Программирование / си++ / ЛЕКЦИИ АСУ-03 за 1й курс / II cemecTP / Шпоры по матану / 56_60 / 56-60

(56) Ряды Тейлора, разложение элементарных функций в ряд Тейлора, приложения рядов Тейлора.

Функции f (х), имеющей все производные до (п + 1)-го порядка включительно, в окрестности точки х = а справедлива формула Тейлора:

(1)

Где R_n(x) остаточный член. Если функция f(х) имеет производные всех порядков в окрестности точки х = а, то в формуле Тейлора число п можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член R_п→0 при n→∞:

Тогда, переходя в формуле (1) при n→∞, получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора: (формула (1) без R_n(x).)(2)

Если в ряде Тейлора а=0,то это ряд Маклорена:

(формула (2) только a=0) Примеры разложения:

Биноминальный ряд:

Не берущиеся интегралы:

(57)Ортогональные системы функций, сходимость в среднем, понятие ряда Фурье.

Опр.: Система функций φ₁(х), φ₂(х) … φ_n(х) (эти ф-ции определены и непрерывны на [a, b]) называется ортого­нальной в интервале [a, b], если интеграл от произве­дения любых двух различных функций системы =0: (1)

(1)(2)

Ряд Фурье по ортог. сист. ф-ий: f(x)=∑(от n=0до ∞)c_nφ_n(x).Ряд сходится в среднем если сред. квадратичное уклонение этой суммы→0: (2)

Опр.: Ряд вида

где a₀, a_n, b_n, - заданные числа, называется тригонометрическим рядом, а заданные числа называются коэффициентами ряда.

Опр.: Пусть f(x) – периодическая ф-ция с периодом 2π, интегрируемая на отрезке [-π,π], тогда числа

Называются коэффициентами Фурье(их вывод в билете 58) для ф-ции f(x), а тригонометрический ряд (1) с этими коэффициентами называется рядом Фурье ф-ции f(x).

Опр.: Ф-ции f(x) называется кусочно монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить на конечно число частей, внутри каждой из которых функция f(x) является монотонной. Эта ф-ция может иметь точки разрыва только 1-го рода. Если x=c точка разрыва то сущ. пределы:

Теор.(Теорема Дирихле) если f(x) периодом 2π -- кусочно монотонная и огран. на [-π,π] то ряд Фурье сходится во всех точках и S(x)=f(x), а если x – точка разрыва ф-ции f(x), S(x)=1/2(f(x-0)+f(x+0)), где S(x)-сумма ряда Фурье.

(теор. дана без док-ва)

Если f(x) четная то ряд состоит только из cos (b_n=0),

если f(x) нечетн.то ряд сост. из sin (a₀=0 и a_n=0)

(58) Тригонометрические ряды Фурье.

Опр.: Ряд вида

где a₀, a_n, b_n, - заданные числа, называется тригонометрическим рядом, а заданные числа называются коэффициентами ряда.

Пусть некотор. ф-ция f(x) с периодом 2π представляется тригоном. рядом: f(x)=(формула (1)) (2). Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части эгого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (2).Это выполняется если числовой ряд из коэфф. абсолютно сходится: |a₀/2|+|a₁|+|b₁|+…+|a_n|+|b_n|+…(3). Тогда ряд (1) мажорируем=>эго можно интегрировать от –π до π. Проинтегрируем равенство (2): ∫_-π^πf(x)dx = ∫_-π^π(a₀/2)dx+∑(n=0до∞)(∫_-π^πa_ncos nx dx+∫_-π^πb_nsin nx dx)(2`). Вычислим отдельно каждый интеграл: ∫_-π^π(a₀/2)dx=πa₀, ∫_-π^πa_ncos nx dx=a_n∫_-π^πcos nx dx= (a_nsin nx/n)| _-π^π=0

∫_-π^πb_nsin nx dx=b_n∫_-π^πsin nx dx= (a_ncos nx/n)| _-π^π=0 следовательно ∫_-π^πf(x)dx=πa₀, откуда a₀=(1/π) ∫_-π^πf(x)dx(4).

