Добавил:
bagiwow
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
ѓ« ў 10. ‘®Ї®бв ў«ҐЁҐ б ®Ўа §ж®¬.
10.1. Џа®б⥩訩 ЇаЁ¬Ґа.
10.1.1. €¬ҐҐвбп Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм бЁ¬ў®«®ў x[1]..x[n]. ЋЇ-
।Ґ«Ёвм, Ё¬Ґовбп «Ё ў Ґ© Ё¤гйЁҐ ¤агЈ § ¤агЈ®¬ бЁ¬ў®«л "abcd".
(„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, вॡгҐвбп ўлпбЁвм, Ґбвм «Ё ў б«®ўҐ x[1]..x[n]
Ї®¤б«®ў® "abcd".)
ђҐиҐЁҐ. €¬ҐҐвбп ЇаЁ¬Ґа® n (Ґб«Ё Ўлвм в®зл¬, n-3) Ї®§ЁжЁ©,
Є®в®але ¬®¦Ґв 室Ёвмбп ЁбЄ®¬®Ґ Ї®¤б«®ў® ў Ёб室®¬ б«®ўҐ.
„«п Є ¦¤®© Ё§ Ї®§ЁжЁ© ¬®¦® Їа®ўҐаЁвм, ¤Ґ©бвўЁвҐ«м® «Ё в ¬ ®®
室Ёвбп, ба ўЁў зҐвлॠᨬў®« . Ћ¤ Є® Ґбвм Ў®«ҐҐ нд䥪⨢л©
бЇ®б®Ў. —Ёв п б«®ў® x[1]..x[n] б«Ґў Їа ў®, ¬л ®¦Ё¤ Ґ¬ Ї®пў«Ґ-
Ёп ЎгЄўл 'a'. Љ Є в®«мЄ® ® Ї®пўЁ« бм, ¬л ¦¤Ґ¬ § Ґ© ЎгЄўг
'b', § ⥬ 'c', Ё, Є®Ґж, 'd'. …б«Ё иЁ ®¦Ё¤ Ёп ®Їа ў¤лў ов-
бп, в® б«®ў® "abcd" ®Ў а㦥®. …б«Ё ¦Ґ Є Є п-в® Ё§ г¦ле ЎгЄў
Ґ Ї®пў«пҐвбп, ¬л ®Є §лў Ґ¬бп г а §ЎЁв®Ј® Є®алв Ё зЁ Ґ¬ ўбҐ
б з « .
ќв®в Їа®бв®© «Ј®аЁв¬ ¬®¦® ®ЇЁб вм ў а §ле вҐа¬Ё е. €б-
Ї®«м§гп вҐа¬Ё®«®ЈЁо в Є §лў Ґ¬ле Є®Ґзле ўв®¬ в®ў, ¬®¦®
бЄ § вм, зв® ЇаЁ з⥨Ё б«®ў x б«Ґў Їа ў® ¬л ў Є ¦¤л© ¬®¬Ґв
室Ё¬бп ў ®¤®¬ Ё§ б«Ґ¤гойЁе б®бв®пЁ©: " з «м®Ґ" (0),
"ба §г Ї®б«Ґ a" (1), "ба §г Ї®б«Ґ ab" (2), "ба §г Ї®б«Ґ abc" (3)
Ё "ба §г Ї®б«Ґ abcd" (4). —Ёв п ®зҐаҐ¤го ЎгЄўг, ¬л ЇҐаҐе®¤Ё¬ ў
б«Ґ¤го饥 б®бв®пЁҐ Ї® Їа ўЁ«г
’ҐЄг饥 ЋзҐаҐ¤ п Ќ®ў®Ґ
б®бв®пЁҐ ЎгЄў б®бв®пЁҐ
0 a 1
0 Єа®¬Ґ a 0
1 b 2
1 a 1
1 Єа®¬Ґ a,b 0
2 c 3
2 a 1
2 Єа®¬Ґ a,c 0
3 d 4
3 a 1
3 Єа®¬Ґ a,d 0
Љ Є в®«мЄ® ¬л Ї®Ї ¤Ґ¬ ў б®бв®пЁҐ 4, а Ў®в § Є зЁў Ґвбп.
‘®®вўҐвбвўгой п Їа®Ја ¬¬ ®зҐўЁ¤ :
i:=1; state:=0;
{i - ЇҐаў п ҐЇа®зЁв п ЎгЄў , state - б®бв®пЁҐ}
while (i<> n+1) and (state <> 4) do begin
if state = 0 then begin
if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 1 then begin
if x[i] = b then begin
state:= 2;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 2 then begin
if x[i] = c then begin
state:= 3;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 3 then begin
if x[i] = d then begin
state:= 4;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end;
end;
answer := (state = 4);
€л¬Ё б«®ў ¬Ё, ¬л ў Є ¦¤л© ¬®¬Ґв еа Ё¬ Ёд®а¬ жЁо ® ⮬,
Є Є®Ґ ¬ ЄбЁ¬ «м®Ґ з «® 襣® ®Ўа §ж "abcd" пў«пҐвбп Є®ж®¬
Їа®зЁв ®© з бвЁ. (…Ј® ¤«Ё Ё Ґбвм в® "б®бв®пЁҐ", ® Є®в®а®¬
и« аҐзм.)
’Ґа¬Ё®«®ЈЁп, ¬Ё ЁбЇ®«м§гҐ¬ п, в Є®ў . ‘«®ў® - нв® «оЎ п
Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм бЁ¬ў®«®ў Ё§ ҐЄ®в®а®Ј® дЁЄбЁа®ў ®Ј® Є®Ґз-
®Ј® ¬®¦Ґбвў . ќв® ¬®¦Ґбвў® §лў Ґвбп «д ўЁв®¬, ҐЈ® н«Ґ¬Ґвл
- ЎгЄў ¬Ё. …б«Ё ®вЎа®бЁвм ҐбЄ®«мЄ® ЎгЄў б Є®ж б«®ў , ®бв Ґв-
бп ¤агЈ®Ґ б«®ў®, §лў Ґ¬®Ґ з «®¬ ЇҐаў®Ј®. ‹оЎ®Ґ б«®ў® в Є¦Ґ
бзЁв Ґвбп бў®Ё¬ з «®¬. Љ®Ґж б«®ў - в®, зв® ®бв Ґвбп, Ґб«Ё
®вЎа®бЁвм ҐбЄ®«мЄ® ЇҐаўле ЎгЄў. ‹оЎ®Ґ б«®ў® бзЁв Ґвбп бў®Ё¬
Є®ж®¬. Џ®¤б«®ў® - в®, зв® ®бв Ґвбп, Ґб«Ё ®вЎа®бЁвм ЎгЄўл Ё б
з « , Ё б Є®ж . („агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, Ї®¤б«®ў - нв® Є®жл з «,
Ё«Ё, зв® в® ¦Ґ, з « Є®ж®ў.)
‚ вҐа¬Ё е Ё¤гЄвЁўле дгЄжЁ© (б¬. а §¤Ґ« 1.3) бЁвг жЁо
¬®¦® ®ЇЁб вм в Є: а бᬮваЁ¬ дгЄжЁо б«®ў е, Є®в®а п ЇаЁЁ-
¬ Ґв ¤ў § 票п "ЁбвЁ " Ё "«®¦м" Ё ЁбвЁ б«®ў е, Ё¬ҐойЁе
"abcd" бў®Ё¬ Ї®¤б«®ў®¬. ќв дгЄжЁп Ґ пў«пҐвбп Ё¤гЄвЁў®©, ®
Ё¬ҐҐв Ё¤гЄвЁў®Ґ а биЁаҐЁҐ
x ->¤«Ё ¬ ЄбЁ¬ «м®Ј® з « б«®ў abcd, пў«по饣®бп Є®ж®¬ x
10.2. Џ®ўв®аҐЁп ў ®Ўа §жҐ - Ёбв®зЁЄ Їа®Ў«Ґ¬.
10.2.1. Њ®¦® «Ё ў ЇаҐ¤л¤гйЁе а бб㦤ҐЁпе § ¬ҐЁвм б«®ў®
"abcd" Їа®Ё§ў®«м®Ґ б«®ў®?
ђҐиҐЁҐ. ЌҐв, Ё Їа®Ў«Ґ¬л бўп§ л б ⥬, зв® ў ®Ўа §жҐ ¬®Јгв
Ўлвм Ї®ўв®апойЁҐбп ЎгЄўл. Џгбвм, ЇаЁ¬Ґа, ¬л ЁйҐ¬ ўе®¦¤ҐЁп
б«®ў "ababc". ‚®в Ї®пўЁ« бм ЎгЄў "a", § Ґ© Ё¤Ґв "b", § Ґ©
Ё¤Ґв "a", § ⥬ б®ў "b". ‚ нв®в ¬®¬Ґв ¬л б ҐвҐаЇҐЁҐ¬ ¦¤Ґ¬
ЎгЄўл "c". Ћ¤ Є® - Є 襬г а §®з а®ў Ёо - ў¬Ґбв® ҐҐ Ї®пў«п-
Ґвбп ¤агЈ п ЎгЄў , Ё и ®Ўа §Ґж "ababc" Ґ ®Ў а㦥. Ћ¤ Є®
б ¬®¦Ґв ®¦Ё¤ вм гвҐиЁвҐ«мл© ЇаЁ§: Ґб«Ё ў¬Ґбв® "c" Ї®пўЁ« бм
ЎгЄў "a", в® Ґ ўбҐ Ї®вҐап®: § Ґ© ¬®Јгв Ї®б«Ґ¤®ў вм ЎгЄўл
"b" Ё "c", Ё ®Ўа §Ґж-в ЄЁ Ўг¤Ґв ©¤Ґ.
‚®в Є авЁЄ , Ї®пбпой п бЄ § ®Ґ:
x y z a b a b a b c .... <- ўе®¤®Ґ б«®ў®
a b a b c <- ¬л ¦¤ «Ё ®Ўа §ж §¤Ґбм
a b a b c <- ® ®Є § «бп §¤Ґбм
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Є ¬®¬Ґвг
|
x y z a b a b | <- ўе®¤®Ґ б«®ў®
|
a b a b | c <- ¬л ¦¤ «Ё ®Ўа §ж §¤Ґбм
|
a b | a b c <- ® ®Є § «бп §¤Ґбм
|
Ґбвм ¤ў ў®§¬®¦ле Ї®«®¦ҐЁп ®Ўа §ж , Є ¦¤®Ґ Ё§ Є®в®але Ї®¤«Ґ¦Ёв
Їа®ўҐаЄҐ. ’Ґ¬ Ґ ¬ҐҐҐ Ї®-ЇаҐ¦Ґ¬г ў®§¬®¦Ґ Є®Ґзл© ўв®¬ в,
зЁв ойЁ© ўе®¤®Ґ б«®ў® ЎгЄў § ЎгЄў®© Ё ЇҐаҐе®¤пйЁ© Ё§ б®бв®-
пЁп ў б®бв®пЁҐ ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в Їа®зЁв ле ЎгЄў.
10.2.2. “Є § вм б®бв®пЁп ᮮ⢥вбвўго饣® ўв®¬ в Ё в Ў-
«Ёжг ЇҐаҐе®¤ (®ў®Ґ б®бв®пЁҐ ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в бв а®Ј® Ё зЁв -
Ґ¬®© ЎгЄўл).
ђҐиҐЁҐ. Џ®-ЇаҐ¦Ґ¬г б®бв®пЁп Ўг¤гв ᮮ⢥вбвў®ў вм -
ЁЎ®«м襬г з «г ®Ўа §ж , пў«по饬гбп Є®ж®¬ Їа®зЁв ®© з бвЁ
б«®ў . €е Ўг¤Ґв иҐбвм: 0, 1 ("a"), 2 ("ab"), 3 ("aba"), 4
("abab"), 5 ("ababc"). ’ Ў«Ёж ЇҐаҐе®¤ :
’ҐЄг饥 ЋзҐаҐ¤ п Ќ®ў®Ґ
б®бв®пЁҐ ЎгЄў б®бв®пЁҐ
0 a 1 (a)
0 Єа®¬Ґ a 0
1 (a) b 2 (ab)
1 (a) a 1 (a)
1 (a) Єа®¬Ґ a,b 0
2 (ab) a 3 (aba)
2 (ab) Єа®¬Ґ a 0
3 (aba) b 4 (abab)
3 (aba) a 1 (a)
3 (aba) Єа®¬Ґ a,b 0
4 (abab) c 5 (ababc)
4 (abab) a 3 (aba)
4 (abab) Єа®¬Ґ a,c 0
„«п Їа®ўҐаЄЁ Ї®б¬®ваЁ¬, Є ЇаЁ¬Ґаг, ўв®аго бЁ§г бва®Єг. …б«Ё
Їа®зЁв п з бвм Є®з « бм "abab", § ⥬ Ї®пўЁ« бм ЎгЄў
"a", ⮠⥯Ґам Їа®зЁв п з бвм Є®з Ґвбп "ababa". Ќ -
ЁЎ®«м襥 з «® ®Ўа §ж ("ababc"), Є®в®а®Ґ Ґбвм ҐҐ Є®Ґж - нв®
"aba".
”Ё«®б®дбЄЁ© ў®Їа®б: ¬л Ј®ў®аЁ«Ё, зв® ва㤮бвм б®бв®Ёв ў
⮬, зв® Ґбвм ҐбЄ®«мЄ® ў®§¬®¦ле Ї®«®¦ҐЁ© ®Ўа §ж , Є ¦¤®Ґ Ё§
Є®в®але ¬®¦Ґв ®Є § вмбп ЁбвЁл¬. €¬ ᮮ⢥вбвўгов ҐбЄ®«мЄ® -
з « ®Ўа §ж , пў«пойЁебп Є®ж ¬Ё ўе®¤®Ј® б«®ў . Ќ® Є®Ґзл© ў-
⮬ в Ї®¬Ёв «Ёим б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ Ёе. Љ Є ¦Ґ ®бв «млҐ?
”Ё«®б®дбЄЁ© ®вўҐв. „Ґ«® ў ⮬, зв® б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ Ёе ®Ї-
।Ґ«пҐв ўбҐ ®бв «млҐ - нв® ҐЈ® Є®жл, ®¤®ўаҐ¬Ґ® пў«пойЁҐбп
ҐЈ® з « ¬Ё.
ЌҐ б®бв ў«пҐв ваг¤ ¤«п «оЎ®Ј® Є®ЄаҐв®Ј® ®Ўа §ж ЇЁб вм
Їа®Ја ¬¬г, ®бгйҐбвў«пойго Ї®ЁбЄ нв®Ј® ®Ўа §ж ®ЇЁб л¬ бЇ®б®-
Ў®¬. Ћ¤ Є® е®вҐ«®бм Ўл ЇЁб вм Їа®Ја ¬¬г, Є®в®а п ЁйҐв Їа®Ё§-
ў®«мл© ®Ўа §Ґж ў Їа®Ё§ў®«м®¬ б«®ўҐ. ќв® ¬®¦® ¤Ґ« вм ў ¤ў
нв Ї : б з « Ї® ®Ўа §жг бва®Ёвбп в Ў«Ёж ЇҐаҐе®¤®ў Є®Ґз®Ј®
ўв®¬ в , § ⥬ зЁв Ґвбп ўе®¤®Ґ б«®ў® Ё б®бв®пЁҐ ЇаҐ®Ўа §г-
Ґвбп ў ᮮ⢥вбвўЁЁ б нв®© в Ў«ЁжҐ©. Џ®¤®Ўл© ¬Ґв®¤ з бв® Ёб-
Ї®«м§гҐвбп ¤«п Ў®«ҐҐ б«®¦ле § ¤ з Ї®ЁбЄ (б¬. ¤ «ҐҐ), ® ¤«п
Ї®ЁбЄ Ї®¤б«®ў бгйҐбвўгҐв Ў®«ҐҐ Їа®бв®© Ё нддҐЄвЁўл© «Ј®аЁв¬,
§лў Ґ¬л© «Ј®аЁв¬®¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв . Ќ® ЇаҐ¦¤Ґ ¬
Ї® ¤®Ўпвбп ҐЄ®в®алҐ ўбЇ®¬®Ј ⥫млҐ г⢥তҐЁп.
10.3. ‚бЇ®¬®Ј ⥫млҐ г⢥তҐЁп
„«п Їа®Ё§ў®«м®Ј® б«®ў X а бᬮваЁ¬ ўбҐ ҐЈ® з « , ®¤®ў-
६Ґ® пў«пойЁҐбп ҐЈ® Є®ж ¬Ё, Ё ўлЎҐаҐ¬ Ё§ Ёе б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ.
(ЌҐ бзЁв п, Є®Ґз®, б ¬®Ј® б«®ў X.) Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§ з вм ҐЈ® n(X).
ЏаЁ¬Ґал: n(aba)=a, n(abab)=ab, n(ababa)=aba, n(abc) = Їгб-
⮥ б«®ў®.
10.3.1. „®Є § вм, зв® ўбҐ б«®ў n(X), n(n(X)), n(n(n(X)))
Ё в.¤. пў«повбп з « ¬Ё б«®ў X.
ђҐиҐЁҐ. Љ ¦¤®Ґ Ё§ Ёе (б®Ј« б® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо) пў«пҐвбп -
з «®¬ ЇаҐ¤л¤г饣®.
Џ® в®© ¦Ґ ЇаЁзЁҐ ўбҐ ®Ё пў«повбп Є®ж ¬Ё б«®ў X.
10.3.2. „®Є § вм, зв® Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм ЇаҐ¤л¤г饩 § ¤ зЁ
®Ўалў Ґвбп ( Їгб⮬ б«®ўҐ).
