Программирование / си++ / ЛЕКЦИИ АСУ-03 за 1й курс / II cemecTP / Шпоры по матану / 26-30 / билеты 26-30 по шаблону

(26) Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области.

z=f(x,y)с заданной область DєОху.

Опр.: Пусть М₀(х₀,у₀) – внутренняя точка области D. Эта точка называется точкой локального максимума(локального минимума), если существует проколотая окрестность точки М₀, в которой f(M)<f(M₀) [f(M)>f(M₀)], т.е. Δf(M₀)<0[Δf(M₀)>0].

Точки локального макс. И локального мин. Функции z называются точками экстремума этой функции, а значение функции в точках локального экстремума называются локальными экстремумами этой функции (локальными максимумами и локальными мин.).

Теорема(необходимое условие существования локальных экстремумов): Пусть точка М₀(х₀,у₀) является точкой локального экстремума функции z, тогда частные производные либо не существуют, либо равны нулю.

Доказательство: Придадим переменной у значение у₀, тогда z станет функцией одного лишь аргумента х. z=f(x,y₀)≡φ(x), для которой точка х₀ является точкой экстремума, поэтому φ’(x₀) либо не существует, либо = 0, а значит, что f’_x(x₀,y₀)≡φ’(x₀) либо не существует, либо = 0. Аналогично доказывается, что f’_y(x) либо не существует, либо = 0.

Опр.: Внутренняя точка М₀(х₀,у₀) области D называется точкой возможного локального экстремума функции z=f(x,y), если в этой точке частные производные от функции z либо не существуют, либо = 0.

Теорема (достаточное условие существования локальных экстремумов): Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в некоторой окрестности точки М0(х0,у0) и дважды дифференцируема в самой точке М0, причём М0 – точка возможного локального экстремума. Пусть далее , тогда:

1. При Δ>0 точка М₀ является точкой локального экстремума, причём локального max если А<0, или локального min если А>0.

2. При Δ<0 точка М₀ не является точкой локального экстремума функции z.

Замечание: Если Δ=0, то нужны дополнительные исследования с помощью формулы Тейлора для функции z.

(27) Условный экстремум функции нескольких переменных . Мету. Множителей Лагранжа

.

z=f(x,y), заданная в области DОху. Пусть в D определена линия L: φ(x,y)=0. φ(x,y)-уравнение связи, φ(x,y)=0 – функция связи.

Опр.: Внутренняя точка М₀(х₀,у₀) линии L называется точкой условного максимума [условного минимума] функции z на линии L (или при условии φ(x,y)=0), если найдётся проколатая окрестность и точка М₀ такая, что при всех Мєφ∩L будет f(M)<f(M₀)[f(M)>f(M₀)]. Точки условного максимума и условного минимума функции z на линии L называются точками условного экстремума на этой линии. Значения функции в точках условного максимума и условного минимума называются условными максимумами или условными минимумами или условными экстремумами.

Метод отыскания условных экстремумов функции нескольких переменных.

Метод неопределённых множителей Лагранжа.:

Теорема: (необходимый признак существования условных экстремумов): Пусть М₀ – обыкновенная точка линии φ(x,y)=0 и, одновременно, точка условного экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y) на этой линии, тогда найдётся действительное число λ, такое, что обе частные производные от функции в точке М₀ равны нулю, т.е.

Замечание: Функция (1) называется функцией Лагранжа, λ – множителем Лагранжа.

Опр.: Обыкновенная точка М₀ линии φ(x,y)=0, для которой найдётся действительное число λ, такое, что будут выполняться равенства (2), где Ф_λ(х,у) – функция, заданная равенством (1), называется точкой возможного условного экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y), при условии φ(x,y)=0.

Теорема (достаточный признак сушествования условного экстремума): ПустьМ₀(х₀,у₀) – точка возможного условного экстремума дифференцируемой функции z-f(x,y) при условии φ(x,y)=0. Пусть далее Ф_λ(х) – соответственная функция Лагранжа, а функции f(x,y) и φ(x,y) дважды дифференцируемы в точке М₀, тогда

1. При d²Ф_λ(М₀)<0 точка М₀ является точкой условного максимума функции f(M) при условии φ(x,y)=0.

2. При d²Ф_λ(М₀)>0 точка М₀ – точка условного минимума функции f(M) при условии φ(x,y)=0.

Замечание: Если d²Ф_λ(М₀)=0, нужны дополнительные исследования.

(28) Понятие решения, частного и общего решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши,

Общим решением ДУ первого порядка называется функция y=φ(x;c), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1. Функция φ(x;c) является решением ДУ при каждом фиксированном значении с.