Далее потребуются след. интегралы: (n и k-целые числа). Если n≠k, то ∫_-π^π cos nx cos kx dx=0; ∫_-π^πb_nsin nx sin kx=0; ∫_-π^π cos nx sin kx=0(I). Если n=k, то ∫_-π^π cos² kx=π; ∫_-π^π sin² kx=π; ∫_-π^π cos kx sin kx=0 (II).

Для разыскания a_k умножим (2`) на cos kx:

∫_-π^πf(x) cos kx dx=(a₀/2)∫_-π^π cos kx dx+∑(n=0до∞)(∫_-π^πa_ncosnx cos kx dx+∫_-π^πb_nsin nx cos kx dx). Ввиду(I) и (II) все коэф в правой части=0 кроме интеграла с a_k=>∫_-π^πf(x) cos kx dx= a_k∫_-π^π cos² kx= a_kπ => a_k= (1/π) ∫_-π^πf(x) cos kx dx(5)

Для разыскания b_k умножим (2`) на sin kx:

b_k= (1/π) ∫_-π^πf(x) sin kx dx(6).

Тригонометрическим ряд с коэф (4)-(6)называется рядом Фурье ф-ции f(x).Теор. Дирихле в билете 57.

Примеры:1) f(x)=x, -π<x≤π. Ряд: f(x)=2[sinx-sin2x/2+ sin3x/3-…+(-1)^k+1(sin kx /k)+…]

2)f(x)=x при -π≤x≤0 и f(x)=-x при 0<x≤π. Ряд: f(x)=π/2- π/4[cosx+cos3x/3²+cos5x/5²+…+cos(2p+1)x/(2p+1)²+…]

3) f(x)=-1 при -π≤x≤0 и f(x)=1 при 0<x≤π. Ряд: f(x)= 4/π[sinx+sin3x/3+sin5x/5+…+ sin(2p+1)x/(2p+1)+…]

4) f(x)=x², -π<x≤π. Ряд: f(x)=π²/3-4(cos x-cos2x/2²+cos3x/3² -…), пологая что x=π: π²/6=∑(n=1до ∞)(1/n²)

(59)Условие сходимости рядов Фурье.

Докажем что если в окрестности x₀ функция f(x) такова, что существуют конечные пределы: lim_α→-0(f(x₀+α)-f(x₀))/α=k₁(1), lim_α→+0(f(x₀+α)-f(x₀))/α=k₂(2). А в самой точке x₀ функция непрерывна (рис. 388)(k₁=tgφ₁, k₂= tgφ₂),то в этой точке ряд Фурье сходится к соответ. значению ф-ии f(x). Доказательство. Рассмотрим ф-цию Ф(α): Ф(α)= [f(x₀+α)- f(x₀)](cos^α/₂/2sin^α/₂)

так как функция f(х) кусочно непрерывна на отрезке [-π, π] и непрерывна в точке хо, то, следовательно, она непрерывна в некоторой окрестности [х₀ -δ, х₀+δ] точки х₀. Поэтому функция Ф(α) непрерывна во всех точках, где α≠0 и |α| < δ. При α = 0 функция Ф (α) не определена. Найдем пределы lim_α→-0 Ф(α) и lim_α→+0 Ф(α) используя условия (1) и (2): lim_α→-0Ф(α)= lim_α→-0[f(x₀+α)- f(x₀)](cos^α/₂/2sin^α/₂)= lim_α→-0(f(x₀+α)-f(x₀))/α lim_α→-0^α/₂sin^α/₂ lim_α→-0cos^α/₂= k₁*1*1= k₁

Таким образом Ф(α) ограничена и непрерывна в про-межутке [-δ ,0] аналогично lim_α→-0 Ф(α)= k₂ .Ф(α) огран. и непр в промежутке [0,δ]=> Ф(α) огран. и непр в[-δ,δ]

Таким образом lim_n→∞[s_n(x₀)-f(x₀)]=lim_n→∞(1/π)∫_-δ^δФ(α) sin nα dα. Стоящий справа предел равен нулю, а поэтому lim_n→∞[s_n(x₀)-f(x₀)]=0, или lim_n→∞s_n(x₀)= f(x₀)

Теорема доказана.

