- •Серия «Высшее образование»
- •Содержание
- •Раздел I 9
- •Раздел II 227
- •Раздел III. Контрольно-аттестационный 239
- •Предисловие
- •Раздел I Теоретико-концептуальный и естественноисторический
- •1. Принципы, методы и философские концепции науки и естественнонаучного познания
- •1.1. Определение науки и естествознания как отрасли науки
- •1.2. Наука и ненаука. Принципы или критерии научности
- •1.3. Структура, эмпирический и теоретический уровни и цель естественнонаучного познания
- •1.4. Методы научного познания
- •1.5. Философия науки и динамика научного познания в концепциях к. Поппера, т. Куна и и. Лакатоса
- •1.6. Основные этапы развития научной рациональности (науки) - классический, неклассический и постнеклассический
- •Вопросы для обсуждения
- •2. Генезис основных концептуальных понятий современного естествознания античными и средневековыми цивилизациями.
- •2.1. Роль и значение мифов в становлении науки и естествознания
- •2.2. Античные ближневосточные цивилизации
- •2.3. Античная Эллада (Древняя Греция)
- •2.4. Античный Рим
- •2.5. Античный Китай
- •2.6. Античная Индия
- •2.7. Арабское средневековье
- •2.8. Древняя Месоамерика — естествознание народа майя
- •2.9. Древние и средневековые Византия и Русь
- •2.10. Западноевропейское средневековье
- •2.11. Эпоха Возрождения
- •Вопросы для обсуждения
- •3. Концепции и принципы классического физического – механистического и термодинамического естествознания
- •3.1. Объекты физического познания и структура физических наук
- •3.2. Концепции предклассического механистического естествознания
- •3.3. Ньютоновы принципы классического механистического естествознания
- •3.4. Энергия, теплота, закон сохранения энергии и первое начало (принцип) термодинамики
- •3.5. Понятие качества энергии, энтропия, второе начало (принцип) термодинамики и принцип минимума производства энтропии
- •4. Концепции и принципы неклассического - полевого, квантового и квантово-полевого физического естествознания
- •4.1. Электромагнитное поле фарадея-Максвелла, электромагнитное взаимодействие и принципы специальной теории относительности - теории пространства-времени Эйнштейна и Минковского
- •4.2. Поле всемирного тяготения, гравитационное взаимодействие и постулаты общей теории относительности Эйнштейна - теории пространства, времени, материи, тяготения и движения
- •4.3. Концепции и принципы квантового естествознания
- •4.4. Квантово-полевой микромир сильного и слабого взаимодействий, принципы квантовой хромодинамики и систематики элементарных частиц
- •5. Фундаментальные принципы и обобщенные положения современного физического естествознания
- •5.1. Концепции пространство и время
- •5.2. Принципы относительности движения — классический, релятивистский и к средствам наблюдения
- •5.3. Концепции корпускулярности, континуальности и корпускулярно-волнового дуализма
- •5.4. Концепции симметрии, инвариантности и законы сохранения
- •5.5. Концепции физического вакуума
- •5.6. Основополагающие принципы и понятия физического естествознания
- •5.7. Физическое естествознание как целостная система знаний
- •6. Космологические и космогонические концепции естествознания о Вселенной
- •6.1. Вселенная как понятие и объект познания
- •6.2. Планеты, звезды, галактики и их структуры во Вселенной
- •6.3. Начало космологии, фридмановские космологические модели, разбегание галактик и расширение Вселенной
- •6.4. Космогоническая гипотеза Леметра, гипотеза Гамова «горячей сингулярности», «большой взрыв» и ранние эпохи образования Вселенной
- •6..5. Реликтовое излучение Гамова
- •6.6. Космологический Горизонт и крупномасштабная (ячеистая) структура Вселенной
- •7. Естествознание о Земле и планетах Солнечной системы
- •7.1. Планетная космогония
- •7.2. Геосферы и эволюция Земли
- •7.3. Геохронологическая и стратиграфическая шкалы
- •7.4. Географическая оболочка Земли
- •8. Концепции и принципы химического естествознания