2. Каково бы ни было начальное условие (2.4), можно найти такое значение постоянной с=с_о , что функция y=φ(x;c_о) удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y=φ(x;c_о), полученная из общего решения y=φ(x;c) при конкретном значении постоянной с=с_о .

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения Φ(x;y;c)=0, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение Φ(x;y;c_о)=0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения y=φ(x;c) есть семейство интегральных кривых на плоскости Oxy; частное решение y=φ(x;c_о) – одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (x_о;y_о).

Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию y(x_о)=y_о называется задачей Коши

Теорема существования и единственности решения задачи Коши Если в уравнении y′=ƒ(x;y) функция ƒ(x;y) и ее частная производная ƒ_y(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x_о;y_о), то существует единственное решение y=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x_о)=y_о (Без доказательства)

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (x_о;y_о).

(29) Уравнения с разделяющимися переменными и однородные 1-го порядка , методы их решения

Уравнения с разделяющимися переменными: дифференциальные уравнения вида ₂(y)dy=₁(x)dx[1] наз. уравнениями с разделенными переменными. Уравнение вида dy/dx=dy=₁(x)/₂(y) [2]. наз. уравнением с разделяющимися переменными. В уравнении [1] переменные x и y уже разделены (y - в левой части уравнения, x - в пра­вой), а в уравнении [2] эту операцию нужно ещё проделать. Предположим, что y(x) явл. решением уравнения [1]. Подставляя это решение в [1], получаем тождество. Интегрируя его, имеем конечное уравнение ₂(y)dy= =₁(x)dx или F₂(y)=F₁(x)+c [3], где F₂(y), F₁(x) - первообразные для функций ₂(y), ₁(x) соответственно. Уравнению [3] удовлетворяют все решения урав­нения [1] и наоборот, все дифференцируемые решения y(x) уравнения [3] явл. решениями уравнения [1]. Формула [3] позволяет нам ввести еще два термина теории дифференциальных уравнений. Определение: Конечное уравнение Ф(x,y)=0, которое определяет решение дифференциального уравнения как неявную функцию x, наз. интегралом рассматриваемого диффе­ренциального уравнения. Определение: Конечное уравнение Ф(x,y,c)=0, которое определяет все решения дифференциального уравнения как неяв­ные функции x (при соответствующем выборе c можно поду­чить любое решение), наз. общим интегралом рассматривае­мого дифференциального уравнения. Т.о., соотношение [3] представляет собой общий интеграл уравнения [1] или [2]. Отметим, что если получен общий интеграл или интеграл для задачи Коши, то задача интегрирования дифференциального уравнения считается решенной

Однородные уравнения: эти уравнения имеют вид: dy/dx=(y/x). Сделаем замену: z=y/x. Тогда y'=z'x+z Уравнение перепишется в виде z'x+z=(z), или dz/dx= =((z)–z)/x. Получено уравнение с разделяющимися переменными.

(30)Линейные уравнения и уравнения Бернулли, методы их решения.

Линейные уравнения 1-го порядка: линейным уравнением первого порядка наз. уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Будем рассматривать линейное уравнение вида dy/dx+p(x)y=(x) [1], где непрерывные функции на том интервале или отрезке, на котором нужно решить уравнение. Если (x)0 в [1], то линейное уравнение наз. линейным однородным. Для решения линейного неоднородного уравнения ) применяет­ся метод [1] вариации произвольной постоянной. Для этого сначала решается соответствующее однородное уравнение y'+p(x)y=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение можно записать в следующей форме y=ce^–p(x)dx. Под p(x)dx мы подразумеваем конкретную первообразную для p(x). Будем искать решение уравнения [1] в виде y(x)=c(x)e^–p(x)dx [2], т.е. постоянную c теперь считаем функцией. Подставляя [2] в [1], получаем: c'e^–p(x)dx + +c(–p(x))e^–p(x)dx+pce^–p(x)dx=(x), или c'=(x)e^–p(x)dx Интегрируя последнее соотношение, находим c(x)=(x)e^–p(x)dxdx+c₁ [3]. Подставляя [3] в [2], получаем общее решение неоднородного линейного уравнения [1]. Уравнение Бернулли: многие дифференциальные уравнения путем замены переменных сводятся к линейному уравнению. Рассмотрим одно из таких уравнений, которое наз. уравнением Бернулли dy/dx+p(x)y=(x)yⁿ, n1 [1]. Заменой переменных z=y^1-n уравнение [1] сводится к линейному. В самом деле, уравнение [1] можно переписать в виде (1/yⁿ)(dy/dx)+p(x)y^1-n=(x) [2]. Дифференцируя z=y^1-n, получаем z'=(1–n)y^-ny'. уравнение [2] можно переписать в виде (1/1–n) )(dy/dx)+p(x)z=(x). А это уже линейное уравнение относительно функции z(x).