ђҐиҐЁҐ. Љ ¦¤®Ґ б«®ў® Є®а®зҐ ЇаҐ¤л¤г饣®.
‡ ¤ з . „®Є § вм, зв® «оЎ®Ґ б«®ў®, ®¤®ўаҐ¬Ґ® пў«по饥бп
з «®¬ Ё Є®ж®¬ б«®ў X (Єа®¬Ґ б ¬®Ј® X) ўе®¤Ёв ў Ї®б«Ґ¤®ў -
⥫м®бвм n(X), n(n(X)),...
ђҐиҐЁҐ. Џгбвм б«®ў® Y Ґбвм ®¤®ўаҐ¬Ґ® з «® Ё Є®Ґж X.
‘«®ў® n(X) - б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ в ЄЁе б«®ў, в Є зв® Y Ґ ¤«ЁҐҐ
n(X). ЋЎ нвЁ б«®ў пў«повбп з « ¬Ё X, Ї®н⮬㠡®«ҐҐ Є®а®вЄ®Ґ
Ё§ Ёе пў«пҐвбп з «®¬ Ў®«ҐҐ ¤«Ё®Ј®: Y Ґбвм з «® n(X). Ђ -
«®ЈЁз®, Y Ґбвм Є®Ґж n(X). ђ бб㦤 п Ї® Ё¤гЄжЁЁ, ¬®¦® ЇаҐ¤Ї®-
« Ј вм, зв® г⢥তҐЁҐ § ¤ зЁ ўҐа® ¤«п ўбҐе б«®ў Є®а®зҐ X, ў
з бв®бвЁ, ¤«п б«®ў n(X). ’ Є зв® б«®ў® Y, пў«по饥бп Є®ж®¬ Ё
з «®¬ n(X), «ЁЎ® а ў® n(X), «ЁЎ® ўе®¤Ёв ў Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм
n(n(X)), n(n(n(X))), ..., зв® Ё вॡ®ў «®бм ¤®Є § вм.
10.4. Ђ«Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв
Ђ«Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв (ЉЊЏ) Ї®«гз Ґв ўе®¤
б«®ў®
X = x[1]x[2]...x[n]
Ё Їа®б¬ ваЁў Ґв ҐЈ® б«Ґў Їа ў® ЎгЄў § ЎгЄў®©, § Ї®«пп ЇаЁ
н⮬ ¬ ббЁў вга «мле зЁбҐ« l[1]..l[n], в Є зв®
l[i] = ¤«Ё б«®ў n(x[1]...x[i])
(дгЄжЁп n ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ ў ЇаҐ¤л¤г饬 ЇгЄвҐ). ‘«®ў ¬Ё: l[i] Ґбвм
¤«Ё ЁЎ®«м襣® з « б«®ў x[1]..x[i], ®¤®ўаҐ¬Ґ® пў«пойҐ-
Ј®бп ҐЈ® Є®ж®¬.
10.4.1. Љ Є®Ґ ®в®иҐЁҐ ўбҐ нв® Ё¬ҐҐв Є Ї®ЁбЄг Ї®¤б«®ў ?
„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, Є Є ЁбЇ®«м§®ў вм «Ј®аЁв¬ ЉЊЏ ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп
в®Ј®, пў«пҐвбп «Ё б«®ў® A Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў B?
ђҐиҐЁҐ. ЏаЁ¬ҐЁ¬ «Ј®аЁв¬ ЉЊЏ Є б«®ўг A#B, Ј¤Ґ # - бЇҐжЁ-
«м п ЎгЄў , Ґ ўбваҐз ой пбп Ё ў A, Ё ў B. ‘«®ў® A пў«пҐвбп
Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў B в®Ј¤ Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤ б।Ё зЁбҐ« ў ¬ б-
бЁўҐ l Ўг¤Ґв зЁб«®, а ў®Ґ ¤«ЁҐ б«®ў A.
10.4.2. ЋЇЁб вм «Ј®аЁв¬ § Ї®«ҐЁп в Ў«Ёжл l[1]..l[n].
ђҐиҐЁҐ. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® ЇҐаўлҐ i § 票© l[1]..l[i] 㦥
©¤Ґл. Њл зЁв Ґ¬ ®зҐаҐ¤го ЎгЄўг б«®ў (в.Ґ. x[i+1]) Ё ¤®«¦л
ўлзЁб«Ёвм l[i+1].
1 i i+1
--------------------------------------------------------
| 㦥 Їа®зЁв п з бвм X | |
--------------------------------------------------------
\-----------Z-----------/ \------------Z------------/
„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, б ЁвҐаҐбгов з « Z б«®ў x[1]..x[i+1], ®¤-
®ўаҐ¬Ґ® пў«пойЁҐбп ҐЈ® Є®ж ¬Ё - Ё§ Ёе ¬ ¤® ўлЎа вм б -
¬®Ґ ¤«Ё®Ґ. ЋвЄг¤ ЎҐагвбп нвЁ з « ? Љ ¦¤®Ґ Ё§ Ёе Ї®«гз Ґвбп
Ё§ ҐЄ®в®а®Ј® б«®ў Z' ЇаЁЇЁблў ЁҐ¬ ЎгЄўл x[i+1]. ‘«®ў® Z' пў-
«пҐвбп з «®¬ Ё Є®ж®¬ б«®ў x[1]..x[i]. Ћ¤ Є® Ґ «оЎ®Ґ б«®ў®,
пў«по饥бп з «®¬ Ё Є®ж®¬ б«®ў x[1]..x[i], Ј®¤Ёвбп - ¤®,
зв®Ўл § Ё¬ б«Ґ¤®ў « ЎгЄў x[i+1].
Џ®«гз Ґ¬ в Є®© аҐжҐЇв ®влбЄ Ёп б«®ў Z. ђ бᬮваЁ¬ ўбҐ -
з « б«®ў x[1]..x[i], пў«пойЁҐбп ®¤®ўаҐ¬Ґ® ҐЈ® Є®ж ¬Ё. €§
Ёе ўлЎҐаҐ¬ Ї®¤е®¤пйЁҐ - вҐ, § Є®в®ал¬Ё Ё¤Ґв ЎгЄў x[i+1]. €§
Ї®¤е®¤пйЁе ўлЎҐаҐ¬ б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ. ЏаЁЇЁб ў ў ҐЈ® Є®Ґж x[i+1],
Ї®«гзЁ¬ ЁбЄ®¬®Ґ б«®ў® Z.
’ҐЇҐам Ї®а ў®бЇ®«м§®ў вмбп ᤥ« л¬Ё ¬Ё ЇаЁЈ®в®ў«ҐЁп¬Ё
Ё ўбЇ®¬Ёвм, зв® ўбҐ б«®ў , пў«пойЁҐбп ®¤®ўаҐ¬Ґ® з « ¬Ё Ё
Є®ж ¬Ё ¤ ®Ј® б«®ў , ¬®¦® Ї®«гзЁвм Ї®ўв®ал¬Ё ЇаЁ¬ҐҐЁп¬Ё Є
Ґ¬г дгЄжЁЁ n Ё§ ЇаҐ¤л¤г饣® а §¤Ґ« . ‚®в зв® Ї®«гз Ґвбп:
i:=1; l[1]:= 0;
{в Ў«Ёж l[1]..l[i] § Ї®«Ґ Їа ўЁ«м®}
while i <> n do begin
| len := l[i]
| {len - ¤«Ё з « б«®ў x[1]..x[i], Є®в®а®Ґ пў«пҐвбп
| ҐЈ® Є®ж®¬; ўбҐ Ў®«ҐҐ ¤«ЁлҐ з « ®Є § «Ёбм
| ҐЇ®¤е®¤пйЁ¬Ё}
| while (x[len+1] <> x[i+1]) and (len > 0) do begin
| | { з «® ®Є § «®бм ҐЇ®¤е®¤пйЁ¬, ЇаЁ¬ҐпҐ¬ Є Ґ¬г n}
| | len := l[len];
| end;
| { и«Ё Ї®¤е®¤п饥 Ё«Ё гЎҐ¤Ё«Ёбм ў ®вбгвбвўЁЁ}
| if x[len+1] = x[i+1] do begin
| | {x[1]..x[len] - б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ї®¤е®¤п饥 з «®}
| | l[i+1] := len+1;
| end else begin
| | {Ї®¤е®¤пйЁе Ґв}
| | l[i+1] := 0;
| end;
| i := i+1;
end;
10.4.3. „®Є § вм, зв® зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© ў ЇаЁўҐ¤Ґ®¬ в®«мЄ®
зв® «Ј®аЁв¬Ґ Ґ ЇаҐў®б室Ёв Cn ¤«п ҐЄ®в®а®© Є®бв вл C.
ђҐиҐЁҐ. ќв® Ґ ўЇ®«Ґ ®зҐўЁ¤®: ®Ўа Ў®вЄ Є ¦¤®© ®зҐаҐ¤®©
ЎгЄўл ¬®¦Ґв Ї®вॡ®ў вм ¬®ЈЁе ЁвҐа жЁ© ў® ўгв॥¬ жЁЄ«Ґ. Ћ¤-
Є® Є ¦¤ п в Є п ЁвҐа жЁп 㬥ми Ґв len Ї® Єа ©Ґ© ¬ҐаҐ 1, Ё
ў н⮬ б«гз Ґ l[i+1] ®Є ¦Ґвбп § ¬Ґв® ¬ҐмиҐ l[i]. ‘ ¤агЈ®© бв®-
а®л, ЇаЁ 㢥«ЁзҐЁЁ i Ґ¤ЁЁжг ўҐ«ЁзЁ l[i] ¬®¦Ґв ў®§а бвЁ
Ґ Ў®«ҐҐ 祬 1, в Є зв® з бв® Ё бЁ«м® гЎлў вм ® Ґ ¬®¦Ґв -
Ё зҐ гЎлў ЁҐ Ґ Ўг¤Ґв бЄ®¬ЇҐбЁа®ў ® ў®§а бв ЁҐ¬.
Ѓ®«ҐҐ в®з®, ¬®¦® § ЇЁб вм Ґа ўҐбвў®
l[i+1] <= l[i] - (зЁб«® ЁвҐа жЁ© i-¬ и ЈҐ) + 1
Ё«Ё
(зЁб«® ЁвҐа жЁ© i-¬ и ЈҐ) <= l[i] - l[i+1] + 1
Ё ®бв Ґвбп б«®¦Ёвм нвЁ Ґа ўҐбвў Ї® ўбҐ¬ i Ё Ї®«гзЁвм ®жҐЄг
ᢥаег ¤«п ®ЎйҐЈ® зЁб« ЁвҐа жЁ©.
10.4.4. Ѓг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм нв®в «Ј®аЁв¬, зв®Ўл ўлпбЁвм,
пў«пҐвбп «Ё б«®ў® X ¤«Ёл n Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў Y ¤«Ёл m. (Љ Є нв®
¤Ґ« вм б Ї®¬®ймо бЇҐжЁ «м®Ј® а §¤Ґ«ЁвҐ«п #, ®ЇЁб ® ўлиҐ.) ЏаЁ
н⮬ зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© Ўг¤Ґв Ґ Ў®«ҐҐ C*(n+m), Ё ЁбЇ®«м§гҐ¬ п Ї -
¬пвм ⮦Ґ. ЏаЁ¤г¬ вм, Є Є ®Ў®©вЁбм Ї ¬пвмо Ґ Ў®«ҐҐ Cn (зв® ¬®-
¦Ґв Ўлвм бгйҐб⢥® ¬ҐмиҐ, Ґб«Ё ЁбЄ®¬л© ®Ўа §Ґж Є®а®вЄЁ©,
б«®ў®, ў Є®в®а®¬ ҐЈ® Ёйгв - ¤«Ё®Ґ).
ђҐиҐЁҐ. ЏаЁ¬ҐпҐ¬ «Ј®аЁв¬ ЉЊЏ Є б«®ўг A#B. ЏаЁ н⮬ ўл-
зЁб«ҐЁҐ § 票© l[1],...,l[n] Їа®ў®¤Ё¬ ¤«п б«®ў X ¤«Ёл m Ё
§ Ї®¬Ё Ґ¬ нвЁ § 票п. „ «миҐ ¬л Ї®¬Ё¬ в®«мЄ® § 票Ґ l[i]
¤«п ⥪г饣® i - Єа®¬Ґ ҐЈ® Ё Єа®¬Ґ в Ў«Ёжл l[1]..l[n], ¬ ¤«п
ўлзЁб«ҐЁ© ЁзҐЈ® Ґ 㦮.
Ќ Їа ЄвЁЄҐ б«®ў X Ё Y ¬®Јгв Ґ 室Ёвмбп Ї®¤ап¤, Ї®н⮬г
Їа®б¬®ва б«®ў X Ё § ⥬ б«®ў Y 㤮Ў® ®д®а¬Ёвм ў ўЁ¤Ґ а §ле
жЁЄ«®ў. ќв® Ё§Ў ў«пҐв в Є¦Ґ ®в е«®Ї®в б а §¤Ґ«ЁвҐ«Ґ¬.
10.4.5. Ќ ЇЁб вм ᮮ⢥вбвўгойЁ© «Ј®аЁв¬ (Їа®ўҐапойЁ©, пў-
«пҐвбп «Ё б«®ў® X=x[1]..x[n] Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў Y=y[1]..y[m]).
ђҐиҐЁҐ. ‘ з « ўлзЁб«пҐ¬ в Ў«Ёжг l[1]..l[n] Є Є а миҐ.
‡ ⥬ ЇЁиҐ¬ в Єго Їа®Ја ¬¬г:
j:=0; len:=0
{len - ¤«Ё ¬ ЄбЁ¬ «м®Ј® з « б«®ў X, ®¤®ўаҐ¬Ґ®
пў«по饣®бп Є®ж®¬ б«®ў y[1]..j[j]}
while (len <> n) and (j <> m) do begin
| while (x[len+1] <> y[j+1]) and (len > 0) do begin
| | { з «® ®Є § «®бм ҐЇ®¤е®¤пйЁ¬, ЇаЁ¬ҐпҐ¬ Є Ґ¬г n}
| | len := l[len];
| end;
| { и«Ё Ї®¤е®¤п饥 Ё«Ё гЎҐ¤Ё«Ёбм ў ®вбгвбвўЁЁ}
| if x[len+1] = y[j+1] do begin
| | {x[1]..x[len] - б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ї®¤е®¤п饥 з «®}
| | len := len+1;
| end else begin
| | {Ї®¤е®¤пйЁе Ґв}
| | len := 0;
| end;
| i := i+1;
end;
{Ґб«Ё len=n, б«®ў® X ўбваҐвЁ«®бм; Ё зҐ ¬л ¤®и«Ё ¤® Є®ж
б«®ў Y, в Є Ё Ґ ўбваҐвЁў X}
10.5. Ђ«Ј®аЁв¬ Ѓ®©Ґа - Њга
ќв®в «Ј®аЁв¬ ¤Ґ« Ґв в®, зв® ЇҐаўл© ў§Ј«п¤ Є ¦Ґвбп Ґ-
ў®§¬®¦л¬: ў вЁЇЁз®© бЁвг жЁЁ ® зЁв Ґв «Ёим ҐЎ®«миго з бвм
ўбҐе ЎгЄў б«®ў , ў Є®в®а®¬ ЁйҐвбп § ¤ л© ®Ўа §Ґж. Љ Є в Є ¬®-
¦Ґв Ўлвм? €¤Ґп Їа®бв . Џгбвм, ЇаЁ¬Ґа, ¬л ЁйҐ¬ ®Ўа §Ґж "abcd".
Џ®б¬®ваЁ¬ зҐвўҐавго ЎгЄўг б«®ў : Ґб«Ё, Є ЇаЁ¬Ґаг, нв® ЎгЄў
"e", в® Ґв ЁЄ Є®© Ґ®Ўе®¤Ё¬®бвЁ зЁв вм ЇҐаўлҐ ваЁ ЎгЄўл. (‚
б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ, ў ®Ўа §жҐ ЎгЄўл "e" Ґв, Ї®н⮬㠮 ¬®¦Ґв з вмбп
Ґ а миҐ Їпв®© ЎгЄўл.)
Њл ЇаЁўҐ¤Ґ¬ б ¬го Їа®бв®© ў аЁ в нв®Ј® «Ј®аЁв¬ , Є®в®ал©
Ґ Ј а вЁагҐв Ўлбва®© а Ў®вл ў® ўбҐе б«гз пе. Џгбвм x[1]..x[n]
- ®Ўа §Ґж, Є®в®ал© ¤® ЁбЄ вм. „«п Є ¦¤®Ј® бЁ¬ў®« s ©¤Ґ¬ б -
¬®Ґ Їа ў®Ґ ҐЈ® ўе®¦¤ҐЁҐ ў б«®ў® X, в® Ґбвм ЁЎ®«м襥 k, ЇаЁ
Є®в®а®¬ x[k]=s. ќвЁ ᢥ¤ҐЁп Ўг¤Ґ¬ еа Ёвм ў ¬ ббЁўҐ pos[s]; Ґб-
«Ё бЁ¬ў®« s ў®ўбҐ Ґ ўбваҐз Ґвбп, в® ¬ Ўг¤Ґв 㤮Ў® Ї®«®¦Ёвм
pos[s] = 0 (¬л гўЁ¤Ё¬ ¤ «миҐ, Ї®зҐ¬г).
10.5.1. Љ Є § Ї®«Ёвм ¬ ббЁў pos?
ђҐиҐЁҐ.