- •8.1. Эволюция звезд, происхождение химических элементов и планетная химическая эволюция
- •8.2. Донаучный этап химии — ремесленная химия и алхимия античности и средневековья
- •8.3. Главная задача химии и основные этапы ее развития
- •8.4. Концепции химии об элементах и периодический закон Менделеева химических элементов
- •8.5. Концепции структуры химических соединений (структурной химии)
- •8.6. Концепции и законы химических процессов (реакций)
- •8.7. Концепции и принципы эволюционной химии и самоорганизации эволюционных химических систем
- •9. Концепции и принципы биологического естествознания
- •9.1. Объекты биологического познания и структура биологических наук
- •9.2. Гипотезы возникновения жизни и генетического кода
- •9.3. Концепции начала и эволюции жизни
- •9.4. Системная иерархия организации живых организмов и их сообществ
- •9.5. Экосистемы, экология и взаимоотношения живых существ
- •9.6. Основные концепции этологии
- •9.7. Энергетические и энтропийные процессы (энергетика) жизни
- •10. Концепции и гипотезы естествознания о человеке
- •10.1. Теическая гипотеза происхождения человека (творение Бога)
- •10.2. Эволюционные концепции происхождения человека
- •10.3. Мутационные гипотезы происхождения человека
- •10.4. Концепции этнологии
- •10.5. Теория пассионарности л. Н. Гумилева
- •10.6. Совместная эволюция человека и биосферы
- •11. Антропный принцип и мега-история Вселенной
- •11.1. О понятии мега-истории Вселенной
- •11.2. Предыстория антропного принципа
- •11.3. Этапы и процессы панкосмогенеза
- •11.4. О базовых параметрах Вселенной и Галактики (Млечного Пути)
- •11.5. Тонкая согласованность физических законов и мировых констант
- •11.6. Магия (мистика) больших чисел
- •11.7. Слабая формулировка антропного принципа
- •11.8. Сильная и сверхсильная формулировки антропного принципа
- •11.9. О кризисе планетарного цикла мега-истории Вселенной
- •12. Концепции постнеклассического естествознания и теорий самоорганизации
- •12.1. Возникновение и становление концепций постнеклассического естествознания
- •12.2. Динамика возникновения диссипативных структур
- •12.3. Устойчивость структур и механизм их эволюции
- •12.4. Механизмы потери устойчивости структур, катастрофы, бифуркации, математическая теория катастроф и прогнозы будущего
- •12.5. Природные диссипативные структуры (стихии)
- •12.6. Фракталы, сети и сетевые структуры природы и общества
- •12.7. Фундаментальные концепции постнеклассического естествознания
- •12.8. К проблеме постнеклассического межкультурного диалога естественных и гуманитарных наук
- •13. Математика и естественнонаучная реальность мира
- •13.1. Математизация как принцип целостности естествознания
- •13.2. Математика, математическая истина и теория познания
- •13.3. Непостижимая эффективность математики
- •Заключение
- •Раздел II Список тем рефератов Темы рефератов «Образы природы античного, раннего (средневековья и эпохи Возрождения) и классического (эпохи Нового времени) естествознания» (1 семестр)
- •Темы рефератов по разделу «Концепции естествознания Новейшего времени» (2 семестр)
- •Тематика рефератов «Биографические очерки и творчество великих ученых»
- •Раздел III. Контрольно-аттестационный
- •1.23. Проклассифицируйте, как определенные научно-познавательные понятия (факт, гипотеза, теория, закон), следующие утверждения:
- •8.30. Открыл в химии закон кратных отношений и заложил основы атомной теории:
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 12
- •Глава 13
- •Литература
- •1. Рекомендуемая литература
- •2. Обзор рекомендованной литературы
- •Содержание
- •Раздел I
- •Раздел II
- •Раздел III
13.2. Математика, математическая истина и теория познания
Альберт Эйнштейн писал: «Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой; наука же без теории познания — если это вообще мыслимо — неизбежно становится примитивной и путаной».
