Сопромат_Свисткова / сопромат_2 / з 3 / 3

3. Проверка прочности балки и исследование деформаций при изгибе

Балка загружена системой сил. Материал – сталь 3.

[σ] = 160 МПа; [τ] = 100 МПа; Е = 2 · 10⁵ МПа;

Требуется:

1. составить уравнение поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, построить эпюры (Q и M_и);

2. подобрать сечение балки-двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям;

3. вычислить максимальное касательное напряжение;

4. определить главное напряжение в сечении, имеющем одновременно большие значения Q и М_и для точки сечения на уровне примыкания полки к стенке; проверить прочность по энергетической теории.

5. определить прогибы и углы поворота в характерных сечениях балки;

6. по вычисленным значениям прогибов показать на схеме балки её изогнутую ось;

7. проверить жесткость балки при допускаемом значении прогиба [у] = ;

1. Составить уравнение поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, построить эпюры (Q и M_и):

(рис. 3.1)

Определим опорные реакции, составляя два уравнения моментов (рис. 3.1, б).

ΣМ_а = 0; - М – 0,5 q + 2q -4R_в = 0 <3.1>

Откуда

R_в =

ΣМ_в = 0; - М +4R_а – 3·3,5 q = 0 <3.2>

Откуда

R_а =

Для проверки используем уравнение ΣP = 0.

-R_а +3q - R_в = (- 82,75 + 3·30 – 7,25) = 0

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Заданная балка имеет три участка нагружения, границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или моменты. Эти участки указаны на рис. 3.1,б.

Построим эпюры поперечных сил Q (рис. 3.1, в) и изгибающих моментов М_и (рис. 3.1, г) составив предварительно уравнения, дающие законы изменения Q и М_и для каждого из участков. Принимая начало координат на левом конце балки, получаем следующие уравнения:

Участок 1 (0≤x₁<1): Q₁ = q·x₁

М_и1 = q·

Участок 2 (1<x₁<3): Q₂ = q·x₂ – R_а <3.3>

М_и2 = q·- R_а(x₂ - 1)

Участок 3 (2<x₁≤0): Q₃ = R_в

М_и3 = -R_в·x₃

Решая уравнения <3.3>, находим значения Q и М_и.

Участок 1 (0≤x₁<1): Q₁^лев = 0

Q₁^прав = 1·30 = 30кН

М_и1^лев = 0

М_и1^прав = 30·

Участок 2 (1<x₁<3): Q₂^лев = 30·1 – 82,74 = 53кН

Q₂^прав= 30·3 – 82,74 = 7,25кН

М_и2^лев = 30·

М_и2^прав = 30·

Участок 3 (2<x₁≤0): Q₃ = 7,25кН

М_и3^лев = -7,25·2 = -14,5кН·м

М_и3^прав = -7,25·0 = 0кН·м

В сечении D поперечная сила равна нулю, следовательно, эпюра М_и в этом месте имеет экстремум. Найдем его.

Q₂ = 0; q·x₂ – R_а = 0 → x₂ =

М_{и, max} = q·- R_а(x₂ - 1) =

1. Подобрать сечение балки-двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям:

Для определения сечения балки-двутавра воспользуемся формулой для нахождения наибольших нормальных напряжений.

σ_max = <3.4>

Считая, что М_max равен по модулю максимальному изгибающему моменту (см. рис. 3.1, б).

W_z (момент сопротивления сечения при изгибе) находим из уравнения <3.4>:

W_{z (расчётное)} =

Из сортамента ГОСТ 8239-7256 находим ближайшее значение W_z = 203,0 см³ , соответствующее двутавру № 20а.

(рис. 3.2)

Высота двутавра: h = 200 мм;

Ширина полки: b = 110 мм;

Ширина стенки d = 5,2 мм;

Высота ступени: t = 8,6 мм;

Момент сопротивления относительно оси z: W_z = 203,0 см³;

Момент инерции относительно оси z: I_z = 2030 см⁴;

Площадь сечения: S = 28,9 см₂;

Статический момент площади отсеченной части: S_z = 114,0 см³;

2. Вычисление максимального касательного напряжения:

Максимальное касательное напряжение будет в том месте, где эпюра поперечных сил имеет наибольшее значение (т.е. в том месте, где Q_max = 53кН).

<3.5>

Подставляя значения в формулу <3.5>, найдем τ_max:

≤ [τ]

52,7 МПа < 100 МПа => условие выполняется.

3. Определить главное напряжение в сечении, имеющем одновременно большие значения Q и М_и для точки сечения на уровне примыкания полки к стенке; проверить прочность по энергетической теории:

Выбираем сечение в точке А, где действует изгибающий момент М_и = 15 кН·м и поперечная сила Q = 53 кН.

(рис. 3.3)

Определяем максимальную нагрузку из условия прочности

σ_max = .

Подставляя значение максимального изгибающего момента, получаем:

σ_max = .

Касательные напряжения в точках поперечного сечения на расстоянии y от нулевой линии определяем по формуле Журавского

Для построения эпюры касательных напряжений вычисляем τ в нескольких точках:

1. В крайних волокнах;

2. В месте сопряжения полки со стенкой;

3. В точках нейтральной линии;

В крайних волокнах , т.к. S_z = 0.

Найдем значения касательных напряжений в крайних точках (в точке примыкания полки к стенке и в точке примыкания полки к стенке на оси y).

Максимальные касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси, то есть оси не меняющей своей длины в результате деформаций:

На рис. 3.3 показаны эпюры нормальных напряжений для сечения, в котором изгибающий момент максимален, и касательных напряжений.

Оценка прочности по энергетической (четвёртой) теории прочности:

(условие прочности)

=> условие прочности выполняется.

5. Определить прогибы и углы поворота в характерных сечениях балки:

(рис.3.4)

Найдем прогибы и углы поворота в сечениях C и D. Для этого воспользуемся методом начальных параметров и составим следующие уравнения:

Для сечения C:

<3.6>

Для сечения D: <3.7>

Для нахождения y₀ и, воспользуемся граничными условиями:

y(0) =

y(4) =

Отсюда находим y₀ и :

y₀ = - 12,8мм

Решая уравнения <3.6> и <3.7>, найдем прогибы и углы поворота в сечениях C и D.

Для сечения D (x = 2):

Для сечения C (x = 5):

Мы получили:

6. По вычисленным значениям прогибов показать на схеме балки её изогнутую ось:

Изогнутую ось балки строим следующим образом: значения прогибов в сечениях С и D в направлении оси y (рис. 3.5). Прогибы в точках А и В равны нулю, т. к. в этих точках балка закреплена на опорах.

(рис. 3.5)

7. Проверить жесткость балки при допускаемом значении прогиба [у] = :

На участке А – С : y = y(C) = 13,03мм

[y] =

y(C) > [y], следовательно прогиб превышает допускаемый.

На участке А – В : y = y(D) = 5,68мм

[y] =

y(C) < [y], следовательно балка выдержит нагрузку..