Ї®«®¦Ёвм ўбҐ pos[s] а ўл¬Ё 0
for i:=1 to n do begin
pos[x[i]]:=i;
end;
‚ Їа®жҐбᥠЇ®ЁбЄ ¬л Ўг¤Ґ¬ еа Ёвм ў ЇҐаҐ¬Ґ®© last ®¬Ґа ЎгЄўл
ў б«®ўҐ, Їа®вЁў Є®в®а®© Ї®б«Ґ¤пп ЎгЄў ®Ўа §ж . ‚ з «Ґ last = m
(¤«ЁҐ ®Ўа §ж ), § ⥬ Ї®б⥯Ґ® 㢥«ЁзЁў Ґвбп.
last:=m;
{ўбҐ ЇаҐ¤л¤гйЁҐ Ї®«®¦ҐЁп ®Ўа §ж 㦥 Їа®ўҐаҐл}
while last <= m do begin {б«®ў® Ґ Є®зЁ«®бм}
| if x[m] <> y[last] then begin {Ї®б«Ґ¤ЁҐ ЎгЄўл а §лҐ}
| | last := last + (m - pos[y[last]]);
| | {m - pos[y[last]] - нв® ¬ЁЁ¬ «мл© б¤ўЁЈ ®Ўа §ж ,
| | ЇаЁ Є®в®а®¬ Їа®вЁў y[last] ўбв Ґв в Є п ¦Ґ
| | ЎгЄў ў ®Ўа §жҐ. …б«Ё в Є®© ЎгЄўл Ґв ў®®ЎйҐ,
| | в® б¤ўЁЈ Ґ¬ ўбо ¤«Ёг ®Ўа §ж }
| end else begin
| | Ґб«Ё лҐиҐҐ Ї®«®¦ҐЁҐ Ї®¤е®¤Ёв, в.Ґ. Ґб«Ё
| | x[1]..x[m] = y[last-m+1]..y[last],
| | в® б®®ЎйЁвм ® б®ўЇ ¤ҐЁЁ;
| | last := last+1;
| end;
end;
‡ в®ЄЁ ४®¬Ґ¤гов Їа®ўҐаЄг б®ўЇ ¤ҐЁп Їа®ў®¤Ёвм бЇа ў «Ґў®,
в.Ґ. зЁ п б Ї®б«Ґ¤Ґ© ЎгЄўл ®Ўа §ж (ў Є®в®а®© б®ўЇ ¤ҐЁҐ § -
ўҐ¤®¬® Ґбвм). Њ®¦® в Є¦Ґ Ґ¬®Ј® бнЄ®®¬Ёвм, Їа®Ё§ўҐ¤л ўлзЁв -
ЁҐ § а ҐҐ Ё еа п Ґ pos[s], m-pos[s], в.Ґ. зЁб«® ЎгЄў ў ®Ў-
а §жҐ бЇа ў ®в Ї®б«Ґ¤ҐЈ® ўе®¦¤ҐЁп ЎгЄўл s.
‚®§¬®¦л а §лҐ ¬®¤ЁдЁЄ жЁЁ нв®Ј® «Ј®аЁв¬ . Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¬®¦-
® бва®Єг last:=last+1 § ¬ҐЁвм last:=last+(m-u), Ј¤Ґ u - Є®-
®а¤Ё в ўв®а®Ј® бЇа ў ўе®¦¤ҐЁп ЎгЄўл x[m] ў ®Ўа §Ґж.
10.5.2. Љ Є Їа®йҐ ўбҐЈ® гзҐбвм нв® ў Їа®Ја ¬¬Ґ?
ђҐиҐЁҐ. ЏаЁ Ї®бв஥ЁЁ в Ў«Ёжл pos ЇЁб вм
for i:=1 to n-1 do...
ў ®б®ў®© Їа®Ја ¬¬Ґ ў¬Ґбв® last:=last+1 ЇЁб вм
last:= last+m-pos[y[last]];
ЏаЁўҐ¤Ґ п ¬Ё гЇа®йҐл© ў аЁ в «Ј®аЁв¬ Ѓ®©Ґа - Њга
ў ҐЄ®в®але б«гз пе вॡгҐв бгйҐб⢥® Ў®«миҐ n ¤Ґ©бвўЁ© (зЁб«®
¤Ґ©бвўЁ© Ї®ап¤Є mn), Їа®ЁЈалў п «Ј®аЁв¬г Љгв - Њ®ааЁб -
Џа вв .
10.5.3. ЏаЁўҐбвЁ ЇаЁ¬Ґа бЁвг жЁЁ, ў Є®в®а®© ®Ўа §Ґж Ґ ўе®-
¤Ёв ў б«®ў®, ® ў«Ј®аЁв¬г вॡгҐвбп Ї®ап¤Є mn ¤Ґ©бвўЁ©, зв®Ўл
нв® гбв ®ўЁвм.
ђҐиҐЁҐ. Џгбвм ®Ўа §Ґж Ё¬ҐҐв ўЁ¤ baaa..aa, б ¬® б«®ў®
б®бв®Ёв в®«мЄ® Ё§ ЎгЄў a. ’®Ј¤ Є ¦¤®¬ и ЈҐ Ґб®®вўҐвбвўЁҐ
ўлпбпҐвбп «Ёим ў Ї®б«Ґ¤Ё© ¬®¬Ґв.
Ќ бв®пйЁ© (Ґ гЇа®йҐл©) «Ј®аЁв¬ Ѓ®©Ґа - Њга Ј а вЁаг-
Ґв, зв® зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© Ґ Їаў®б室Ёв C*(m+n) ў ег¤иҐ¬ б«гз Ґ. Ћ
ЁбЇ®«м§гҐв Ё¤ҐЁ, Ў«Ё§ЄЁҐ Є Ё¤Ґп¬ «Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб -
Џа вв . ЏаҐ¤бв ўЁ¬ ᥡҐ, зв® ¬л ба ўЁў «Ё ®Ўа §Ґж б® ўе®¤л¬
б«®ў®¬, Ё¤п бЇа ў «Ґў®. ЏаЁ н⮬ ҐЄ®в®ал© Єгб®Є Z (пў«пойЁ©-
бп Є®ж®¬ ®Ўа §ж ) б®ўЇ «, § ⥬ ®Ў аг¦Ё«®бм а §«ЁзЁҐ: ЇҐаҐ¤
Z ў ®Ўа §жҐ бв®Ёв Ґ в®, зв® ў® ўе®¤®¬ б«®ўҐ. —в® ¬®¦® бЄ § вм
ў нв®в ¬®¬Ґв ® ўе®¤®¬ б«®ўҐ? ‚ Ґ¬ ®Ў а㦥 да Ј¬Ґв, а ўл©
Z, ЇҐаҐ¤ Ё¬ бв®Ёв Ґ в ЎгЄў , зв® ў ®Ўа §жҐ. ќв Ёд®а¬ жЁп
¬®¦Ґв Ї®§ў®«Ёвм б¤ўЁгвм ®Ўа §Ґж ҐбЄ®«мЄ® Ї®§ЁжЁ© ўЇа ў® ЎҐ§
аЁбЄ Їа®ЇгбвЁвм ҐЈ® ўе®¦¤ҐЁҐ. ќвЁ б¤ ЁЈЁ б«Ґ¤гҐв ўлзЁб«Ёвм § -
а ҐҐ ¤«п Є ¦¤®Ј® Є®ж Z 襣® ®Ўа §ж . Љ Є Ј®ў®апв § в®ЄЁ,
ўбҐ нв® (ўлзЁб«ҐЁҐ в Ў«Ёжл б¤ўЁЈ®ў Ё ЁбЇ®«м§®ў Ё ҐҐ) ¬®¦®
г«®¦нЁвм ў C*(m+n) ¤Ґ©бвўЁ©.
10.6. Ђ«Ј®аЁв¬ ђ ЎЁ
ќв®в «Ј®аЁв¬ ®б®ў Їа®бв®© Ё¤ҐҐ. ЏаҐ¤бв ўЁ¬ ᥡҐ, зв®
ў б«®ўҐ ¤«Ёл m ¬л ЁйҐ¬ ®Ўа §Ґ¬ ¤«Ёл n. ‚л०Ґ¬ ®Є®иҐзЄ® а §¬Ґ-
а n Ё Ўг¤Ґ¬ ¤ўЁЈ вм ҐЈ® Ї® ўе®¤®¬г б«®ўг. Ќ б ЁвҐаҐбгҐв, Ґ
б®ўЇ ¤ Ґв «Ё б«®ў® ў ®Є®иҐзЄҐ б § ¤ л¬ ®Ўа §ж®¬. ‘а ўЁў вм Ї®
ЎгЄў ¬ ¤®«Ј®. ‚¬Ґбв® нв®Ј® дЁЄбЁа㥬 ҐЄ®в®аго дгЄжЁо б«®ў е
¤«Ёл n. …б«Ё § 票п нв®© дгЄжЁЁ б«®ўҐ ў ®Є®иҐзЄҐ Ё ®Ў-
а §жҐ а §«Ёзл, в® б®ўЇ ¤ҐЁп Ґв. ’®«мЄ® Ґб«Ё § зҐЁп ®¤Ё Є®-
ўл, 㦮 Їа®ўҐапвм б®ўЇ ¤ҐЁҐ Ї® ЎгЄў ¬.
—в® ¬л ўлЁЈалў Ґ¬ ЇаЁ в Є®¬ Ї®¤е®¤Ґ? Љ § «®бм Ўл, ЁзҐЈ® -
ўҐ¤м зв®Ўл ўлзЁб«Ёвм § 票Ґ дгЄжЁЁ б«®ўҐ ў ®Є®иҐзЄҐ, ўбҐ
а ў® 㦮 Їа®зҐбвм ўбҐ ЎгЄўл нв®Ј® б«®ў . ’ Є г¦ «гзиҐ Ёе ба -
§г ба ўЁвм б ®Ўа §ж®¬. ’Ґ¬ Ґ ¬ҐҐҐ ўлЁЈали ў®§¬®¦Ґ, Ё ў®в §
бзҐв 祣®. ЏаЁ б¤ўЁЈҐ ®Є®иҐзЄ б«®ў® Ґ ¬ҐпҐвбп Ї®«®бвмо,
«Ёим ¤®Ў ў«пҐвбп ЎгЄў ў Є®жҐ Ё гЎЁа Ґвбп ў з «Ґ. •®а®и® Ўл,
зв®Ўл Ї® нвЁ¬ ¤ л¬ ¬®¦® Ўл«® Ўл «ҐЈЄ® а ббзЁв вм, Є Є ¬ҐпҐв-
бп дгЄжЁп.
10.6.1. ЏаЁўҐбвЁ ЇаЁ¬Ґа 㤮Ў®© ¤«п ўлзЁб«ҐЁп дгЄжЁЁ.
ђҐиҐЁҐ. ‡ ¬ҐЁ¬ ўбҐ ЎгЄўл ў б«®ўҐ Ё ®Ўа §жҐ Ёе ®¬Ґа ¬Ё,
ЇаҐ¤бв ў«пойЁ¬Ё б®Ў®© жҐ«лҐ зЁб« . ’®Ј¤ 㤮Ў®© дгЄжЁҐ© пў«п-
Ґвбп б㬬 жЁда. (ЏаЁ б¤ўЁЈҐ ®Є®иҐзЄ 㦮 ¤®Ў ўЁвм ®ў®Ґ зЁб«®
Ё ўлзҐбвм Їа®Ї ўиҐҐ.)
„«п Є ¦¤®© дгЄжЁЁ бгйҐбвўгов б«®ў , Є Є®в®ал¬ ® ЇаЁ¬ҐЁ-
¬ Ї«®е®. ‡ в® ¤агЈ п дгЄжЁп ў н⮬ б«гз Ґ ¬®¦Ґв а Ў®в вм е®а®-
и®. ‚®§ЁЄ Ґв Ё¤Ґп: ¤® § Ї бвЁ ¬®Ј® дгЄжЁ© Ё ў з «Ґ а Ў®вл
«Ј®аЁв¬ ўлЎЁа вм Ё§ Ёе б«гз ©го. (’®Ј¤ ўа Ј, ¦Ґ« ойЁ© Ї®¤Ј -
¤Ёвм 襬㠫Ј®аЁв¬г, Ґ Ўг¤Ґв § вм, б Є Є®© Ё¬Ґ® дгЄжЁҐ©
Ґ¬г Ў®а®вмбп.)
10.6.2. ЏаЁўҐбвЁ ЇаЁ¬Ґа ᥬҐ©б⢠㤮Ўле дгЄжЁ©.
ђҐиҐЁҐ. ‚롥६ ҐЄ®в®а®Ґ зЁб«® p (¦Ґ« вҐ«м® Їа®б⮥,
ᬮваЁ ¤ «ҐҐ) Ё ҐЄ®в®ал© ўлзҐв x Ї® ¬®¤г«о p. Љ ¦¤®Ґ б«®ў® ¤«Ё-
л n Ўг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм Є Є Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм 楫ле зЁбҐ« (§ -
¬ҐЁў ЎгЄўл Є®¤ ¬Ё). ќвЁ зЁб« Ўг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм Є Є Є®нддЁжЁ-
Ґвл ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ n-1 Ё ўлзЁб«Ё¬ § 票Ґ нв®Ј® ¬®Ј®з«Ґ
Ї® ¬®¤г«о p ў в®зЄҐ x. ќв® Ё Ўг¤Ґв ®¤ Ё§ дгЄжЁ© ᥬҐ©бвў
(¤«п Є ¦¤®© Ї ал p Ё x Ї®«гз Ґвбп, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бў®п дгЄжЁп).
‘¤ўЁЈ ®Є®иЄ 1 ᮮ⢥вбвўгҐв ўлзЁв Ёо бв а襣® з«Ґ , 㬮-
¦ҐЁо x Ё ¤®Ў ў«ҐЁо бў®Ў®¤®Ј® з«Ґ .
‘«Ґ¤го饥 б®®Ўа ¦ҐЁҐ Ј®ў®аЁв ў Ї®«м§г в®Ј®, зв® б®ўЇ ¤ҐЁп
Ґ б«ЁиЄ®¬ ўҐа®пвл. Џгбвм зЁб«® p дЁЄбЁа®ў ® Ё Є ⮬㠦Ґ Їа®б-
⮥, X Ё Y - ¤ў а §«Ёзле б«®ў ¤«Ёл n. ’®Ј¤ Ё¬ б®®в-
ўҐвбвўгов а §«ЁзлҐ ¬®Ј®з«Ґл (¬л ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґ¬, зв® Є®¤л ўбҐе
ЎгЄў а §«Ёзл - нв® ў®§¬®¦® ЇаЁ p, Ў®«м襬 зЁб« ЎгЄў «д ўЁ-
в ). ‘®ўЇ ¤ҐЁҐ § 票© дгЄжЁЁ ®§ з Ґв, зв® ў в®зЄҐ x нвЁ ¤ў
а §«Ёзле ¬®Ј®з«Ґ б®ўЇ ¤ ов, в® Ґбвм Ёе а §®бвм ®Ўа й Ґвбп ў
0. ђ §®бвм Ґбвм ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ n-1 Ё Ё¬ҐҐв Ґ Ў®«ҐҐ n-1 Є®а-
Ґ©. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё n ¬®Ј® ¬ҐмиҐ p, в® б«гз ©®¬г x ¬ «®
и б®ў Ї®Ї бвм ў Ґг¤ зго в®зЄг.
10.7. Ѓ®«ҐҐ б«®¦лҐ ®Ўа §жл Ё ўв®¬ вл
Њл ¬®¦Ґ¬ ЁбЄ вм Ґ Є®ЄаҐв® б«®ў®, Ї®¤б«®ў § ¤ ®Ј®
ўЁ¤ . Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¬®¦® ЁбЄ вм б«®ў ўЁ¤ a?b, Ј¤Ґ ў¬Ґбв® ? ¬®¦Ґв
бв®пвм «оЎ п ЎгЄў (Ёл¬Ё б«®ў ¬Ё, б ЁвҐаҐбгҐв ЎгЄў b
а ббв®пЁЁ 2 Ї®б«Ґ ЎгЄўл a).
10.7.1 “Є § вм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Їа®ўҐапойЁ©, Ґбвм «Ё ў®
ўе®¤®¬ б«®ўҐ да Ј¬Ґв ўЁ¤ a?b.
ђҐиҐЁҐ. —Ёв п б«®ў®, б«Ґ¤гҐв Ї®¬Ёвм, Ґбвм «Ё ЎгЄў a
Ї®б«Ґ¤Ґ¬ ¬Ґб⥠Ё ЇаҐ¤Ї®б«Ґ¤Ґ¬ - Ї®Є Ґ ўбваҐвЁ¬ ЁбЄ®¬л©
да Ј¬Ґв. Џ®«гз Ґ¬ в Є®© ўв®¬ в:
‘в ஥ б®бв®пЁҐ ЋзҐаҐ¤ п ЎгЄў Ќ®ў®Ґ б®бв®пЁҐ
00 a 01
00 Ґ a 01
01 a 11
01 Ґ a 10
10 a 01
10 b ©¤Ґ®
10 Ґ a Ё Ґ b 00
11 a 11
11 b ©¤Ґ®
11 Ґ a Ё Ґ b 10
„агЈ®© бв ¤ авл© § Є ў ®Ўа §жҐ - нв® §ўҐ§¤®зЄ (*),
¬Ґбв® Є®в®а®© ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®¤бв ў«Ґ® «оЎ®Ґ б«®ў®. Ќ ЇаЁ¬Ґа, ®Ў-
а §Ґж ab*cd ®§ з Ґв, зв® ¬л ЁйҐ¬ Ї®¤б«®ў® ab, § Є®в®ал¬ б«Ґ¤г-
Ґв зв® гЈ®¤®, § ⥬ ( «оЎ®¬ а ббв®пЁЁ) б«Ґ¤гҐв cd.