Связь науки с теорией познания обусловлена уже тем, что наука является орудием познания. При этом сама специфика познавательной деятельности в значительной мере определяет характерные особенности науки.
Но вернемся к вопросу об отображении действительности с помощью математически предугаданных схем. Эта закономерность характерна не только для науки прошлого. Не менее актуальной она остается и для современной науки. Познание скрытых явлений и сегодня возможно только с помощью догадок — гипотез, которые затем либо находят подтверждение, либо отвергаются.
Предугадывание структуры отражаемого мира — его природы, его закономерностей, является характерной чертой процесса познания не только при исследовании внешнего, по отношению к нам, реального мира, но и при исследовании математической реальности. Разница лишь в том, что объективная физическая реальность существует сама по себе и в процессе познания предугадывается схема, моделирующая эту реальность; математическая же реальность заранее не существует — она создается человеческим разумом. Этот процесс, конечно, не может быть абсолютно независимым от реальной действительности. Он направляется и регулируется такими факторами, как прошлый опыт и требование разумности, целесообразности и непротиворечивости создаваемых конструкций. Но сами создаваемые конструкции в большинстве случаев не имеют непосредственных прообразов в реальном мире, а являются результатом творческой деятельности нашего разума. Примерами таких абстрактных построений могут служить бесконечные множества, всевозможные трансфинитные объекты, четырехмерные и даже бесконечномерные пространства и тому подобное.
В течение двух тысячелетий считалось, что геометрия Евклида является геометрией реального пространства. Поэтому мысль о какой-то другой геометрии не могла даже возникнуть. Камнем преткновения, как мы уже отмечали в главе 3, был только пятый постулат Евклида, который утверждал, что через точку, расположенную вне прямой, можно провести одну-единственную прямую, параллельную данной прямой.
Нам известно, что только в XIX в. три математика (Лобачевский, Больяи и Гаусс) почти одновременно пришли к мысли, что существует какая-то новая геометрия, в которой выполняется утверждение, противоположное пятому постулату. В этой геометрии должны были иметь место и совершенно новые закономерности, существенно отличающиеся от того, что установлено в геометрии Евклида.
Проанализируем в связи с этим понятие математической истины. Вообще истина — адекватное отражение в сознании человека явлений и процессов реальной действительности. Каждая мысль, адекватная отображаемому явлению, объекту и пр., выражает некоторую истину.
Математическая реальность — это воображаемый мир, созданный нашей интуицией, это мир, который реально не существует, или, как теперь принято говорить, существует виртуально.
Существование предметов из реальной действительности является объективным фактом, который может быть подтвержден соответствующим опытом, а существование идеальных предметов, созданных нашим воображением, является всего-навсего естественнонаучной гипотезой.
Природа абстрактных идеальных предметов такова, что они непосредственно не могут быть сопоставлены с какими-либо материальными объектами. Поэтому вопрос о соответствии математического образа чему-то, что на самом деле имеет место, не может быть поставлен, а значит, теряет смысл и обычное понятие истинности. Понятие математической истины должно быть определено как-то по-другому. Это определение сделал в 1931 г. математик и логик Альфред Тарский (1901-1983). Он обобщил понятие истины следующим образом: если в естественном языке истина означает соответствие реальной действительности, то в искусственных логико-математических языках истину следует понимать как выполнимость в соответствующей модели.
Вопрос об истинности математических утверждений свелся к вопросу о непротиворечивости соответствующей теории. Непротиворечивость математических теорий не может быть решена средствами самой этой теории (это следует из второй теоремы Геделя о неполноте арифметической системы). Поэтому непротиворечивость самой арифметики, как одной из математических дисциплин, может быть доказана только с привлечением каких-либо новых, более сильных математических средств, не содержащих в языке арифметики.
Как же обосновать истинность математических утверждений? Выход может быть один. Вместо попыток формального доказательства непротиворечивости математических теорий (как основы истинности этих теорий) должны быть найдены косвенные доводы, подтверждающие нашу веру в непротиворечивость и истинность теорий.
