск решения», получим:

f = 0,398;      x₁ = 0,216;      x₂ = 0,068;       x₃ = 0,114.

 = 0,398;     y = 0,102;       y₂ = 0,159;       y₃ = 0,136.

Цену игры и оптимальные смешанные стратегии для игроков находим из соотношений:

p₁ =  · x₁ = 0,543;     p₂ =  · x₂ = 0,171;

p₃ =  · x₃ = 0,286;

q₁ =  · y₁ = 0,257;     q₂ =  · y₂ = 0,4;     q₃ =  · y₃ = 0,343.

Окончательно, с учетом того, что в процессе упрощения платежной матрицы были исключены стратегии A₁, A₅, B₁, B₂, B₆, оптимальные смешанные стратегии таковы:

p = (0; 0,543; 0,171; 0,286; 0);

q = (0; 0; 0,257; 0,4; 0,343; 0),

при этом оба игрока достигнут цены игры, равной 2,514.

Задачи

Найти решение игр, представленных платежными матрицами:

1    

2    

3    

4    

5    

Пример 3. Объем реализации прохладительных напитков летом зависит от характера погоды и составляет 20 т в прохладный день, 25 т в обычный день и 30 т в жаркий день. Прибыль от реализации 1 т напитков равна 1,5 млн руб. Заказ дополнительного количества товара требует 2 млн руб. за 1 т напитков. Если же запасенный товар не удалось реализовать, то затраты на хранение составляют 1 млн руб. Придав описанной ситуации игровую форму, дать обоснованные рекомендации об оптимальном уровне запаса товара, обеспечивающем наивысшую эффективность работы.

Решение

Данная игра является статистической, так как один из участников игры (природа) не заинтересован в исходе игры. Природа предоставляет игроку три стратегии: П₁ – прохладная погода, П₂ – обычная погода, П₃ – жаркая погода. Три стратегии имеет и заинтересованный игрок: А_i – заказать товар в расчете на состояния природы П_i, i = 1, 2, 3.

Составляем платежную матрицу:

	П1	П2	П3
А1	20 ⋅ 1,5 = 30	25 ⋅ 1,5 – 5 ⋅ 2 = 27,5	30 ⋅ 1,5 – 10 ⋅ 2 = 25
А2	20 ⋅ 1,5 – 5 ⋅ 1 = 25	25 ⋅ 1,5 = 37,5	30 ⋅ 1,5 – 5 ⋅ 2 = 35
А3	20 ⋅ 1,5 – 10 ⋅ 1 = 20	25 ⋅ 1,5 – 5 ⋅ 1 = 32,5	30 ⋅ 1,5 = 45

Согласно критерию Вальда, оптимальной стратегией статистика считается обычная максиминная стратегия, т. е. та, для которой обеспечивается максимин . В нашем случае𝛼 = max (25, 25, 20) = 25 и оптимальными являются стратегии А₁ и А₂.

Для использования критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков: в каждом столбце выбираем наибольший элемент и из него вычитаем все элементы данного столбца.

	П1	П2	П3
А1	30 – 30 = 0	37,5 – 27,5 = 10	45 – 25 = 20
А2	30 – 25 = 5	37,5 – 37,5 = 0	45 – 35 = 10
А3	30 – 20 = 10	37,5 – 32,5 = 5	45 – 45 = 0

Согласно критерию Сэвиджа, оптимальной считается стратегия, для которой минимизируется максимальный риск, т. е. достигается .

В нашем примере min (20, 10, 10) = 10, и оптимальными являются стратегии А₂ и А₃.

Оптимальной по критерию Гурвица считается стратегия, для которой выполняется условие:

Если λ = 0,5, то max (0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 30; 0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 37,5; 0,5 ⋅ 20 + 0,5 ⋅ 45) = max (27,5; 31,25; 32,5) = 32,5 и оптимальной считается стратегия А₃.

Задачи

Решить статистические игры, используя критерии Вальда, Гурвица и Сэвиджа:

1    

2    

3    

4    

5