10.7.2. “Є § вм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Їа®ўҐапойЁ©, Ґбвм «Ё ў®
ўе®¤®¬ б«®ўҐ ®Ўа §Ґж ab*cd (ў ®ЇЁб ®¬ в®«мЄ® зв® б¬лб«Ґ).
ђҐиҐЁҐ.
‘в ஥ б®бв®пЁҐ ЋзҐаҐ¤ п ЎгЄў Ќ®ў®Ґ б®бв®пЁҐ
з a a
з Ґ a з
a b ab
a a a
a Ґ a Ё Ґ b з
ab c abc
ab Ґ c ab
abc d ©¤Ґ®
abc c abc
abc Ґ б Ё Ґ d ab
…йҐ ®¤Ё ўЁ¤ Ї®ЁбЄ - нв® Ї®ЁбЄ «оЎ®Ј® Ё§ б«®ў® ҐЄ®в®а®Ј®
бЇЁбЄ .
10.7.3. „ бЇЁб®Є б«®ў X[1],...,X[k] Ё б«®ў® Y. ЋЇаҐ¤Ґ-
«Ёвм, ўе®¤Ёв «Ё е®вп Ўл ®¤® Ё§ б«®ў X[i] ў б«®ў® Y (Є Є Ї®¤б«®-
ў®). Љ®«ЁзҐбвў® ¤Ґ©бвўЁ© Ґ ¤®«¦® ЇаҐў®б室Ёвм Є®бв вл, 㬮-
¦Ґ®© б㬬 аго ¤«Ёг ўбҐе б«®ў (Ё§ бЇЁбЄ Ё в®Ј®, ў Є®в®а®¬
Їа®Ёб室Ёв Ї®ЁбЄ).
ђҐиҐЁҐ. ЋзҐўЁ¤л© бЇ®б®Ў б®бв®Ёв ў ⮬, зв®Ўл Є ¦¤®Ґ б«®ў®
Ё§ бЇЁбЄ Їа®ўҐапвм ®в¤Ґ«м® (б Ї®¬®ймо ®¤®Ј® Ё§ а бᬮваҐле
«Ј®аЁв¬®ў). Ћ¤ Є® ЇаЁ н⮬ ¬л Ґ гЄ« ¤лў Ґ¬бп ў § ¤ ®Ґ зЁб«®
¤Ґ©бвўЁ© (Ё§-§ 㬮¦ҐЁп k ¤«Ёг б«®ў Y).
Џ®б¬®ваЁ¬ ¤Ґ«® б ¤агЈ®© бв®а®л. Љ ¦¤®¬г ®Ўа §жг Ё§
ᯨ᪠ᮮ⢥вбвўгҐв Є®Ґзл© ўв®¬ в б ҐЄ®в®ал¬ ¬®¦Ґбвў® б®б-
в®пЁ©. €е ¬®¦® ®ЎкҐ¤ЁЁвм ў ®¤Ё ўв®¬ в, ¬®¦Ґбвў®¬ б®бв®пЁ©
Є®в®а®Ј® Ўг¤Ґв Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ ¬®¦Ґбвў б®бв®пЁ© ўбҐе вҐе ўв®¬ -
в®ў. ќв® - ®зҐм Ў®«м讥 ¬®¦Ґбвў®. Ћ¤ Є® б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ
Ў®«миЁбвў® ҐЈ® н«Ґ¬Ґв®ў Ґ¤®бвгЇл (Ґ ¬®Јгв Ї®пўЁвмбп ЇаЁ
з⥨Ё ўе®¤®Ј® б«®ў ) Ё § бзҐв нв®Ј® Ї®«гз Ґвбп нЄ®®¬Ёп. ЏаЁ-
¬Ґа® нвг Ё¤Ґо (® ў Ё§¬ҐҐ®¬ ўЁ¤Ґ) ¬л Ё Ўг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм.
‚бЇ®¬Ё¬ «Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв . ‚ Ґ¬, зЁв п
ўе®¤®Ґ б«®ў®, ¬л еа Ё«Ё ЁЎ®«м襥 з «® ®Ўа §ж , пў«по饥бп
Є®ж®¬ Їа®зЁв ®© з бвЁ. ’ҐЇҐам ¬ б«Ґ¤гҐв еа Ёвм ¤«п Є ¦¤®Ј®
Ё§ ®Ўа §ж®ў ЁЎ®«м襥 ҐЈ® з «®, пў«по饥бп Є®ж®¬ Їа®зЁв ®©
з бвЁ. ђҐи ойЁ¬ ®Є §лў Ґвбп в Є®Ґ § ¬Ґз ЁҐ: ¤®бв в®з® еа Ёвм
б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ Ёе - ўбҐ ®бв «млҐ Ї® Ґ¬г ў®ббв ў«Ёў овбп
(Є Є ЁЎ®«миЁҐ з « ®Ўа §ж®ў, пў«пойЁҐбп ҐЈ® Є®ж ¬Ё).
‘Є«ҐЁ¬ ўбҐ ®Ўа §жл ў ¤ҐаҐў®, ®ЎкҐ¤ЁЁў Ёе б®ўЇ ¤ ойЁҐ -
з «млҐ гз бвЄЁ. Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ў®аг ®Ўа §ж®ў
{aaa, aab, abab}
ᮮ⢥вбвўгҐв ¤ҐаҐў®
a/ *
a a / b
* --- * --- * --- *
\b a b
\ * --- * --- *
”®а¬ «м® Ј®ў®ап, ўҐаиЁ ¬Ё ¤ҐаҐў пў«повбп ўбҐ з « ўбҐе ®Ў-
а §ж®ў, бл®ўмп ўҐаиЁл Ї®«гз овбп ЇаЁЇЁблў ЁҐ¬ ЎгЄўл.
—Ёв п ўе®¤®Ґ б«®ў®, ¬л ¤ўЁЈ Ґ¬бп Ї® н⮬㠤ҐаҐўг: ⥪гй п ўҐа-
иЁ - нв® ЁЎ®«ми п (б ¬ п Їа ў п) Ё§ ўҐаиЁ, пў«пойЁебп Є®-
殬 Їа®зЁв ®© з бвЁ (= ЁЎ®«миЁ© Є®Ґж Їа®зЁв ®© з бвЁ, пў-
«пойЁ©бп з «®¬ ®¤®Ј® Ё§ ®Ўа §ж®ў).
ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬ дгЄжЁо n, аЈг¬Ґв ¬Ё Ё § 票ﬨ Є®в®а®© пў«повбп
ўҐаиЁл ¤ҐаҐў . €¬Ґ®, n(P) = ЁЎ®«ми п ўҐаиЁ ¤ҐаҐў , пў«п-
ой пбп Є®ж®¬ P. (Ќ Ї®¬Ё¬, ўҐаиЁл ¤ҐаҐў - нв® б«®ў .) Ќ ¬ Ї®-
¤®ЎЁвбп в Є®Ґ г⢥তҐЁҐ:
10.7.4. Џгбвм P - ўҐаиЁ ¤ҐаҐў . „®Є ¦ЁвҐ, зв® ¬®¦Ґбвў®
ўбҐе ўҐаиЁ, пў«пойЁебп Є®ж ¬Ё P, а ў® {n(P), n(n(P)),...}
ђҐиҐЁҐ. ‘¬. ¤®Є § ⥫мбвў® «®ЈЁз®Ј® г⢥তҐЁп ¤«п
«Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв .
’ҐЇҐам пб®, з⮠㦮 ¤Ґ« вм, 室пбм ў ўҐаиЁҐ P Ё зЁв п
ЎгЄўг y ўе®¤®Ј® б«®ў . Ќ ¤® Їа®б¬ ваЁў вм Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м® ўҐа-
иЁл P, n(P), n(n(P)) Ё в.¤., Ї®Є Ґ ®Ў аг¦Ёвбп в Є п, Ё§ Є®-
в®а®© ўл室Ёв бв५Є б ЎгЄў®© y. ’ ўҐаиЁ , ў Є®в®аго нв
бв५Є ўҐ¤Ґв, Ё Ўг¤Ґв иЁ¬ б«Ґ¤гойЁ¬ Ї®«®¦ҐЁҐ¬.
Ћбв Ґвбп Ї®пвм, Є Є ¤«п Є ¦¤®© ўҐаиЁл ¤ҐаҐў ўлзЁб«Ёвм
гЄ § вҐ«м § 票Ґ дгЄжЁЁ n ў нв®© ўҐаиЁҐ. ќв® ¤Ґ« Ґвбп Є Є
а миҐ, ЇаЁ н⮬ § 票п n ¤«п Ў®«ҐҐ Є®а®вЄЁе б«®ў ЁбЇ®«м§говбп
ЇаЁ ўлзЁб«ҐЁЁ ®зҐаҐ¤®Ј® § 票п дгЄжЁЁ n. ќв® ®§ з Ґв, зв®
ўҐаиЁл ¤ҐаҐў б«Ґ¤гҐв Їа®б¬ ваЁў вм ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв Ёп Ёе
¤«Ёл. ЌҐва㤮 Ї®пвм, зв® ўбҐ нв® ¬®¦® г«®¦Ёвм ў вॡ㥬®Ґ
зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© (е®вп Є®бв в § ўЁбЁв ®в зЁб« ЎгЄў ў «д ўЁ-
вҐ). Ћв®бпйЁҐбп Є н⮬㠯®¤а®Ў®бвЁ б¬. ў Ј« ўҐ ®Ў «Ј®аЁв¬ е
Ја д е.
Њ®¦® Ї®ЁвҐаҐб®ў вмбп, Є ЄЁҐ бў®©бвў б«®ў ¬®¦® а бЇ®§ -
ў вм б Ї®¬®ймо Є®Ґзле ўв®¬ в®ў. ЋЄ §лў Ґвбп, зв® бгйҐбвўгҐв
Їа®бв® ®ЇЁблў Ґ¬л© Є« бб ®Ўа §ж®ў, § ¤ ойЁ© ўбҐ в ЄЁҐ бў®©бвў -
Є« бб ॣг«пале ўла ¦ҐЁ©.
ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ. Џгбвм дЁЄЁбЁа®ў Є®Ґзл© «д ўЁв ѓ, Ґ б®-
¤Ґа¦ йЁ© бЁ¬ў®«®ў 'l', 'e', '(', ')', '*' Ё '|' (®Ё Ўг¤гв Ёб-
Ї®«м§®ў вмбп ¤«п Ї®бв஥Ёп ॣг«пале ўла ¦ҐЁ© Ё Ґ ¤®«¦л ЇҐ-
६ҐиЁў вмбп б ЎгЄў ¬Ё). ђҐЈг«палҐ ўла ¦ҐЁп бва®пвбп Ї® в ЄЁ¬
Їа ўЁ« ¬:
( ) ЎгЄў «д ўЁв ѓ - ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ;
(Ў) бЁ¬ў®«л 'l', 'e' - ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп;
(ў) Ґб«Ё A,B,C,..,E - ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп, в® (ABC...E) -
ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ.
(Ј) Ґб«Ё A,B,C,..,E - ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп, в®
(A|B|C|...|E) - ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ.
(¤) Ґб«Ё A - ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, в® A* - ॣг«п஥ ўла -
¦ҐЁҐ.
Љ ¦¤®Ґ ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ § ¤ Ґв ¬®¦Ґбвў® б«®ў ў «д ўЁвҐ ѓ
Ї® в ЄЁ¬ Їа ўЁ« ¬:
( ) ЎгЄўҐ ᮮ⢥вбвўгҐв ®¤®н«Ґ¬Ґв®Ґ ¬®¦Ґбвў®, б®бв®п饥
Ё§ ®¤®ЎгЄўҐ®Ј® б«®ў , б®бв®п饣® Ё§ нв®© ЎгЄўл;
(Ў) бЁ¬ў®«г 'e' ᮮ⢥вбвўгҐв Їгб⮥ ¬®¦Ґбвў®, бЁ¬ў®«г
'l' - ®¤®н«Ґ¬Ґв®Ґ ¬®¦Ґбвў®, Ґ¤ЁбвўҐл¬ н«Ґ¬Ґв®¬
Є®в®а®Ј® пў«пҐвбп Їгб⮥ б«®ў®;
(ў) ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо (ABC...E) ᮮ⢥вбвўгҐв ¬®¦Ґбвў®
ўбҐе б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦® Ї®«гзЁвм, Ґб«Ё Є б«®ўг Ё§ A
ЇаЁЇЁб вм б«®ў® Ё§ B, § ⥬ Ё§ C,..., § ⥬ Ё§ E ("Є®-
Є ⥠жЁп" ¬®¦Ґбвў);
(Ј) ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо (A|B|C|...|E) ᮮ⢥вбвўгҐв
®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ ¬®¦Ґбвў, ᮮ⢥вбвўгойЁе ўла ¦ҐЁп¬
A,B,C,..,E;
(¤) ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо A* ᮮ⢥вбвўгҐв "ЁвҐа жЁп" ¬®-
¦Ґбвў , ᮮ⢥вбвўго饣® ўла ¦ҐЁо A, в® Ґбвм ¬®¦Ґбвў®
ўбҐе б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦® в Є а §аҐ§ вм ЄгбЄЁ, зв®
Є ¦¤л© Єгб®Є ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв ¬®¦Ґбвўг, ᮮ⢥вбвўго饬г
ўла ¦ҐЁо A. (‚ з бв®бвЁ, Їгб⮥ б«®ў® ўбҐЈ¤ ᮤҐа-
¦Ёвбп ў A*.)
ЏаЁ¬Ґал
‚ла ¦ҐЁҐ Њ®¦Ґбвў®
(a|b)* ўбҐ б«®ў Ё§ ЎгЄў a Ё b
(aa)* ўбҐ б«®ў Ё§ зҐв®Ј® зЁб« ЎгЄў a
(l|a|b|aa|ab|ba|bb) «оЎ®Ґ б«®ў® Ё§ Ґ Ў®«ҐҐ 祬 2 ЎгЄў a,b
10.7.5. Ќ ЇЁб вм ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, Є®в®а®¬г б®®в-
ўҐвбвўгҐв ¬®¦Ґбвў® ўбҐе б«®ў Ё§ ЎгЄў a Ё b, ў Є®в®але зЁб«®
ЎгЄў a зҐв®.
ђҐиҐЁҐ. ‚ла ¦ҐЁҐ b* § ¤ Ґв ўбҐ б«®ў ЎҐ§ a, ўла ¦ҐЁҐ
(b* a b* a b*)
- ўбҐ б«®ў а®ў® б ¤ўг¬п ЎгЄў ¬Ё a. Ћбв Ґвбп ®ЎкҐ¤ЁЁвм нвЁ
¬®¦Ґбвў , Ї®в®¬ ЇаЁ¬ҐЁвм ЁвҐа жЁо:
((b* a b* a b*) | b*)*
10.7.6. Ќ ЇЁб вм ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, Є®в®а®Ґ § ¤ Ґв ¬®-
¦Ґбвў® ўбҐе б«®ў Ё§ ЎгЄў a,b,c, ў Є®в®але б«®ў® bac пў«пҐвбп
Ї®¤б«®ў®¬.
ђҐиҐЁҐ. ((a|b|c)* bac (a|b|c)*)
’ҐЇҐам § ¤ зг ® Ї®ЁбЄҐ ®Ўа §ж ў б«®ўҐ ¬®¦® ЇҐаҐд®а¬г«Ёа®-
ў вм в Є: Їа®ўҐаЁвм, ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв «Ё б«®ў® ¬®¦Ґбвўг, б®®в-
ўҐвбвўго饬㠤 ®¬г ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо.
10.7.7. Љ ЄЁҐ ўла ¦ҐЁп ᮮ⢥вбвўгов ®Ўа §ж ¬ a?b Ё ab*cd,
а бᬮваҐл¬ а ҐҐ? (‚ ®Ўа §жҐ '*' ЁбЇ®«м§гҐвбп Ґ ў ⮬ б¬лб-
«Ґ, зв® ў ॣг«пале ўла ¦ҐЁпе!) ЏаҐ¤Ї®« Ґвбп, зв® «д ўЁв б®-
¤Ґа¦Ёв ЎгЄўл a,b,c,d,e.
ђҐиҐЁҐ. ((a|b|c|d|e)* a (a|b|c|d|e) b (a|b|c|d|e)*) Ё
((a|b|c|d|e)* ab (a|b|c|d|e)* cd (a|b|c|d|e)*).
10.7.8. „®Є § вм, зв® ¤«п ўбпЄ®Ј® ॣг«па®Ј® ўла ¦ҐЁп
¬®¦® Ї®бва®Ёвм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Є®в®ал© а бЇ®§ Ґв б®®в-
ўҐвбвўго饥 н⮬㠢ла ¦ҐЁо ¬®¦Ґбвў® б«®ў.