К этим доводам относятся:
1. Интуитивная ясность, убедительность, простота и изящество математических построений.
2. Возможность эффективного использования теории в практических приложениях (как в естественных науках, так и в самой математике).
Проблема природы математической истины и проблема непротиворечивости свелись, таким образом, к проблеме обоснования объективности математического знания. Дело свелось к практике, так как критерием объективности— критерием истинности математических утверждений в этом, более общем смысле, является общественная практика. Но практика является также и критерием полезности научного знания.
В самом деле, так как в математических теориях используются весьма абстрактные понятия, не имеющие никаких конкретных прообразов в реальном мире, то роль практики как критерия истины, как соответствия действительности, весьма незначительна. В этом случае практика принимается, прежде всего, как критерий полезности этих теорий — она становится критерием их эффективности, действенности, результативности.
К пониманию того, что этот критерий фактически устанавливает не столько истинность математических теорий, сколько их полезность, как орудий познания, пришли многие математики. Хаскелл Карри, например, в 1963 году писал: «До какой степени абсолютная надежность присуща математике? Поиск абсолютной надежности был основной мотивировкой для концепции Брауэра (основатель в математике интуиционизма. — Авт.) и Гильберта. Но нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенным в непротиворечивости теорий? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно сделать полезные предсказания, и видоизменяем или опровергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно так происходит и с математическими теориями. Мы принимаем теорию, коль скоро она нам полезна, удовлетворяет некоторым условиям естественности и простоты, разумным для своего времени, и коль скоро известно, что эта теория не введет нас в заблуждение. Мы должны держать наши теории под постоянным наблюдением, чтобы видеть, что эти условия выполнены. Поскольку же оценка полезности теории зависит от ее назначения, можно для различных целей принимать по-разному построенные теории, так что интуиционистская и классическая математики могут существовать».
Об этом же в 1970 году писал русский математик, академик Александр Александров (1912-1999), который указывал, что «...математика сама по себе не может быть ни истинной, ни ложной. Математические теории — это орудия познания, и спрашивать об их истинности бессмысленно, как об истинности трактора».
Эффективность, а не истинность — вот что нужно человеку от математических теорий. Что же касается веры в особую достоверность математического знания, веры в истинность математических теорий, то это всего лишь иллюзия, порожденная, с одной стороны, эффективностью математического знания в приложениях, а с другой -интуитивным ощущением, что эти теории правильные.
Какую бы математическую теорию мы ни рассматривали, необходимое условие ее истинности, полезности, как орудия познания, заключается в том, чтобы эта теория была непротиворечива. Доказать непротиворечивость нельзя, но получить косвенные доводы, подкрепляющие нашу веру в непротиворечивость теории, — это дело вполне реальное, и достигается оно посредством практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. Причина непротиворечивости арифметики лежит вне математики, в самой математике эта непротиворечивость остается тайной.
Обобщая, можно отметить, что взгляды на математику характеризуются следующими установками, идеями, принципами:
1. Развитие математики невозможно без исследования математикой самой себя.
2. Одним из важных аспектов математических исследований является вопрос о границах вычислительных и конструктивных возможностей логико-математических языков.
3. Математика по своей природе является псевдоэмпирической наукой. Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией.
4. Практическое значение математических теорий состоит в том, что они являются орудиями познания и с успехом используются в прикладных науках. Именно поэтому математику часто называют языком естествознания. Но сама математическая реальность — это результат чрезвычайно абстрактных умозрительных построений, весьма далеких от действительности. Познание объективной реальности идет через абстрактное к конкретному. Поэтому возникновение умозрительных построений — не случайность, а вполне закономерная особенность процесса познания. Познание — это отражение действительности с помощью предугаданной абстрактной схемы.
5. Философским и методологическим фундаментом современной математики может быть только теория по знания (гносеология). Только с позиции этой теории может быть осуществлен действительно объективный и подлинно научный анализ природы математики и математической истины.