3.Методика расчёта колебаний лопатки

Частоты собственных колебаний лопатки зависят от внутренних сил упругости и сил инерции их собственной массы. Силы инерции, в свою очередь, определяются массой лопатки и распределением этой массы по её длине, т. е. плотностью материала, геометрической формой и размерами лопатки. Силы упругости зависят от жёсткости системы, т.е. от упругих свойств материала лопатки, от моментов инерции её се­чений, от высоты лопатки, от способа её закрепления и характера де­формаций. Следовательно, и частота собственных колебаний лопатки в конечном счёте зависит от её размеров и формы, от плотности и упругих свойств материала, от способа её закрепления, вида и формы колебаний.

Проанализировав формулу Тимошенко, по которой определяется частота изгибных колебаний, можно выявить основные величины, влияющие на частоту собственных колебаний:

• если коэффициент пропорциональности С=0, то сечение лопатки постоянно по её длине. В этом случае значение частоты собственных колебаний будет наименьшим. По мере увеличения С от 0 до 1, т. е. при увеличении клиновидности лопатки, возрастают коэффициент  и частота собственных колебаний;

• частота собственных колебаний обратно пропорциональна квадрату высоты лопатки. Чем длиннее лопатка, тем ниже частота её собственных колебаний;

• частота собственных колебаний зависит от отношения E/, которое определяется материалом;

• модуль упругости материала существенно зависит от температуры. При повышении температуры модуль упругости уменьшается, следовательно, снижается и частота собственных колебаний лопатки;

• уменьшение площади корневого сечения или увеличение момента инерции этого сечения приводит к возрастанию частоты собственных колебаний.

Одним из наиболее универсальных методов определения частоты собственных колебаний является энергетический метод (метод Релея). Лопатка рассматривается как консольная балка, жёстко заделанная одним концом. Колебания всех точек лопатки происходят с одной и той же частотой и находятся в одной и той же фазе. Перемещение y любой из точек оси лопатки, совершающей гармонические колебания, выражается так:

где p – круговая частота колебаний; y₀ – амплитуда колебаний; t – время.

Скорости точек оси лопаток определяются зависимостью:

Максимальное значение скорости соответствует прохождению лопатки через среднее положение, где sin pt = 1, значит:

В каждый момент времени сумма кинетической энергии К и потенциальной энергии П колеблющейся лопатки есть величина постоянная.

Максимальная кинетическая энергия для элемента лопатки длиной dx:

где dm – масса элемента лопатки;  - плотность материала; F_x – площадь текущего сечения лопатки.

Интегрируя по высоте, получим:

Потенциальная энергия деформации лопатки:

где M_x – изгибающий момент в поперечном сечении лопатки с координатой x; I_x – момент инерции сечения; Е – модуль упругости.

Из уравнений получим:

откуда

Период колебаний  (с), круговая частота P (рад/с) и частота колебаний f (Гц)

связаны соотношениями:

Изгибающий момент в текущем сечении:

Угол поворота сечения при изгибе:

а прогиб в текущем сечении:

Расчётная формула для определения круговой частоты крутильных колебаний:

где M_k – крутящий момент; G – модуль упругости 2-го рода; Т – геометрическая жёсткость на кручение;  - плотность материала; I_р – полярный момент инерции сечения; ₀ – амплитудное значение угла поворота сечения.

При вращении лопатки с диском её колебания совершаются в поле центробежных сил. Центробежная сила стремится вернуть колеблющуюся лопатку в среднее положение и, таким образом, как бы увеличивает её изгибную жёсткость, а вместе с тем и частоту её собственных колебаний.

Частоту изгибных стержневых колебаний лопатки с учётом вращения называют динамической частотой, которую можно представить формулой:

где f_c – частота собственных колебаний без учёта вращения; n – частота вращения ротора, 1/с; В – коэф. динамического ужесточения.