ђҐиҐЁҐ. Ќ ¬ Ї®вॡгҐвбп ®ў®Ґ Ї®пвЁҐ - Ї®пвЁҐ Ёбв®зЁЄ
(Ё«Ё Ґ¤ҐвҐа¬ЁЁа®ў ®Ј® Є®Ґз®Ј® ўв®¬ в ). ЏаҐ¤бв ўЁ¬ ᥡҐ
®аЁҐвЁа®ў л© Ја д - Є авЁЄг Ё§ ҐбЄ®«мЄЁе в®зҐЄ (ўҐаиЁ) Ё
ҐЄ®в®але бв५®Є, ᮥ¤ЁпойЁе нвЁ в®зЄЁ (ॡҐа). Џгбвм ҐЄ®-
в®але ॡа е ЇЁб л ЎгЄўл (Ґ ®Ўп§ вҐ«м® ўбҐе). Џгбвм в Є-
¦Ґ б।Ё ўҐаиЁ ўлЎа л ¤ўҐ - з «м п Ќ Ё Є®Ґз п Љ. ’ Є п
Є авЁЄ §лў Ґвбп Ёбв®зЁЄ®¬.
Ѓг¤Ґ¬ ¤ўЁЈ вмбп а §«Ёзл¬Ё бЇ®б®Ў ¬Ё Ё§ Ќ ў Љ, зЁв п ЎгЄўл
Ї® ¤®а®ЈҐ ( вҐе бв५Є е, Ј¤Ґ ®Ё Ґбвм). Љ ¦¤®¬г ЇгвЁ Ё§ Ќ ў
Љ, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ᮮ⢥вбвўгҐв ҐЄ®в®а®Ґ б«®ў®. Ђ Ёбв®зЁЄг ў
楫®¬ ᮮ⢥вбвўгҐв ¬®¦Ґбвў® б«®ў - вҐе б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦®
Їа®зҐбвм Їгвпе Ё§ Ќ ў Љ.
‡ ¬Ґз ЁҐ. …б«Ё аЁб®ў вм б®бв®пЁп Є®Ґз®Ј® ўв®¬ в ў
ўЁ¤Ґ в®зҐЄ, ЇҐаҐе®¤л ЇаЁ з⥨Ё ЎгЄў Ё§®Ўа §Ёвм ў ўЁ¤Ґ бваҐ-
«®Є, в® бв Ґв пб®, зв® Є®Ґзл© ўв®¬ в - нв® з бвл© б«гз ©
Ёбв®зЁЄ .
Њл Ўг¤Ґ¬ бва®Ёвм Є®Ґзл© ўв®¬ в Ї® ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо
ў ¤ў ЇаЁҐ¬ . ‘ з « ¬л Ї®бва®Ё¬ Ёбв®зЁЄ, Є®в®а®¬г б®®в-
ўҐвбвўгҐв в® ¦Ґ б ¬®Ґ ¬®¦Ґбвў® б«®ў. ‡ ⥬ ¤«п Їа®Ё§ў®«м®Ј®
Ёбв®зЁЄ Ї®бва®Ё¬ ўв®¬ в, Є®в®ал© Їа®ўҐапҐв, ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв «Ё
б«®ў® ᮮ⢥вбвўго饬㠬®¦Ґбвўг.
10.7.9. Џ® ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо Ї®бва®Ёвм Ёбв®зЁЄ, § ¤ -
ойЁ© в® ¦Ґ ¬®¦Ґбвў®.
ђҐиҐЁҐ. €¤гЄжЁп Ї® Ї®бв஥Ёо ॣг«па®Ј® ўла ¦ҐЁп. ЃгЄ-
ў ¬ ᮮ⢥вбвўгов Ја дл Ё§ ®¤®© бв५ЄЁ. ЋЎкҐ¤ЁҐЁҐ ॠ«Ё§гҐв-
бп в Є:
|---------|
---->|*Ќ1 Љ1*|->---
/ |---------| \
/ |---------| \
* --------->|*Ќ2 Љ2*|--->-----* Љ
Ќ \ |---------| /
\ |---------| /
--->|*Ќ3 Љ3*|--->--
|---------|
Ќ аЁб®ў Є авЁЄ ¤«п ®ЎкҐ¤ЁҐЁп ваҐе ¬®¦Ґбвў, Їаאַ-
гЈ®«мЁЄЁ - нв® Ёбв®зЁЄЁ, ᮮ⢥вбвўгойЁҐ Ё¬; гЄ § л з «млҐ
Ё Є®ҐзлҐ ўҐаиЁл. Ќ ®ўле бв५Є е (Ёе 6) ЎгЄў Ґ ЇЁб ®.
Љ®Є ⥠樨 ᮮ⢥вбвўгҐв Є авЁЄ
|--------| |--------| |--------|
Ќ*--->|*Ќ1 Љ1*|---->----|*Ќ2 Љ2*| ---->----|*Ќ3 Љ3*|-->--*Љ
|--------| |--------| |--------|
Ќ Є®Ґж, ЁвҐа жЁЁ ᮮ⢥вбвўгҐв Є авЁЄ
Ќ*--------->----------*----------->----------*Љ
/ \
/ \
| |
V ^
| |
-------------
| *Ќ1 Љ1* |
-------------
10.7.10. „ Ёбв®зЁЄ. Џ®бва®Ёвм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Їа®ўҐап-
ойЁ©, ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв «Ё ўе®¤®Ґ б«®ў® ¬®¦Ґбвўг, ᮮ⢥вбвўго饬г
Ёбв®зЁЄг (в.Ґ. ¬®¦® «Ё Їа®зҐбвм нв® б«®ў®, Ё¤п Ё§ Ќ ў Љ).
ђҐиҐЁҐ. ‘®бв®пЁп¬Ё ўв®¬ в Ўг¤гв ¬®¦Ґбвў ўҐаиЁ Ёбв®з-
ЁЄ . €¬Ґ®, Їа®звп ҐЄ®в®а®Ґ з «® X ўе®¤®Ј® б«®ў , ¬л Ўг¤Ґ¬
Ї®¬Ёвм ¬®¦Ґбвў® ўбҐе ўҐаиЁ Ёбв®зЁЄ , ў Є®в®алҐ ¬®¦® Їа®©вЁ
Ё§ з «м®©, Їа®зЁв ў ЇгвЁ б«®ў® X.
ЋЄ §лў Ґвбп, з⮠ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп, ўв®¬ вл Ё Ёбв®зЁЄЁ
а бЇ®§ ов ®¤Ё Ё ⥠¦Ґ ¬®¦Ґбвў . —в®Ўл гЎҐ¤Ёвмбп ў н⮬, ¬
®бв «®бм аҐиЁвм в Єго § ¤ зг:
10.7.11. „ Ёбв®зЁЄ. Џ®бва®Ёвм ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, § -
¤ о饥 в® ¦Ґ ¬®¦Ґбвў®, зв® Ё нв®в Ёбв®зЁЄ.
ђҐиҐЁҐ. (‘®®ЎйҐ® гз бвЁЄ ¬Ё Їа®бҐ¬Ё а Ї® «®ЈЁЄҐ.)
Џгбвм Ёбв®зЁЄ Ё¬ҐҐв ўҐаиЁл 1..k. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® 1 - нв®
з «®, k - Є®Ґж. —ҐаҐ§ D[i,j, s] ®Ў®§ зЁ¬ ¬®¦Ґбвў® ўбҐе
б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦® Їа®зҐбвм ЇгвЁ Ё§ i ў j, Ґб«Ё ў Є зҐб⢥
Їа®¬Ґ¦гв®зле ЇгЄв®ў а §аҐи Ґвбп ЁбЇ®«м§®ў вм в®«мЄ® ўҐаиЁл
1,...,s. ‘®Ј« б® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо, Ёбв®зЁЄг ᮮ⢥вбвўгҐв ¬®¦Ґбвў®
D[1,k,k].
€¤гЄжЁҐ© Ї® s Ўг¤Ґ¬ ¤®Є §лў вм ॣг«па®бвм ўбҐе ¬®¦Ґбвў
D[i,j,s] ЇаЁ ўбҐе i Ё j. ЏаЁ s=0 нв® ®зҐўЁ¤® (Їа®¬Ґ¦гв®злҐ
ўҐаиЁл § ЇаҐйҐл, Ї®н⮬㠪 ¦¤®Ґ Ё§ ¬®¦Ґбвў б®бв®Ёв в®«мЄ® Ё§
ЎгЄў).
€§ 祣® б®бв®Ёв ¬®¦Ґбвў® D[i,j,s+1]? Ћв¬ҐвЁ¬ ЇгвЁ ¬®-
¬Ґвл, ў Є®в®але ® § 室Ёв ў s+1-го ўҐаиЁг. ЏаЁ н⮬ Їгвм а §-
ЎЁў Ґвбп з бвЁ, Є ¦¤ п Ё§ Є®в®але 㦥 Ґ § 室Ёв ў ҐҐ. Џ®-
н⮬㠫ҐЈЄ® б®®Ўа §Ёвм, зв®
D[i,j,s+1] = (D[i,j,s]| (D[i,s+1,s] D[s+1,s+1,s]* D[s+1,j,s]))
(ў®«м®бвм § ЇЁбЁ: ¬л ЁбЇ®«м§гҐ¬ ¤«п ®ЇҐа жЁ© ¤ ¬®¦Ґбвў ¬Ё
®Ў®§ зҐЁп Є Є ¤«п ॣг«пале ўла ¦ҐЁ©). Ћбв Ґвбп ў®бЇ®«м§®-
ў вмбп ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁҐ¬ Ё¤гЄжЁЁ.
10.7.12. ѓ¤Ґ ҐйҐ ЁбЇ®«м§гҐвбп в® ¦Ґ б ¬®Ґ а бб㦤ҐЁҐ?
ЋвўҐв. ‚ «Ј®аЁв¬Ґ ”«®©¤ ўлзЁб«ҐЁп жҐл Єа вз ©иҐЈ® ЇгвЁ,
б¬. Ј« ўг 9 (ЌҐЄ®в®алҐ «Ј®аЁв¬л Ја д е).
10.7.13. „®Є § вм, зв® Є« бб ¬®¦Ґбвў, § ¤ ў Ґ¬ле ॣг«па-
л¬Ё ўла ¦ҐЁп¬Ё, Ґ Ё§¬ҐЁ«бп Ўл, Ґб«Ё Ўл ¬л а §аҐиЁ«Ё Ёб-
Ї®«м§®ў вм Ґ в®«мЄ® ®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ, ® Ё ®ваЁж ЁҐ ( б«Ґ¤®ў -
⥫м®, Ё ЇҐаҐбҐзҐЁҐ - ®® ўла ¦ Ґвбп зҐаҐ§ ®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ Ё ®ваЁ-
ж ЁҐ).
ђҐиҐЁҐ. „«п ўв®¬ в®ў ЇҐаҐе®¤ Є ®ваЁж Ёо ®зҐўЁ¤Ґ.
‡ ¬Ґз ЁҐ. Ќ Їа ЄвЁЄҐ ў ¦го а®«м ЁЈа Ґв зЁб«® б®бв®пЁ©
ўв®¬ в . ЋЄ §лў Ґвбп, зв® вг⠢ᥠҐ в Є Їа®бв®, Ё ЇҐаҐе®¤ ®
Ёбв®зЁЄ Є ўв®¬ вг вॡгҐв нЄбЇ®ҐжЁ «м®Ј® а®бв зЁб« б®б-
в®пЁ©. Џ®¤а®Ў®Ґ а бᬮв२Ґ бўп§ ле б нвЁ¬ ⥮аҐвЁзҐбЄЁе Ё
Їа ЄвЁзҐбЄЁе ў®Їа®б®ў - ¤Ґ«® ®б®Ў®Ґ.
10.1. Џа®б⥩訩 ЇаЁ¬Ґа.
10.1.1. €¬ҐҐвбп Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм бЁ¬ў®«®ў x[1]..x[n]. ЋЇ-
।Ґ«Ёвм, Ё¬Ґовбп «Ё ў Ґ© Ё¤гйЁҐ ¤агЈ § ¤агЈ®¬ бЁ¬ў®«л "abcd".
(„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, вॡгҐвбп ўлпбЁвм, Ґбвм «Ё ў б«®ўҐ x[1]..x[n]
Ї®¤б«®ў® "abcd".)
ђҐиҐЁҐ. €¬ҐҐвбп ЇаЁ¬Ґа® n (Ґб«Ё Ўлвм в®зл¬, n-3) Ї®§ЁжЁ©,
Є®в®але ¬®¦Ґв 室Ёвмбп ЁбЄ®¬®Ґ Ї®¤б«®ў® ў Ёб室®¬ б«®ўҐ.
„«п Є ¦¤®© Ё§ Ї®§ЁжЁ© ¬®¦® Їа®ўҐаЁвм, ¤Ґ©бвўЁвҐ«м® «Ё в ¬ ®®
室Ёвбп, ба ўЁў зҐвлॠᨬў®« . Ћ¤ Є® Ґбвм Ў®«ҐҐ нд䥪⨢л©
бЇ®б®Ў. —Ёв п б«®ў® x[1]..x[n] б«Ґў Їа ў®, ¬л ®¦Ё¤ Ґ¬ Ї®пў«Ґ-
Ёп ЎгЄўл 'a'. Љ Є в®«мЄ® ® Ї®пўЁ« бм, ¬л ¦¤Ґ¬ § Ґ© ЎгЄўг
'b', § ⥬ 'c', Ё, Є®Ґж, 'd'. …б«Ё иЁ ®¦Ё¤ Ёп ®Їа ў¤лў ов-
бп, в® б«®ў® "abcd" ®Ў а㦥®. …б«Ё ¦Ґ Є Є п-в® Ё§ г¦ле ЎгЄў
Ґ Ї®пў«пҐвбп, ¬л ®Є §лў Ґ¬бп г а §ЎЁв®Ј® Є®алв Ё зЁ Ґ¬ ўбҐ
б з « .
ќв®в Їа®бв®© «Ј®аЁв¬ ¬®¦® ®ЇЁб вм ў а §ле вҐа¬Ё е. €б-
Ї®«м§гп вҐа¬Ё®«®ЈЁо в Є §лў Ґ¬ле Є®Ґзле ўв®¬ в®ў, ¬®¦®
бЄ § вм, зв® ЇаЁ з⥨Ё б«®ў x б«Ґў Їа ў® ¬л ў Є ¦¤л© ¬®¬Ґв
室Ё¬бп ў ®¤®¬ Ё§ б«Ґ¤гойЁе б®бв®пЁ©: " з «м®Ґ" (0),
"ба §г Ї®б«Ґ a" (1), "ба §г Ї®б«Ґ ab" (2), "ба §г Ї®б«Ґ abc" (3)
Ё "ба §г Ї®б«Ґ abcd" (4). —Ёв п ®зҐаҐ¤го ЎгЄўг, ¬л ЇҐаҐе®¤Ё¬ ў
б«Ґ¤го饥 б®бв®пЁҐ Ї® Їа ўЁ«г
’ҐЄг饥 ЋзҐаҐ¤ п Ќ®ў®Ґ
б®бв®пЁҐ ЎгЄў б®бв®пЁҐ
0 a 1
0 Єа®¬Ґ a 0
1 b 2
1 a 1
1 Єа®¬Ґ a,b 0
2 c 3
2 a 1
2 Єа®¬Ґ a,c 0
3 d 4
3 a 1
3 Єа®¬Ґ a,d 0
Љ Є в®«мЄ® ¬л Ї®Ї ¤Ґ¬ ў б®бв®пЁҐ 4, а Ў®в § Є зЁў Ґвбп.
‘®®вўҐвбвўгой п Їа®Ја ¬¬ ®зҐўЁ¤ :
i:=1; state:=0;
{i - ЇҐаў п ҐЇа®зЁв п ЎгЄў , state - б®бв®пЁҐ}
while (i<> n+1) and (state <> 4) do begin
if state = 0 then begin
if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 1 then begin
if x[i] = b then begin
state:= 2;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 2 then begin
if x[i] = c then begin
state:= 3;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 3 then begin
if x[i] = d then begin
state:= 4;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end;
end;
answer := (state = 4);
€л¬Ё б«®ў ¬Ё, ¬л ў Є ¦¤л© ¬®¬Ґв еа Ё¬ Ёд®а¬ жЁо ® ⮬,
Є Є®Ґ ¬ ЄбЁ¬ «м®Ґ з «® 襣® ®Ўа §ж "abcd" пў«пҐвбп Є®ж®¬
Їа®зЁв ®© з бвЁ. (…Ј® ¤«Ё Ё Ґбвм в® "б®бв®пЁҐ", ® Є®в®а®¬
и« аҐзм.)
’Ґа¬Ё®«®ЈЁп, ¬Ё ЁбЇ®«м§гҐ¬ п, в Є®ў . ‘«®ў® - нв® «оЎ п
Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм бЁ¬ў®«®ў Ё§ ҐЄ®в®а®Ј® дЁЄбЁа®ў ®Ј® Є®Ґз-
®Ј® ¬®¦Ґбвў . ќв® ¬®¦Ґбвў® §лў Ґвбп «д ўЁв®¬, ҐЈ® н«Ґ¬Ґвл
- ЎгЄў ¬Ё. …б«Ё ®вЎа®бЁвм ҐбЄ®«мЄ® ЎгЄў б Є®ж б«®ў , ®бв Ґв-
бп ¤агЈ®Ґ б«®ў®, §лў Ґ¬®Ґ з «®¬ ЇҐаў®Ј®. ‹оЎ®Ґ б«®ў® в Є¦Ґ
бзЁв Ґвбп бў®Ё¬ з «®¬. Љ®Ґж б«®ў - в®, зв® ®бв Ґвбп, Ґб«Ё
®вЎа®бЁвм ҐбЄ®«мЄ® ЇҐаўле ЎгЄў. ‹оЎ®Ґ б«®ў® бзЁв Ґвбп бў®Ё¬
Є®ж®¬. Џ®¤б«®ў® - в®, зв® ®бв Ґвбп, Ґб«Ё ®вЎа®бЁвм ЎгЄўл Ё б
з « , Ё б Є®ж . („агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, Ї®¤б«®ў - нв® Є®жл з «,
Ё«Ё, зв® в® ¦Ґ, з « Є®ж®ў.)
