Программирование / си++ / ЛЕКЦИИ АСУ-03 за 1й курс / II cemecTP / Шпоры по матану / 21-25 / 21-25

21)Градиент функции нескольких переменных, его свойства.

Пусть функция задает некоторое cкалярное поле. Градиентом функции u (или скалярного поля u) - grad u в точке М называется вектор проекции которого на координатные оси есть частные производные функции u в этой точке:

Модуль вектора grad u вычисляется по формуле:

Если в области D, в которой задана функция

, в каждой точке определен grad u, то говорят, что в области D определено векторное поле градиентов.

Рассмотрим единичный ветор:

Вычислим скалярное произведение векторов grad u и 0

Выражение, стоящее в правой части равенства есть Поэтому S* grad u=

Если обозначить угол между векторами grad u S

через то можно |grad u|cosΦ=проекция вектора grad u на направление вектора S равна производной от функции u по направлению вектора S

Свойства градиента:

1) производная функции в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной получаем при Φ=0 т.е.мах=|grad u|

2) производная по направлению вектора, перпендикулярного grad u, равна нулю. Действительно, если Φ=π/2 то cos Φ=0, и =0;

6) для сложной функции F(u) где u=u(z, y, z)

grad

(23)Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость к поверхности в её точке M. (точка касания) есть плоскость, проходящая через M. и содержащая в себе все касательные, проведённые в точке M. ко всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку M.

Нормалью к поверхности в точке M. называется прямая, проходящая через точку M. и перпендикулярная к касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Если уравнение поверхности имеет вид F(x., y., z.)=0, то уравнение касательной плоскости в точке M.(x, y, z) имеет вид:

Fx’(x., y., z.)(x-x.)+Fy’(x., t., z.)(y-y.)+Fz’(x., y., z.)=0

Уравнение нормали к этой поверхности в точке есть

В случае явного задания поверхности уравнением (8.1) и (8.2) примут вид

24)Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума.

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y).

Определение. Точка M.(x.,y.) называется точкой максимума

функции z=f(x,y), если для любой точки M(x,y) из некоторой окрестности U.(x.y.) точки M.(x.,y.) (x, y)≠(x. y.) выполняется неравенство f(x,y)<f(x. ,y.)

Значение f(x.,y.) называется максимумом функции.

Очевидно, если рассмотрим приращение функции в точке 0 , M.(x.,y.) то ∆f= f(x,y)-f(x. ,y.)<0

Аналогично, точка M.(x.,y.) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если для любой точки M(x,y) из некоторой окрестности U.(x.y.) точки M.(x.,y.) выполняется неравенство 0 f(x,y)>f(x. ,y.)

Значение f(x.,y.), называется минимумом функции, при этом  ∆f(x.,y.)>0 Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами. Точки экстремума называ-

ются еще точками локального максимума (минимума) функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если точка M.(x.,y.) является точкой экстремума функции z=f(x,y), то в этой точке частные производные f’x(x,y), f’y(x,y), либо равны нулю, либо не существуют.

Доказательство. Пусть точка (x.,y.)- точка максимума функции f(x,y). Тогда f(x,y)≤f(x. ,y.) в некоторой окрестности U.(x.y.) точки M.(x.,y.). Зафиксируем x=x., а у будем менять, т.е. z=f(x.,y) - функция одной переменной y . Если при y=y. функция имеет максимум, то производная функции по переменной y равна нулю либо не существует.

Аналогично доказывается для z=f(x,y.)

Определение. Точки, в которых частные производные либо равны нулю, либо не существуют, называются критическими точками первого рода, а точки в которых частные производные равны нулю, называются стационарными.

Замечание. Каждая точка экстремума является критической, но не каждая критическая точка является точкой экстремума. Например, для функции z=xy; z’x=y; z’y=x;

z’x(0,0)=0; z’y(0;0)=0

Точка (0;0)- критическая точка, но она не является точкой экстремума.

25)Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция z=f(x,y) и все ее частные производные до третьего порядка включительно непрерывны в некоторой окрестности точки M.(x.,y.) и пусть f’x(x.,y.)=0, f’y(x.,y.)=0, Обозначим: f’’xx(x.,y.)=A, f’’yx(x,y)=B, f’’xy(x,y)=C. Тогда

1) eсли ∆=AC-B*B>0 и A<0 (или C<0), то в точке M. функция имеет максимум;

2) если ∆=AC-B*B>0 и A>0 (или C>0), то в точке M. функция имеет минимум;

3) если ∆=AC-B*B<0, то в точке M. функция экстремума не имеет. В этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например,

форму седла. Говорят, что функция имеет в этой точке минимакс (minmax);

4) если ∆=AC-B*B=0, то экстремум может быть и может не быть. Здесь требуется специальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка или каким-либо иным способом).

23)Геометрический смысл дифференциала функции 2-х переменных

Дифференцируемость функции z=f(x,y)в точке (x. ,y.) означает что;

∆z=dF(x., y.)/dx*∆x+ dF(x., y.)/dy*∆y+o(p); p->0

где

∆x=x-x. , ∆y=y-y., ∆z=z-z.

подставив получаем

z=z.+dF(x., y.)/dx*(x-x.)+ dF(x., y.)/dy*(y-y.)+o(p);

плоскость определяемая уравнением

z=z.+dF(x., y.)/dx*(x-x.)+ dF(x., y.)/dy*(y-y.)

называется касательной плоскостью к графику функции z=f(x,y) в точке (x., y., z.). Если аппликату обозначить как Zкас то формулу можно записать в виде

z-zкас=0о(p),p->0, z=f(x,y)

т.е разность между аппликатами графика функции и касательной плоскостью является бесконечно малой более высокого порядка чем при р->0.

Плоскость z=z.+A(x-x.)+B(y-y.), удовлетворяющая такому условию, единственна, ибо это условие равносильно дифференцируемости функции и коэффициенты A и B уравнения такой плоскости совпадают с коэффициентами дифференциала, которые будучи равными соответствующим частным производным, определены однозначно.

Также равенство можно записать в виде

Zкас-z.=df(x., y.)/dx∆x+ df(x., y.)/dy∆y=dz

Таким образом, дифференциал функции равен приращения аппликаты касательной плоскости к графику функции.

Dz=zкас-z.