(60) Понятие интеграла и преобразований Фурье.

Пусть функция f (х) определена на бесконечном интервале (-∞, ∞) и абсолютно интегрируема на нем, т. е. существует интеграл: ∫_-∞^+∞|f(x)|dx=Q(1). Пусть f(x) разлагается на (-l,l) в ряд Фурье: f(x)=a₀/2+ ∑(k=1 до ∞) (a_kcos(kπx/l)+ b_ksin(kπx/l))(2), где a_k=(1/l)∫_-l^lf(t)cos(kπt/l)dt, b_k=(1/l)∫_-l^lf(t)sin(kπt/l)dt(3). Подставляя в ряд (2) выражения коэффициентов a_k и b_k (3), можно написать:

f(x)=(1/2l)∫_-l^lf(t)dt+(1/l)∑(k=1 до ∞)(∫_-l^lf(t)cos(kπt/l)dt) cos(kπx/l)+(1/l)∑(k=1 до ∞)(∫_-l^lf(t)sin(kπt/l)dt)sin(kπx/l)= (1/2l)∫_-l^lf(t)dt+(1/l)∑(k=1до∞)(∫_-l^lf(t)[cos(kπt/l)dt)cos(kπx/l) +sin(kπt/l)dt)sin(kπx/l)]dt или f(x)=(1/2l)∫_-l^lf(t)dt+ ∑(k=1до∞)(∫_-l^lf(t)cos(kπ(t-x)/l)dt (4). Исследуем вопрос о том, какой вид примет разложение (4) при переходе к пределу при l →∞. Введем следующие обозначения:

α₁=π/l, α₂=2π/l,…, α_n=nπ/l и ∆α_k=π/l.(5) Подставляя в (4), получаем: f(x)= (1/2l)∫_-l^lf(t)dt+(1/l)∑(k=1до∞)(∫_-l^lf(t)cosα_k(t-x)dt)∆α_k.(6) При l→∞ первый член в правой части стремится к нулю. При любом фиксированном l функция от a_k (см. формулы (5)), принимающего значения от π/l до ∞. Без доказательства укажем, что если ф-ция f(х) кусочно монотонна на каждом конечном интервале, ограничена на бесконечном интервале и удовлетворяет условию (1), то при l→+∞ формула (6) примет вид: f(х)= (1/π)∫₀^+∞(∫_-∞^+∞f(t)cosα_k(t-x)dt)dα(7). Это выражение называется интегралом Фурье для функции f(х). Равенство (7) имеет место для всех точек, где ф-ция непрерывна. В точках разрыва =(f(x+0)+f(x-0))/2.

Пусть f(x) — четная функция. В этом случае f(t) cosαt — функция четная, f(t) sinαt — нечетная и мы получаем:

f(x)=(2/π)∫₀^+∞(∫₀^+∞f(t)cos αt dt) cos αx dα.(8) Положим F(α)=√[2/π] ∫₀^+∞ f(t)cos αt dt.(9) тогда формула (8) примет вид f(x)= √[2/π] ∫₀^+∞F(α) cos αx dx(10) Функция F(α) называется косинус-преобразованием Фуръе для f(x).

Аналогично Ф(α)= √[2/π] ∫₀^+∞ f(t)sin αt dt (11);

f(x)= √[2/π] ∫₀^+∞Ф(α) sin αx dx синус-преобразованием Фуръе

Пример: f(x)=e^-βx (β>0, x≥0)

F(α)= √[2/π] ∫₀^+∞e^-βx cos αt dt=√[2/π] β(β²+α²)

Ф(α)= √[2/π] ∫₀^+∞e^-βx sin αt dt=√[2/π] α(β²+α²)