‚ вҐа¬Ё е Ё¤гЄвЁўле дгЄжЁ© (б¬. а §¤Ґ« 1.3) бЁвг жЁо
¬®¦® ®ЇЁб вм в Є: а бᬮваЁ¬ дгЄжЁо б«®ў е, Є®в®а п ЇаЁЁ-
¬ Ґв ¤ў § 票п "ЁбвЁ " Ё "«®¦м" Ё ЁбвЁ б«®ў е, Ё¬ҐойЁе
"abcd" бў®Ё¬ Ї®¤б«®ў®¬. ќв дгЄжЁп Ґ пў«пҐвбп Ё¤гЄвЁў®©, ®
Ё¬ҐҐв Ё¤гЄвЁў®Ґ а биЁаҐЁҐ
x ->¤«Ё ¬ ЄбЁ¬ «м®Ј® з « б«®ў abcd, пў«по饣®бп Є®ж®¬ x
10.2. Џ®ўв®аҐЁп ў ®Ўа §жҐ - Ёбв®зЁЄ Їа®Ў«Ґ¬.
10.2.1. Њ®¦® «Ё ў ЇаҐ¤л¤гйЁе а бб㦤ҐЁпе § ¬ҐЁвм б«®ў®
"abcd" Їа®Ё§ў®«м®Ґ б«®ў®?
ђҐиҐЁҐ. ЌҐв, Ё Їа®Ў«Ґ¬л бўп§ л б ⥬, зв® ў ®Ўа §жҐ ¬®Јгв
Ўлвм Ї®ўв®апойЁҐбп ЎгЄўл. Џгбвм, ЇаЁ¬Ґа, ¬л ЁйҐ¬ ўе®¦¤ҐЁп
б«®ў "ababc". ‚®в Ї®пўЁ« бм ЎгЄў "a", § Ґ© Ё¤Ґв "b", § Ґ©
Ё¤Ґв "a", § ⥬ б®ў "b". ‚ нв®в ¬®¬Ґв ¬л б ҐвҐаЇҐЁҐ¬ ¦¤Ґ¬
ЎгЄўл "c". Ћ¤ Є® - Є 襬г а §®з а®ў Ёо - ў¬Ґбв® ҐҐ Ї®пў«п-
Ґвбп ¤агЈ п ЎгЄў , Ё и ®Ўа §Ґж "ababc" Ґ ®Ў а㦥. Ћ¤ Є®
б ¬®¦Ґв ®¦Ё¤ вм гвҐиЁвҐ«мл© ЇаЁ§: Ґб«Ё ў¬Ґбв® "c" Ї®пўЁ« бм
ЎгЄў "a", в® Ґ ўбҐ Ї®вҐап®: § Ґ© ¬®Јгв Ї®б«Ґ¤®ў вм ЎгЄўл
"b" Ё "c", Ё ®Ўа §Ґж-в ЄЁ Ўг¤Ґв ©¤Ґ.
‚®в Є авЁЄ , Ї®пбпой п бЄ § ®Ґ:
x y z a b a b a b c .... <- ўе®¤®Ґ б«®ў®
a b a b c <- ¬л ¦¤ «Ё ®Ўа §ж §¤Ґбм
a b a b c <- ® ®Є § «бп §¤Ґбм
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Є ¬®¬Ґвг
|
x y z a b a b | <- ўе®¤®Ґ б«®ў®
|
a b a b | c <- ¬л ¦¤ «Ё ®Ўа §ж §¤Ґбм
|
a b | a b c <- ® ®Є § «бп §¤Ґбм
|
Ґбвм ¤ў ў®§¬®¦ле Ї®«®¦ҐЁп ®Ўа §ж , Є ¦¤®Ґ Ё§ Є®в®але Ї®¤«Ґ¦Ёв
Їа®ўҐаЄҐ. ’Ґ¬ Ґ ¬ҐҐҐ Ї®-ЇаҐ¦Ґ¬г ў®§¬®¦Ґ Є®Ґзл© ўв®¬ в,
зЁв ойЁ© ўе®¤®Ґ б«®ў® ЎгЄў § ЎгЄў®© Ё ЇҐаҐе®¤пйЁ© Ё§ б®бв®-
пЁп ў б®бв®пЁҐ ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в Їа®зЁв ле ЎгЄў.
10.2.2. “Є § вм б®бв®пЁп ᮮ⢥вбвўго饣® ўв®¬ в Ё в Ў-
«Ёжг ЇҐаҐе®¤ (®ў®Ґ б®бв®пЁҐ ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в бв а®Ј® Ё зЁв -
Ґ¬®© ЎгЄўл).
ђҐиҐЁҐ. Џ®-ЇаҐ¦Ґ¬г б®бв®пЁп Ўг¤гв ᮮ⢥вбвў®ў вм -
ЁЎ®«м襬г з «г ®Ўа §ж , пў«по饬гбп Є®ж®¬ Їа®зЁв ®© з бвЁ
б«®ў . €е Ўг¤Ґв иҐбвм: 0, 1 ("a"), 2 ("ab"), 3 ("aba"), 4
("abab"), 5 ("ababc"). ’ Ў«Ёж ЇҐаҐе®¤ :
’ҐЄг饥 ЋзҐаҐ¤ п Ќ®ў®Ґ
б®бв®пЁҐ ЎгЄў б®бв®пЁҐ
0 a 1 (a)
0 Єа®¬Ґ a 0
1 (a) b 2 (ab)
1 (a) a 1 (a)
1 (a) Єа®¬Ґ a,b 0
2 (ab) a 3 (aba)
2 (ab) Єа®¬Ґ a 0
3 (aba) b 4 (abab)
3 (aba) a 1 (a)
3 (aba) Єа®¬Ґ a,b 0
4 (abab) c 5 (ababc)
4 (abab) a 3 (aba)
4 (abab) Єа®¬Ґ a,c 0
„«п Їа®ўҐаЄЁ Ї®б¬®ваЁ¬, Є ЇаЁ¬Ґаг, ўв®аго бЁ§г бва®Єг. …б«Ё
Їа®зЁв п з бвм Є®з « бм "abab", § ⥬ Ї®пўЁ« бм ЎгЄў
"a", ⮠⥯Ґам Їа®зЁв п з бвм Є®з Ґвбп "ababa". Ќ -
ЁЎ®«м襥 з «® ®Ўа §ж ("ababc"), Є®в®а®Ґ Ґбвм ҐҐ Є®Ґж - нв®
"aba".
”Ё«®б®дбЄЁ© ў®Їа®б: ¬л Ј®ў®аЁ«Ё, зв® ва㤮бвм б®бв®Ёв ў
⮬, зв® Ґбвм ҐбЄ®«мЄ® ў®§¬®¦ле Ї®«®¦ҐЁ© ®Ўа §ж , Є ¦¤®Ґ Ё§
Є®в®але ¬®¦Ґв ®Є § вмбп ЁбвЁл¬. €¬ ᮮ⢥вбвўгов ҐбЄ®«мЄ® -
з « ®Ўа §ж , пў«пойЁебп Є®ж ¬Ё ўе®¤®Ј® б«®ў . Ќ® Є®Ґзл© ў-
⮬ в Ї®¬Ёв «Ёим б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ Ёе. Љ Є ¦Ґ ®бв «млҐ?
”Ё«®б®дбЄЁ© ®вўҐв. „Ґ«® ў ⮬, зв® б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ Ёе ®Ї-
।Ґ«пҐв ўбҐ ®бв «млҐ - нв® ҐЈ® Є®жл, ®¤®ўаҐ¬Ґ® пў«пойЁҐбп
ҐЈ® з « ¬Ё.
ЌҐ б®бв ў«пҐв ваг¤ ¤«п «оЎ®Ј® Є®ЄаҐв®Ј® ®Ўа §ж ЇЁб вм
Їа®Ја ¬¬г, ®бгйҐбвў«пойго Ї®ЁбЄ нв®Ј® ®Ўа §ж ®ЇЁб л¬ бЇ®б®-
Ў®¬. Ћ¤ Є® е®вҐ«®бм Ўл ЇЁб вм Їа®Ја ¬¬г, Є®в®а п ЁйҐв Їа®Ё§-
ў®«мл© ®Ўа §Ґж ў Їа®Ё§ў®«м®¬ б«®ўҐ. ќв® ¬®¦® ¤Ґ« вм ў ¤ў
нв Ї : б з « Ї® ®Ўа §жг бва®Ёвбп в Ў«Ёж ЇҐаҐе®¤®ў Є®Ґз®Ј®
ўв®¬ в , § ⥬ зЁв Ґвбп ўе®¤®Ґ б«®ў® Ё б®бв®пЁҐ ЇаҐ®Ўа §г-
Ґвбп ў ᮮ⢥вбвўЁЁ б нв®© в Ў«ЁжҐ©. Џ®¤®Ўл© ¬Ґв®¤ з бв® Ёб-
Ї®«м§гҐвбп ¤«п Ў®«ҐҐ б«®¦ле § ¤ з Ї®ЁбЄ (б¬. ¤ «ҐҐ), ® ¤«п
Ї®ЁбЄ Ї®¤б«®ў бгйҐбвўгҐв Ў®«ҐҐ Їа®бв®© Ё нддҐЄвЁўл© «Ј®аЁв¬,
§лў Ґ¬л© «Ј®аЁв¬®¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв . Ќ® ЇаҐ¦¤Ґ ¬
Ї® ¤®Ўпвбп ҐЄ®в®алҐ ўбЇ®¬®Ј ⥫млҐ г⢥তҐЁп.
10.3. ‚бЇ®¬®Ј ⥫млҐ г⢥তҐЁп
„«п Їа®Ё§ў®«м®Ј® б«®ў X а бᬮваЁ¬ ўбҐ ҐЈ® з « , ®¤®ў-
६Ґ® пў«пойЁҐбп ҐЈ® Є®ж ¬Ё, Ё ўлЎҐаҐ¬ Ё§ Ёе б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ.
(ЌҐ бзЁв п, Є®Ґз®, б ¬®Ј® б«®ў X.) Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§ з вм ҐЈ® n(X).
ЏаЁ¬Ґал: n(aba)=a, n(abab)=ab, n(ababa)=aba, n(abc) = Їгб-
⮥ б«®ў®.
10.3.1. „®Є § вм, зв® ўбҐ б«®ў n(X), n(n(X)), n(n(n(X)))
Ё в.¤. пў«повбп з « ¬Ё б«®ў X.
ђҐиҐЁҐ. Љ ¦¤®Ґ Ё§ Ёе (б®Ј« б® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо) пў«пҐвбп -
з «®¬ ЇаҐ¤л¤г饣®.
Џ® в®© ¦Ґ ЇаЁзЁҐ ўбҐ ®Ё пў«повбп Є®ж ¬Ё б«®ў X.
10.3.2. „®Є § вм, зв® Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм ЇаҐ¤л¤г饩 § ¤ зЁ
®Ўалў Ґвбп ( Їгб⮬ б«®ўҐ).
ђҐиҐЁҐ. Љ ¦¤®Ґ б«®ў® Є®а®зҐ ЇаҐ¤л¤г饣®.
‡ ¤ з . „®Є § вм, зв® «оЎ®Ґ б«®ў®, ®¤®ўаҐ¬Ґ® пў«по饥бп
з «®¬ Ё Є®ж®¬ б«®ў X (Єа®¬Ґ б ¬®Ј® X) ўе®¤Ёв ў Ї®б«Ґ¤®ў -
⥫м®бвм n(X), n(n(X)),...
ђҐиҐЁҐ. Џгбвм б«®ў® Y Ґбвм ®¤®ўаҐ¬Ґ® з «® Ё Є®Ґж X.
‘«®ў® n(X) - б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ в ЄЁе б«®ў, в Є зв® Y Ґ ¤«ЁҐҐ
n(X). ЋЎ нвЁ б«®ў пў«повбп з « ¬Ё X, Ї®н⮬㠡®«ҐҐ Є®а®вЄ®Ґ
Ё§ Ёе пў«пҐвбп з «®¬ Ў®«ҐҐ ¤«Ё®Ј®: Y Ґбвм з «® n(X). Ђ -
«®ЈЁз®, Y Ґбвм Є®Ґж n(X). ђ бб㦤 п Ї® Ё¤гЄжЁЁ, ¬®¦® ЇаҐ¤Ї®-
« Ј вм, зв® г⢥তҐЁҐ § ¤ зЁ ўҐа® ¤«п ўбҐе б«®ў Є®а®зҐ X, ў
з бв®бвЁ, ¤«п б«®ў n(X). ’ Є зв® б«®ў® Y, пў«по饥бп Є®ж®¬ Ё
з «®¬ n(X), «ЁЎ® а ў® n(X), «ЁЎ® ўе®¤Ёв ў Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм
n(n(X)), n(n(n(X))), ..., зв® Ё вॡ®ў «®бм ¤®Є § вм.
10.4. Ђ«Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв
Ђ«Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв (ЉЊЏ) Ї®«гз Ґв ўе®¤
б«®ў®
X = x[1]x[2]...x[n]
Ё Їа®б¬ ваЁў Ґв ҐЈ® б«Ґў Їа ў® ЎгЄў § ЎгЄў®©, § Ї®«пп ЇаЁ
н⮬ ¬ ббЁў вга «мле зЁбҐ« l[1]..l[n], в Є зв®
l[i] = ¤«Ё б«®ў n(x[1]...x[i])
(дгЄжЁп n ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ ў ЇаҐ¤л¤г饬 ЇгЄвҐ). ‘«®ў ¬Ё: l[i] Ґбвм
¤«Ё ЁЎ®«м襣® з « б«®ў x[1]..x[i], ®¤®ўаҐ¬Ґ® пў«пойҐ-
Ј®бп ҐЈ® Є®ж®¬.
10.4.1. Љ Є®Ґ ®в®иҐЁҐ ўбҐ нв® Ё¬ҐҐв Є Ї®ЁбЄг Ї®¤б«®ў ?
„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, Є Є ЁбЇ®«м§®ў вм «Ј®аЁв¬ ЉЊЏ ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп
в®Ј®, пў«пҐвбп «Ё б«®ў® A Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў B?
ђҐиҐЁҐ. ЏаЁ¬ҐЁ¬ «Ј®аЁв¬ ЉЊЏ Є б«®ўг A#B, Ј¤Ґ # - бЇҐжЁ-
«м п ЎгЄў , Ґ ўбваҐз ой пбп Ё ў A, Ё ў B. ‘«®ў® A пў«пҐвбп
Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў B в®Ј¤ Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤ б।Ё зЁбҐ« ў ¬ б-
бЁўҐ l Ўг¤Ґв зЁб«®, а ў®Ґ ¤«ЁҐ б«®ў A.
10.4.2. ЋЇЁб вм «Ј®аЁв¬ § Ї®«ҐЁп в Ў«Ёжл l[1]..l[n].
ђҐиҐЁҐ. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® ЇҐаўлҐ i § 票© l[1]..l[i] 㦥
©¤Ґл. Њл зЁв Ґ¬ ®зҐаҐ¤го ЎгЄўг б«®ў (в.Ґ. x[i+1]) Ё ¤®«¦л
ўлзЁб«Ёвм l[i+1].
1 i i+1
--------------------------------------------------------
| 㦥 Їа®зЁв п з бвм X | |
--------------------------------------------------------
\-----------Z-----------/ \------------Z------------/
„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, б ЁвҐаҐбгов з « Z б«®ў x[1]..x[i+1], ®¤-
®ўаҐ¬Ґ® пў«пойЁҐбп ҐЈ® Є®ж ¬Ё - Ё§ Ёе ¬ ¤® ўлЎа вм б -
¬®Ґ ¤«Ё®Ґ. ЋвЄг¤ ЎҐагвбп нвЁ з « ? Љ ¦¤®Ґ Ё§ Ёе Ї®«гз Ґвбп
Ё§ ҐЄ®в®а®Ј® б«®ў Z' ЇаЁЇЁблў ЁҐ¬ ЎгЄўл x[i+1]. ‘«®ў® Z' пў-
«пҐвбп з «®¬ Ё Є®ж®¬ б«®ў x[1]..x[i]. Ћ¤ Є® Ґ «оЎ®Ґ б«®ў®,
пў«по饥бп з «®¬ Ё Є®ж®¬ б«®ў x[1]..x[i], Ј®¤Ёвбп - ¤®,
зв®Ўл § Ё¬ б«Ґ¤®ў « ЎгЄў x[i+1].
Џ®«гз Ґ¬ в Є®© аҐжҐЇв ®влбЄ Ёп б«®ў Z. ђ бᬮваЁ¬ ўбҐ -
з « б«®ў x[1]..x[i], пў«пойЁҐбп ®¤®ўаҐ¬Ґ® ҐЈ® Є®ж ¬Ё. €§
Ёе ўлЎҐаҐ¬ Ї®¤е®¤пйЁҐ - вҐ, § Є®в®ал¬Ё Ё¤Ґв ЎгЄў x[i+1]. €§
Ї®¤е®¤пйЁе ўлЎҐаҐ¬ б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ. ЏаЁЇЁб ў ў ҐЈ® Є®Ґж x[i+1],
Ї®«гзЁ¬ ЁбЄ®¬®Ґ б«®ў® Z.
