Программирование / си++ / ЛЕКЦИИ АСУ-03 за 1й курс / II cemecTP / Шпоры по матану / 1-5_1 / Копия шпоры1-5

(1) ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла

F(x)=_x0^xf(t)dt, (x, x0(a,b))

По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)

Доказательство: Дадим аргументу х приращение

∆х так, чтобы х+∆х(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой

F= _x^x+x f(t)dt

и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξ (a,b), что справедливо равенство:

_b^af(x)dx=(b-a)*f()

Теорема верна и при b<a.) получим:

F= _x^x+x f(t)dt= f()(x+x-x)= f()x

Число  заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.

Перейдем к вычислению производной F'(x).

F'(x)=lim_x->0(F/x)= lim_x->0(f()x /x)=lim_->xf(x)=f(x)

Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).

Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.

Действительно, первообразной для такой функции является функция

F(x)=_x0^xf(t)dt, (x, x0(a,b))

Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:

f(x)dx=_x0^xf(t)dt+C

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

_a^xf(t)dt=F(x)+C

( в качестве числа х₀ взято число а).

В этом тождестве положим х=а и получим ,

0=_a^af(t)dt=F(a)+C

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

F(b)-F(a)=F(t)|_a^b

(2) ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

_b^af(x)dx=_^ f[φ(t)]φ'(t)dt

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, (β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C (правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

Получаем

_^ f[φ(t)]φ'(t)dt=F[φ()]-F[φ()]=F(b)-F(a)

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

(3) ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Теор: Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула _a^bu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b–_a^bv(x)u'(x)dx [1]. - формула интегрирования по частям для определенного интеграла и записывают её еще в виде _a^budv=uv|_a^b–_a^bvdu.

Док: заметим, что функция u(x) и v(x) явл. первообразной для функции (uv)'=u'v+uv', причем

эта функция непрерывна. => _a^b(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))dx= (u(x)v(x))|_a^b [2]. Т.к. u'(x)v(x), u(x)v'(x) - непрерывные на [a,b] функции, то определённые интегралы от этих функций сущ. и формулу [2] можно записать в форме [1]. Теор. док.

(4)ПРИЛОЖЕНИЕ ОПР. ИН-ЛА К ВЫЧ-Ю ПЛОЩАДИ В ДЕКАРТОВЫХ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ, ПРИ ПАРАМЕТРИЧ. ЗАДАНИИ ГРАНИЦЫ КРИВОЛИН. ТРАПЕЕЦИИ

В прямоуг. координатах Площадь криволин. трапеции, огранич-й кривой y=f(x), осью Ох и прямыми x=a и x=b равна Q=_a^bf(x)dx. Если f(x)0, то определенный интеграл интеграл также 0. По абс. велечине он равен площади соотв. криволин. трапец-ии -Q=_a^bf(x)dx. Если f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a,b], то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму инт-лов по частичным отрезкам. Инт-л будет положит. На тех отрезках, где f(x)0, и отрицат. где f(x)0. Для того чтобы получит сумму площадей, нужно найти сумму абс. велечин инт-лов по указанным выше отрезкам или вычислить инт-л: Q=_a^b|f(x)|dx

В параметрич. форме x=(t), y=(t) (3) где <t< и ()=a, ()=b. Пусть ур-я (3) опред-ют нек-ю ф-ию y=f(x) на [a,b], и => площадь криволин. трап-ии может быть вычислена по форм-е: Q=_a^bf(x)dx=_a^bydx. Сделаем замену: x=(t), dx=’(t)dt. Из (3) получим: y=f(x) = f[(t)]=(t). => Q=_^(t)’(t)dt

В полярных координатах пусть в полярн. сис-ме коорд-т имеем кривую, зад-ю ур-ем: =f(), где f()-непрерывн. Ф-ия при . Определим площ. сек-ра ОАВ, огранич. кривой =f() и радиус-векторами = и =. Разобьем данную область радиус-векторами =₀, =₁,..., _n= на n частей. Обозначим через ₁,...,_n углы между проведенными радиус-векторами. Обозначим через _i длину рад-вектора, соотв. какому-нибудь углу ^~_i заключ. между _i-1 и _i. Рассм. круговой сектор с рад. _i и центр-м углом _i Его полщ. Равна Q_i=¹/₂_i²_i Сумма Q_n=¹/₂_i² _i=¹/₂[f(^~_i)]² _i даст площ. «ступенч.» сек-ра. Т.к. эта сумма явл. интегр. Суммой для ф-ии ²=[f()]² на отр. , то ее предел при max_i0 есть опр-й инт-л ¹/₂_^²d Он не зависит то того, какой рад-век-р _i мы возьмем внутри угла _i Этот предел и есть искомая площадь.

