Программирование / си++ / ЛЕКЦИИ АСУ-03 за 1й курс / II cemecTP / Шпоры по матану / игорь-мудак / 47

(47) Формула Грина Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница. Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция: , где - непрерывные на [a,b] функции, L - граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева Пусть . Тогда . Знак означает, что контур интегрирования L - замкнутый.

Доказательство. Вычислим . При каждом фиксированном величина определяется, как производная по y функции от одной переменной y, P(x,y). Поэтому при каждом x применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой . Поэтому .Разобъем кривую L на 4 участка.

. . Поэтому .

Теорема 2. Пусть G - криволинейная трапеция , где - непрерывные на [c,d] функции, L - граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева. Пусть . Тогда . Доказательство.

. Теорема доказана.

Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции , где - непрерывно дифференцируемые на [a,b] функции, так и в виде , где - непрерывно дифференцируемые на [c,d]функции, L - граница G, причем при ее обходе область G остается слева, то . Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то . Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части, G₁ и G₂ удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой Г. Пусть L1 ограничивает G₁, а L2ограничивает G₂. Тогда , поскольку L1- это часть L и кривая Г, а L2- остаток L и кривая Г, но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

(50) Достаточные признаки сравнения и сходимости знакоположительных рядов Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все a_n >=0 Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд сходится . Доказательство. (=>). Пусть . Тогда при всех N. (<=) . Пусть . Поскольку , последовательность S_n возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения. Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится. Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех и ряд - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд . Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство выполняется начиная с некоторого номера . Теорема 2. Пусть для всех и . Тогда либо оба ряда и сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится). Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к.b_n>0) при n>=n₀. Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд – сходится. Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд . Теорема доказана. Пример применения теоремы 2. Ряд сходится, т.к. при и ряд – сходится. Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть a_n >=0 и при достаточно больших . Тогда ряд сходится. Если же при , то он расходится. Доказательство. Неравенство при n>=n₀ равносильно неравенству . Так как , ряд – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд также сходится. Если же , то и a_n >=1 и равенство невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится. В предельной форме эта теорема выглядит так: Теорема. Пусть существует . Тогда если q<1 – ряд сходится, q>1 – ряд расходится, q=1 – признак неприменим. Доказательство. Пусть q<1 . Выберем так, чтобы (т.е. ). Тогда при , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится. Если же q>1, то выберем так, что (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится. Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех n>=n₀ , где q<1. Тогда ряд сходится. Если же при n>=n₀,a_n+1 >=a_n то ряд расходится. Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится. Если a_n+1 >=a_n, то при и ряд расходится. В предельной форме этот признак выглядит так: Теорема. Если существует , то при q<1 ряд сходится, при q>1 - расходится, а при q=1признак неприменим. Доказательство. При q<1 выбираем так, чтобы . Пусть n₀ выбрано так, чтобы при n>=n₀, т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же q>1, то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится. Теорема. (признак Гаусса). Пусть и , . В применении к ряду она дает: , - ряд расходится. Для ряда имеем: , - ряд сходится.