’ҐЇҐам Ї®а ў®бЇ®«м§®ў вмбп ᤥ« л¬Ё ¬Ё ЇаЁЈ®в®ў«ҐЁп¬Ё
Ё ўбЇ®¬Ёвм, зв® ўбҐ б«®ў , пў«пойЁҐбп ®¤®ўаҐ¬Ґ® з « ¬Ё Ё
Є®ж ¬Ё ¤ ®Ј® б«®ў , ¬®¦® Ї®«гзЁвм Ї®ўв®ал¬Ё ЇаЁ¬ҐҐЁп¬Ё Є
Ґ¬г дгЄжЁЁ n Ё§ ЇаҐ¤л¤г饣® а §¤Ґ« . ‚®в зв® Ї®«гз Ґвбп:
i:=1; l[1]:= 0;
{в Ў«Ёж l[1]..l[i] § Ї®«Ґ Їа ўЁ«м®}
while i <> n do begin
| len := l[i]
| {len - ¤«Ё з « б«®ў x[1]..x[i], Є®в®а®Ґ пў«пҐвбп
| ҐЈ® Є®ж®¬; ўбҐ Ў®«ҐҐ ¤«ЁлҐ з « ®Є § «Ёбм
| ҐЇ®¤е®¤пйЁ¬Ё}
| while (x[len+1] <> x[i+1]) and (len > 0) do begin
| | { з «® ®Є § «®бм ҐЇ®¤е®¤пйЁ¬, ЇаЁ¬ҐпҐ¬ Є Ґ¬г n}
| | len := l[len];
| end;
| { и«Ё Ї®¤е®¤п饥 Ё«Ё гЎҐ¤Ё«Ёбм ў ®вбгвбвўЁЁ}
| if x[len+1] = x[i+1] do begin
| | {x[1]..x[len] - б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ї®¤е®¤п饥 з «®}
| | l[i+1] := len+1;
| end else begin
| | {Ї®¤е®¤пйЁе Ґв}
| | l[i+1] := 0;
| end;
| i := i+1;
end;
10.4.3. „®Є § вм, зв® зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© ў ЇаЁўҐ¤Ґ®¬ в®«мЄ®
зв® «Ј®аЁв¬Ґ Ґ ЇаҐў®б室Ёв Cn ¤«п ҐЄ®в®а®© Є®бв вл C.
ђҐиҐЁҐ. ќв® Ґ ўЇ®«Ґ ®зҐўЁ¤®: ®Ўа Ў®вЄ Є ¦¤®© ®зҐаҐ¤®©
ЎгЄўл ¬®¦Ґв Ї®вॡ®ў вм ¬®ЈЁе ЁвҐа жЁ© ў® ўгв॥¬ жЁЄ«Ґ. Ћ¤-
Є® Є ¦¤ п в Є п ЁвҐа жЁп 㬥ми Ґв len Ї® Єа ©Ґ© ¬ҐаҐ 1, Ё
ў н⮬ б«гз Ґ l[i+1] ®Є ¦Ґвбп § ¬Ґв® ¬ҐмиҐ l[i]. ‘ ¤агЈ®© бв®-
а®л, ЇаЁ 㢥«ЁзҐЁЁ i Ґ¤ЁЁжг ўҐ«ЁзЁ l[i] ¬®¦Ґв ў®§а бвЁ
Ґ Ў®«ҐҐ 祬 1, в Є зв® з бв® Ё бЁ«м® гЎлў вм ® Ґ ¬®¦Ґв -
Ё зҐ гЎлў ЁҐ Ґ Ўг¤Ґв бЄ®¬ЇҐбЁа®ў ® ў®§а бв ЁҐ¬.
Ѓ®«ҐҐ в®з®, ¬®¦® § ЇЁб вм Ґа ўҐбвў®
l[i+1] <= l[i] - (зЁб«® ЁвҐа жЁ© i-¬ и ЈҐ) + 1
Ё«Ё
(зЁб«® ЁвҐа жЁ© i-¬ и ЈҐ) <= l[i] - l[i+1] + 1
Ё ®бв Ґвбп б«®¦Ёвм нвЁ Ґа ўҐбвў Ї® ўбҐ¬ i Ё Ї®«гзЁвм ®жҐЄг
ᢥаег ¤«п ®ЎйҐЈ® зЁб« ЁвҐа жЁ©.
10.4.4. Ѓг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм нв®в «Ј®аЁв¬, зв®Ўл ўлпбЁвм,
пў«пҐвбп «Ё б«®ў® X ¤«Ёл n Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў Y ¤«Ёл m. (Љ Є нв®
¤Ґ« вм б Ї®¬®ймо бЇҐжЁ «м®Ј® а §¤Ґ«ЁвҐ«п #, ®ЇЁб ® ўлиҐ.) ЏаЁ
н⮬ зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© Ўг¤Ґв Ґ Ў®«ҐҐ C*(n+m), Ё ЁбЇ®«м§гҐ¬ п Ї -
¬пвм ⮦Ґ. ЏаЁ¤г¬ вм, Є Є ®Ў®©вЁбм Ї ¬пвмо Ґ Ў®«ҐҐ Cn (зв® ¬®-
¦Ґв Ўлвм бгйҐб⢥® ¬ҐмиҐ, Ґб«Ё ЁбЄ®¬л© ®Ўа §Ґж Є®а®вЄЁ©,
б«®ў®, ў Є®в®а®¬ ҐЈ® Ёйгв - ¤«Ё®Ґ).
ђҐиҐЁҐ. ЏаЁ¬ҐпҐ¬ «Ј®аЁв¬ ЉЊЏ Є б«®ўг A#B. ЏаЁ н⮬ ўл-
зЁб«ҐЁҐ § 票© l[1],...,l[n] Їа®ў®¤Ё¬ ¤«п б«®ў X ¤«Ёл m Ё
§ Ї®¬Ё Ґ¬ нвЁ § 票п. „ «миҐ ¬л Ї®¬Ё¬ в®«мЄ® § 票Ґ l[i]
¤«п ⥪г饣® i - Єа®¬Ґ ҐЈ® Ё Єа®¬Ґ в Ў«Ёжл l[1]..l[n], ¬ ¤«п
ўлзЁб«ҐЁ© ЁзҐЈ® Ґ 㦮.
Ќ Їа ЄвЁЄҐ б«®ў X Ё Y ¬®Јгв Ґ 室Ёвмбп Ї®¤ап¤, Ї®н⮬г
Їа®б¬®ва б«®ў X Ё § ⥬ б«®ў Y 㤮Ў® ®д®а¬Ёвм ў ўЁ¤Ґ а §ле
жЁЄ«®ў. ќв® Ё§Ў ў«пҐв в Є¦Ґ ®в е«®Ї®в б а §¤Ґ«ЁвҐ«Ґ¬.
10.4.5. Ќ ЇЁб вм ᮮ⢥вбвўгойЁ© «Ј®аЁв¬ (Їа®ўҐапойЁ©, пў-
«пҐвбп «Ё б«®ў® X=x[1]..x[n] Ї®¤б«®ў®¬ б«®ў Y=y[1]..y[m]).
ђҐиҐЁҐ. ‘ з « ўлзЁб«пҐ¬ в Ў«Ёжг l[1]..l[n] Є Є а миҐ.
‡ ⥬ ЇЁиҐ¬ в Єго Їа®Ја ¬¬г:
j:=0; len:=0
{len - ¤«Ё ¬ ЄбЁ¬ «м®Ј® з « б«®ў X, ®¤®ўаҐ¬Ґ®
пў«по饣®бп Є®ж®¬ б«®ў y[1]..j[j]}
while (len <> n) and (j <> m) do begin
| while (x[len+1] <> y[j+1]) and (len > 0) do begin
| | { з «® ®Є § «®бм ҐЇ®¤е®¤пйЁ¬, ЇаЁ¬ҐпҐ¬ Є Ґ¬г n}
| | len := l[len];
| end;
| { и«Ё Ї®¤е®¤п饥 Ё«Ё гЎҐ¤Ё«Ёбм ў ®вбгвбвўЁЁ}
| if x[len+1] = y[j+1] do begin
| | {x[1]..x[len] - б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ї®¤е®¤п饥 з «®}
| | len := len+1;
| end else begin
| | {Ї®¤е®¤пйЁе Ґв}
| | len := 0;
| end;
| i := i+1;
end;
{Ґб«Ё len=n, б«®ў® X ўбваҐвЁ«®бм; Ё зҐ ¬л ¤®и«Ё ¤® Є®ж
б«®ў Y, в Є Ё Ґ ўбваҐвЁў X}
10.5. Ђ«Ј®аЁв¬ Ѓ®©Ґа - Њга
ќв®в «Ј®аЁв¬ ¤Ґ« Ґв в®, зв® ЇҐаўл© ў§Ј«п¤ Є ¦Ґвбп Ґ-
ў®§¬®¦л¬: ў вЁЇЁз®© бЁвг жЁЁ ® зЁв Ґв «Ёим ҐЎ®«миго з бвм
ўбҐе ЎгЄў б«®ў , ў Є®в®а®¬ ЁйҐвбп § ¤ л© ®Ўа §Ґж. Љ Є в Є ¬®-
¦Ґв Ўлвм? €¤Ґп Їа®бв . Џгбвм, ЇаЁ¬Ґа, ¬л ЁйҐ¬ ®Ўа §Ґж "abcd".
Џ®б¬®ваЁ¬ зҐвўҐавго ЎгЄўг б«®ў : Ґб«Ё, Є ЇаЁ¬Ґаг, нв® ЎгЄў
"e", в® Ґв ЁЄ Є®© Ґ®Ўе®¤Ё¬®бвЁ зЁв вм ЇҐаўлҐ ваЁ ЎгЄўл. (‚
б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ, ў ®Ўа §жҐ ЎгЄўл "e" Ґв, Ї®н⮬㠮 ¬®¦Ґв з вмбп
Ґ а миҐ Їпв®© ЎгЄўл.)
Њл ЇаЁўҐ¤Ґ¬ б ¬го Їа®бв®© ў аЁ в нв®Ј® «Ј®аЁв¬ , Є®в®ал©
Ґ Ј а вЁагҐв Ўлбва®© а Ў®вл ў® ўбҐе б«гз пе. Џгбвм x[1]..x[n]
- ®Ўа §Ґж, Є®в®ал© ¤® ЁбЄ вм. „«п Є ¦¤®Ј® бЁ¬ў®« s ©¤Ґ¬ б -
¬®Ґ Їа ў®Ґ ҐЈ® ўе®¦¤ҐЁҐ ў б«®ў® X, в® Ґбвм ЁЎ®«м襥 k, ЇаЁ
Є®в®а®¬ x[k]=s. ќвЁ ᢥ¤ҐЁп Ўг¤Ґ¬ еа Ёвм ў ¬ ббЁўҐ pos[s]; Ґб-
«Ё бЁ¬ў®« s ў®ўбҐ Ґ ўбваҐз Ґвбп, в® ¬ Ўг¤Ґв 㤮Ў® Ї®«®¦Ёвм
pos[s] = 0 (¬л гўЁ¤Ё¬ ¤ «миҐ, Ї®зҐ¬г).
10.5.1. Љ Є § Ї®«Ёвм ¬ ббЁў pos?
ђҐиҐЁҐ.
Ї®«®¦Ёвм ўбҐ pos[s] а ўл¬Ё 0
for i:=1 to n do begin
pos[x[i]]:=i;
end;
‚ Їа®жҐбᥠЇ®ЁбЄ ¬л Ўг¤Ґ¬ еа Ёвм ў ЇҐаҐ¬Ґ®© last ®¬Ґа ЎгЄўл
ў б«®ўҐ, Їа®вЁў Є®в®а®© Ї®б«Ґ¤пп ЎгЄў ®Ўа §ж . ‚ з «Ґ last = m
(¤«ЁҐ ®Ўа §ж ), § ⥬ Ї®б⥯Ґ® 㢥«ЁзЁў Ґвбп.
last:=m;
{ўбҐ ЇаҐ¤л¤гйЁҐ Ї®«®¦ҐЁп ®Ўа §ж 㦥 Їа®ўҐаҐл}
while last <= m do begin {б«®ў® Ґ Є®зЁ«®бм}
| if x[m] <> y[last] then begin {Ї®б«Ґ¤ЁҐ ЎгЄўл а §лҐ}
| | last := last + (m - pos[y[last]]);
| | {m - pos[y[last]] - нв® ¬ЁЁ¬ «мл© б¤ўЁЈ ®Ўа §ж ,
| | ЇаЁ Є®в®а®¬ Їа®вЁў y[last] ўбв Ґв в Є п ¦Ґ
| | ЎгЄў ў ®Ўа §жҐ. …б«Ё в Є®© ЎгЄўл Ґв ў®®ЎйҐ,
| | в® б¤ўЁЈ Ґ¬ ўбо ¤«Ёг ®Ўа §ж }
| end else begin
| | Ґб«Ё лҐиҐҐ Ї®«®¦ҐЁҐ Ї®¤е®¤Ёв, в.Ґ. Ґб«Ё
| | x[1]..x[m] = y[last-m+1]..y[last],
| | в® б®®ЎйЁвм ® б®ўЇ ¤ҐЁЁ;
| | last := last+1;
| end;
end;
‡ в®ЄЁ ४®¬Ґ¤гов Їа®ўҐаЄг б®ўЇ ¤ҐЁп Їа®ў®¤Ёвм бЇа ў «Ґў®,
в.Ґ. зЁ п б Ї®б«Ґ¤Ґ© ЎгЄўл ®Ўа §ж (ў Є®в®а®© б®ўЇ ¤ҐЁҐ § -
ўҐ¤®¬® Ґбвм). Њ®¦® в Є¦Ґ Ґ¬®Ј® бнЄ®®¬Ёвм, Їа®Ё§ўҐ¤л ўлзЁв -
ЁҐ § а ҐҐ Ё еа п Ґ pos[s], m-pos[s], в.Ґ. зЁб«® ЎгЄў ў ®Ў-
а §жҐ бЇа ў ®в Ї®б«Ґ¤ҐЈ® ўе®¦¤ҐЁп ЎгЄўл s.
‚®§¬®¦л а §лҐ ¬®¤ЁдЁЄ жЁЁ нв®Ј® «Ј®аЁв¬ . Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¬®¦-
® бва®Єг last:=last+1 § ¬ҐЁвм last:=last+(m-u), Ј¤Ґ u - Є®-
®а¤Ё в ўв®а®Ј® бЇа ў ўе®¦¤ҐЁп ЎгЄўл x[m] ў ®Ўа §Ґж.
10.5.2. Љ Є Їа®йҐ ўбҐЈ® гзҐбвм нв® ў Їа®Ја ¬¬Ґ?
ђҐиҐЁҐ. ЏаЁ Ї®бв஥ЁЁ в Ў«Ёжл pos ЇЁб вм
for i:=1 to n-1 do...
ў ®б®ў®© Їа®Ја ¬¬Ґ ў¬Ґбв® last:=last+1 ЇЁб вм
last:= last+m-pos[y[last]];
ЏаЁўҐ¤Ґ п ¬Ё гЇа®йҐл© ў аЁ в «Ј®аЁв¬ Ѓ®©Ґа - Њга
ў ҐЄ®в®але б«гз пе вॡгҐв бгйҐб⢥® Ў®«миҐ n ¤Ґ©бвўЁ© (зЁб«®
¤Ґ©бвўЁ© Ї®ап¤Є mn), Їа®ЁЈалў п «Ј®аЁв¬г Љгв - Њ®ааЁб -
Џа вв .
10.5.3. ЏаЁўҐбвЁ ЇаЁ¬Ґа бЁвг жЁЁ, ў Є®в®а®© ®Ўа §Ґж Ґ ўе®-
¤Ёв ў б«®ў®, ® ў«Ј®аЁв¬г вॡгҐвбп Ї®ап¤Є mn ¤Ґ©бвўЁ©, зв®Ўл
нв® гбв ®ўЁвм.
ђҐиҐЁҐ. Џгбвм ®Ўа §Ґж Ё¬ҐҐв ўЁ¤ baaa..aa, б ¬® б«®ў®
б®бв®Ёв в®«мЄ® Ё§ ЎгЄў a. ’®Ј¤ Є ¦¤®¬ и ЈҐ Ґб®®вўҐвбвўЁҐ
ўлпбпҐвбп «Ёим ў Ї®б«Ґ¤Ё© ¬®¬Ґв.
Ќ бв®пйЁ© (Ґ гЇа®йҐл©) «Ј®аЁв¬ Ѓ®©Ґа - Њга Ј а вЁаг-
Ґв, зв® зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© Ґ Їаў®б室Ёв C*(m+n) ў ег¤иҐ¬ б«гз Ґ. Ћ
ЁбЇ®«м§гҐв Ё¤ҐЁ, Ў«Ё§ЄЁҐ Є Ё¤Ґп¬ «Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб -
Џа вв . ЏаҐ¤бв ўЁ¬ ᥡҐ, зв® ¬л ба ўЁў «Ё ®Ўа §Ґж б® ўе®¤л¬
б«®ў®¬, Ё¤п бЇа ў «Ґў®. ЏаЁ н⮬ ҐЄ®в®ал© Єгб®Є Z (пў«пойЁ©-
бп Є®ж®¬ ®Ўа §ж ) б®ўЇ «, § ⥬ ®Ў аг¦Ё«®бм а §«ЁзЁҐ: ЇҐаҐ¤
Z ў ®Ўа §жҐ бв®Ёв Ґ в®, зв® ў® ўе®¤®¬ б«®ўҐ. —в® ¬®¦® бЄ § вм
ў нв®в ¬®¬Ґв ® ўе®¤®¬ б«®ўҐ? ‚ Ґ¬ ®Ў а㦥 да Ј¬Ґв, а ўл©
Z, ЇҐаҐ¤ Ё¬ бв®Ёв Ґ в ЎгЄў , зв® ў ®Ўа §жҐ. ќв Ёд®а¬ жЁп
¬®¦Ґв Ї®§ў®«Ёвм б¤ўЁгвм ®Ўа §Ґж ҐбЄ®«мЄ® Ї®§ЁжЁ© ўЇа ў® ЎҐ§
аЁбЄ Їа®ЇгбвЁвм ҐЈ® ўе®¦¤ҐЁҐ. ќвЁ б¤ ЁЈЁ б«Ґ¤гҐв ўлзЁб«Ёвм § -
а ҐҐ ¤«п Є ¦¤®Ј® Є®ж Z 襣® ®Ўа §ж . Љ Є Ј®ў®апв § в®ЄЁ,
ўбҐ нв® (ўлзЁб«ҐЁҐ в Ў«Ёжл б¤ўЁЈ®ў Ё ЁбЇ®«м§®ў Ё ҐҐ) ¬®¦®
г«®¦нЁвм ў C*(m+n) ¤Ґ©бвўЁ©.