(5) ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ ПРИ РАЗН. СПОС. ЗАДАНИЯ

Длина дуги кривой: рассмотрим сначала кривую L, заданную в декартовых координатах уравнением y=(x), axb (рис.1). Бу­дем считать, что функция (x) имеет непрерывную производную на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] несколько частей точками x_i:a=x₀<x₁<... <x_n=b. Соответствующие точки на кривой L обозначим буквами M₀, M₁,..., M_n. Соединим точки M₀, M₁,..., M_n отрезками. Получим ломаную L_n. Обозначим длину этой лома­ной L_n. Назовём длиной кривой L предел длин ломаных при x0, где x=max_1inx_i, а x_i=x_i+1–x_i, l=lim_x0l_n. Если указанный предел существует, то кривая L наз. спрямляемой. Покажем, что при сделанных предположениях (функция (x) имеет непрерывную производную) Кривая L явл. спрямляе­мой.Вычислим длину участка ломаной l_i, соответствующ. от­резку [x_i-1, x_i] оси Ox. По теореме Пифагора l_i=[x_i²+y_i²] Приращение функции y_i можно представить по теореме Лагранжа в виде: y_i=(x_i)–(x_i-1)='(_i)(x_i–x_i-1)='(_i)x_i, где _i некоторая точка интервала (x_i-1,x_i). Поэтому длина ломаной l_n выражается формулой l_n=[x_i²+('(_i)x_i)²]

=[1+('(_i))²]x_i. Последняя сумма явл. интегральной суммой для функции [1+('(x))²]. Так как эта функция по условию непрерывна, то оп­ределенный интеграл от функции [1+('(x))²] сущ. и, =>, существует предел длин ломаных. Т.о., кривая L явл. спрямляемой и её дли­на l может быть вычислена по формуле l=_a^b[1+('(x))²]dx.

Вычисление длины дуги кривой, заданной парамет­рически: очень часто кривую L удобно задать параметрически x=(t), y=(t), t₁tt₂

Пример: часть окружности x²+y²=1, расположенную в верхней полуплоскости можно задать явно: y=[1–x²], |x|1, а можно задать параметрически: x=cos t, y=sin t, 0t. Теор: Пусть кривая L задана параметрически: x=(t) непрерывные производные на отрезке [t₁,t₂]. Тогда это кривая спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле: l=_t1^t2[('(t))²+('(t))²)]dx Док: Проведём рассуждения для случая, когда '(t)0, t[t₁,t₂]. Для определенности считаем, что '(t)>0. В этом случае существует обратная функция t=^-1(x), x[a,b], где a=(t₁), b=(t₂). Переменную y можно считать сложной функцией переменной x: y=(x)= (^-1(x)). Применим результат предыдущего пункта.

l=_a^b[1+('(x))²]dx=_a^b[1+((^-1(x))²((^-1(x)')²]dx= =_t1^t2[1+('(t)/'(t))²]dt=_t1^t2[('(t))²+('(t))²]dt. При преобразованиях интеграла сделана замена переменной x=(t). Теор. док.

Вычисление длины дуги кривой, заданной в поляр­ных координатах: пусть кривая L задана в полярных координатах уравнением r=(), ₁₂, где функция () имеет непрерывную про­изводную на отрезке [₁,₂]. Тогда кривая L спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле l=_1^2[²()+('())²]d [1]. Док. формулы [1] основано на использовании формулы для вычисления длины дуги, заданной параметрически. В качестве параметра в этом случае выступает переменная : x=rcos =()cos , y=rsin =()sin , ₁₂, Подставляя выражения для x() и y() в соответствующую формулу и проделав все нужные выкладки, получаем формулу [1].