10.6. Ђ«Ј®аЁв¬ ђ ЎЁ
ќв®в «Ј®аЁв¬ ®б®ў Їа®бв®© Ё¤ҐҐ. ЏаҐ¤бв ўЁ¬ ᥡҐ, зв®
ў б«®ўҐ ¤«Ёл m ¬л ЁйҐ¬ ®Ўа §Ґ¬ ¤«Ёл n. ‚л०Ґ¬ ®Є®иҐзЄ® а §¬Ґ-
а n Ё Ўг¤Ґ¬ ¤ўЁЈ вм ҐЈ® Ї® ўе®¤®¬г б«®ўг. Ќ б ЁвҐаҐбгҐв, Ґ
б®ўЇ ¤ Ґв «Ё б«®ў® ў ®Є®иҐзЄҐ б § ¤ л¬ ®Ўа §ж®¬. ‘а ўЁў вм Ї®
ЎгЄў ¬ ¤®«Ј®. ‚¬Ґбв® нв®Ј® дЁЄбЁа㥬 ҐЄ®в®аго дгЄжЁо б«®ў е
¤«Ёл n. …б«Ё § 票п нв®© дгЄжЁЁ б«®ўҐ ў ®Є®иҐзЄҐ Ё ®Ў-
а §жҐ а §«Ёзл, в® б®ўЇ ¤ҐЁп Ґв. ’®«мЄ® Ґб«Ё § зҐЁп ®¤Ё Є®-
ўл, 㦮 Їа®ўҐапвм б®ўЇ ¤ҐЁҐ Ї® ЎгЄў ¬.
—в® ¬л ўлЁЈалў Ґ¬ ЇаЁ в Є®¬ Ї®¤е®¤Ґ? Љ § «®бм Ўл, ЁзҐЈ® -
ўҐ¤м зв®Ўл ўлзЁб«Ёвм § 票Ґ дгЄжЁЁ б«®ўҐ ў ®Є®иҐзЄҐ, ўбҐ
а ў® 㦮 Їа®зҐбвм ўбҐ ЎгЄўл нв®Ј® б«®ў . ’ Є г¦ «гзиҐ Ёе ба -
§г ба ўЁвм б ®Ўа §ж®¬. ’Ґ¬ Ґ ¬ҐҐҐ ўлЁЈали ў®§¬®¦Ґ, Ё ў®в §
бзҐв 祣®. ЏаЁ б¤ўЁЈҐ ®Є®иҐзЄ б«®ў® Ґ ¬ҐпҐвбп Ї®«®бвмо,
«Ёим ¤®Ў ў«пҐвбп ЎгЄў ў Є®жҐ Ё гЎЁа Ґвбп ў з «Ґ. •®а®и® Ўл,
зв®Ўл Ї® нвЁ¬ ¤ л¬ ¬®¦® Ўл«® Ўл «ҐЈЄ® а ббзЁв вм, Є Є ¬ҐпҐв-
бп дгЄжЁп.
10.6.1. ЏаЁўҐбвЁ ЇаЁ¬Ґа 㤮Ў®© ¤«п ўлзЁб«ҐЁп дгЄжЁЁ.
ђҐиҐЁҐ. ‡ ¬ҐЁ¬ ўбҐ ЎгЄўл ў б«®ўҐ Ё ®Ўа §жҐ Ёе ®¬Ґа ¬Ё,
ЇаҐ¤бв ў«пойЁ¬Ё б®Ў®© жҐ«лҐ зЁб« . ’®Ј¤ 㤮Ў®© дгЄжЁҐ© пў«п-
Ґвбп б㬬 жЁда. (ЏаЁ б¤ўЁЈҐ ®Є®иҐзЄ 㦮 ¤®Ў ўЁвм ®ў®Ґ зЁб«®
Ё ўлзҐбвм Їа®Ї ўиҐҐ.)
„«п Є ¦¤®© дгЄжЁЁ бгйҐбвўгов б«®ў , Є Є®в®ал¬ ® ЇаЁ¬ҐЁ-
¬ Ї«®е®. ‡ в® ¤агЈ п дгЄжЁп ў н⮬ б«гз Ґ ¬®¦Ґв а Ў®в вм е®а®-
и®. ‚®§ЁЄ Ґв Ё¤Ґп: ¤® § Ї бвЁ ¬®Ј® дгЄжЁ© Ё ў з «Ґ а Ў®вл
«Ј®аЁв¬ ўлЎЁа вм Ё§ Ёе б«гз ©го. (’®Ј¤ ўа Ј, ¦Ґ« ойЁ© Ї®¤Ј -
¤Ёвм 襬㠫Ј®аЁв¬г, Ґ Ўг¤Ґв § вм, б Є Є®© Ё¬Ґ® дгЄжЁҐ©
Ґ¬г Ў®а®вмбп.)
10.6.2. ЏаЁўҐбвЁ ЇаЁ¬Ґа ᥬҐ©б⢠㤮Ўле дгЄжЁ©.
ђҐиҐЁҐ. ‚롥६ ҐЄ®в®а®Ґ зЁб«® p (¦Ґ« вҐ«м® Їа®б⮥,
ᬮваЁ ¤ «ҐҐ) Ё ҐЄ®в®ал© ўлзҐв x Ї® ¬®¤г«о p. Љ ¦¤®Ґ б«®ў® ¤«Ё-
л n Ўг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм Є Є Ї®б«Ґ¤®ў ⥫м®бвм 楫ле зЁбҐ« (§ -
¬ҐЁў ЎгЄўл Є®¤ ¬Ё). ќвЁ зЁб« Ўг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм Є Є Є®нддЁжЁ-
Ґвл ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ n-1 Ё ўлзЁб«Ё¬ § 票Ґ нв®Ј® ¬®Ј®з«Ґ
Ї® ¬®¤г«о p ў в®зЄҐ x. ќв® Ё Ўг¤Ґв ®¤ Ё§ дгЄжЁ© ᥬҐ©бвў
(¤«п Є ¦¤®© Ї ал p Ё x Ї®«гз Ґвбп, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бў®п дгЄжЁп).
‘¤ўЁЈ ®Є®иЄ 1 ᮮ⢥вбвўгҐв ўлзЁв Ёо бв а襣® з«Ґ , 㬮-
¦ҐЁо x Ё ¤®Ў ў«ҐЁо бў®Ў®¤®Ј® з«Ґ .
‘«Ґ¤го饥 б®®Ўа ¦ҐЁҐ Ј®ў®аЁв ў Ї®«м§г в®Ј®, зв® б®ўЇ ¤ҐЁп
Ґ б«ЁиЄ®¬ ўҐа®пвл. Џгбвм зЁб«® p дЁЄбЁа®ў ® Ё Є ⮬㠦Ґ Їа®б-
⮥, X Ё Y - ¤ў а §«Ёзле б«®ў ¤«Ёл n. ’®Ј¤ Ё¬ б®®в-
ўҐвбвўгов а §«ЁзлҐ ¬®Ј®з«Ґл (¬л ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґ¬, зв® Є®¤л ўбҐе
ЎгЄў а §«Ёзл - нв® ў®§¬®¦® ЇаЁ p, Ў®«м襬 зЁб« ЎгЄў «д ўЁ-
в ). ‘®ўЇ ¤ҐЁҐ § 票© дгЄжЁЁ ®§ з Ґв, зв® ў в®зЄҐ x нвЁ ¤ў
а §«Ёзле ¬®Ј®з«Ґ б®ўЇ ¤ ов, в® Ґбвм Ёе а §®бвм ®Ўа й Ґвбп ў
0. ђ §®бвм Ґбвм ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ n-1 Ё Ё¬ҐҐв Ґ Ў®«ҐҐ n-1 Є®а-
Ґ©. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё n ¬®Ј® ¬ҐмиҐ p, в® б«гз ©®¬г x ¬ «®
и б®ў Ї®Ї бвм ў Ґг¤ зго в®зЄг.
10.7. Ѓ®«ҐҐ б«®¦лҐ ®Ўа §жл Ё ўв®¬ вл
Њл ¬®¦Ґ¬ ЁбЄ вм Ґ Є®ЄаҐв® б«®ў®, Ї®¤б«®ў § ¤ ®Ј®
ўЁ¤ . Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¬®¦® ЁбЄ вм б«®ў ўЁ¤ a?b, Ј¤Ґ ў¬Ґбв® ? ¬®¦Ґв
бв®пвм «оЎ п ЎгЄў (Ёл¬Ё б«®ў ¬Ё, б ЁвҐаҐбгҐв ЎгЄў b
а ббв®пЁЁ 2 Ї®б«Ґ ЎгЄўл a).
10.7.1 “Є § вм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Їа®ўҐапойЁ©, Ґбвм «Ё ў®
ўе®¤®¬ б«®ўҐ да Ј¬Ґв ўЁ¤ a?b.
ђҐиҐЁҐ. —Ёв п б«®ў®, б«Ґ¤гҐв Ї®¬Ёвм, Ґбвм «Ё ЎгЄў a
Ї®б«Ґ¤Ґ¬ ¬Ґб⥠Ё ЇаҐ¤Ї®б«Ґ¤Ґ¬ - Ї®Є Ґ ўбваҐвЁ¬ ЁбЄ®¬л©
да Ј¬Ґв. Џ®«гз Ґ¬ в Є®© ўв®¬ в:
‘в ஥ б®бв®пЁҐ ЋзҐаҐ¤ п ЎгЄў Ќ®ў®Ґ б®бв®пЁҐ
00 a 01
00 Ґ a 01
01 a 11
01 Ґ a 10
10 a 01
10 b ©¤Ґ®
10 Ґ a Ё Ґ b 00
11 a 11
11 b ©¤Ґ®
11 Ґ a Ё Ґ b 10
„агЈ®© бв ¤ авл© § Є ў ®Ўа §жҐ - нв® §ўҐ§¤®зЄ (*),
¬Ґбв® Є®в®а®© ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®¤бв ў«Ґ® «оЎ®Ґ б«®ў®. Ќ ЇаЁ¬Ґа, ®Ў-
а §Ґж ab*cd ®§ з Ґв, зв® ¬л ЁйҐ¬ Ї®¤б«®ў® ab, § Є®в®ал¬ б«Ґ¤г-
Ґв зв® гЈ®¤®, § ⥬ ( «оЎ®¬ а ббв®пЁЁ) б«Ґ¤гҐв cd.
10.7.2. “Є § вм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Їа®ўҐапойЁ©, Ґбвм «Ё ў®
ўе®¤®¬ б«®ўҐ ®Ўа §Ґж ab*cd (ў ®ЇЁб ®¬ в®«мЄ® зв® б¬лб«Ґ).
ђҐиҐЁҐ.
‘в ஥ б®бв®пЁҐ ЋзҐаҐ¤ п ЎгЄў Ќ®ў®Ґ б®бв®пЁҐ
з a a
з Ґ a з
a b ab
a a a
a Ґ a Ё Ґ b з
ab c abc
ab Ґ c ab
abc d ©¤Ґ®
abc c abc
abc Ґ б Ё Ґ d ab
…йҐ ®¤Ё ўЁ¤ Ї®ЁбЄ - нв® Ї®ЁбЄ «оЎ®Ј® Ё§ б«®ў® ҐЄ®в®а®Ј®
бЇЁбЄ .
10.7.3. „ бЇЁб®Є б«®ў X[1],...,X[k] Ё б«®ў® Y. ЋЇаҐ¤Ґ-
«Ёвм, ўе®¤Ёв «Ё е®вп Ўл ®¤® Ё§ б«®ў X[i] ў б«®ў® Y (Є Є Ї®¤б«®-
ў®). Љ®«ЁзҐбвў® ¤Ґ©бвўЁ© Ґ ¤®«¦® ЇаҐў®б室Ёвм Є®бв вл, 㬮-
¦Ґ®© б㬬 аго ¤«Ёг ўбҐе б«®ў (Ё§ бЇЁбЄ Ё в®Ј®, ў Є®в®а®¬
Їа®Ёб室Ёв Ї®ЁбЄ).
ђҐиҐЁҐ. ЋзҐўЁ¤л© бЇ®б®Ў б®бв®Ёв ў ⮬, зв®Ўл Є ¦¤®Ґ б«®ў®
Ё§ бЇЁбЄ Їа®ўҐапвм ®в¤Ґ«м® (б Ї®¬®ймо ®¤®Ј® Ё§ а бᬮваҐле
«Ј®аЁв¬®ў). Ћ¤ Є® ЇаЁ н⮬ ¬л Ґ гЄ« ¤лў Ґ¬бп ў § ¤ ®Ґ зЁб«®
¤Ґ©бвўЁ© (Ё§-§ 㬮¦ҐЁп k ¤«Ёг б«®ў Y).
Џ®б¬®ваЁ¬ ¤Ґ«® б ¤агЈ®© бв®а®л. Љ ¦¤®¬г ®Ўа §жг Ё§
ᯨ᪠ᮮ⢥вбвўгҐв Є®Ґзл© ўв®¬ в б ҐЄ®в®ал¬ ¬®¦Ґбвў® б®б-
в®пЁ©. €е ¬®¦® ®ЎкҐ¤ЁЁвм ў ®¤Ё ўв®¬ в, ¬®¦Ґбвў®¬ б®бв®пЁ©
Є®в®а®Ј® Ўг¤Ґв Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ ¬®¦Ґбвў б®бв®пЁ© ўбҐе вҐе ўв®¬ -
в®ў. ќв® - ®зҐм Ў®«м讥 ¬®¦Ґбвў®. Ћ¤ Є® б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ
Ў®«миЁбвў® ҐЈ® н«Ґ¬Ґв®ў Ґ¤®бвгЇл (Ґ ¬®Јгв Ї®пўЁвмбп ЇаЁ
з⥨Ё ўе®¤®Ј® б«®ў ) Ё § бзҐв нв®Ј® Ї®«гз Ґвбп нЄ®®¬Ёп. ЏаЁ-
¬Ґа® нвг Ё¤Ґо (® ў Ё§¬ҐҐ®¬ ўЁ¤Ґ) ¬л Ё Ўг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм.
‚бЇ®¬Ё¬ «Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв . ‚ Ґ¬, зЁв п
ўе®¤®Ґ б«®ў®, ¬л еа Ё«Ё ЁЎ®«м襥 з «® ®Ўа §ж , пў«по饥бп
Є®ж®¬ Їа®зЁв ®© з бвЁ. ’ҐЇҐам ¬ б«Ґ¤гҐв еа Ёвм ¤«п Є ¦¤®Ј®
Ё§ ®Ўа §ж®ў ЁЎ®«м襥 ҐЈ® з «®, пў«по饥бп Є®ж®¬ Їа®зЁв ®©
з бвЁ. ђҐи ойЁ¬ ®Є §лў Ґвбп в Є®Ґ § ¬Ґз ЁҐ: ¤®бв в®з® еа Ёвм
б ¬®Ґ ¤«Ё®Ґ Ё§ Ёе - ўбҐ ®бв «млҐ Ї® Ґ¬г ў®ббв ў«Ёў овбп
(Є Є ЁЎ®«миЁҐ з « ®Ўа §ж®ў, пў«пойЁҐбп ҐЈ® Є®ж ¬Ё).
‘Є«ҐЁ¬ ўбҐ ®Ўа §жл ў ¤ҐаҐў®, ®ЎкҐ¤ЁЁў Ёе б®ўЇ ¤ ойЁҐ -
з «млҐ гз бвЄЁ. Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ў®аг ®Ўа §ж®ў
{aaa, aab, abab}
ᮮ⢥вбвўгҐв ¤ҐаҐў®
a/ *
a a / b
* --- * --- * --- *
\b a b
\ * --- * --- *
”®а¬ «м® Ј®ў®ап, ўҐаиЁ ¬Ё ¤ҐаҐў пў«повбп ўбҐ з « ўбҐе ®Ў-
а §ж®ў, бл®ўмп ўҐаиЁл Ї®«гз овбп ЇаЁЇЁблў ЁҐ¬ ЎгЄўл.
—Ёв п ўе®¤®Ґ б«®ў®, ¬л ¤ўЁЈ Ґ¬бп Ї® н⮬㠤ҐаҐўг: ⥪гй п ўҐа-
иЁ - нв® ЁЎ®«ми п (б ¬ п Їа ў п) Ё§ ўҐаиЁ, пў«пойЁебп Є®-
殬 Їа®зЁв ®© з бвЁ (= ЁЎ®«миЁ© Є®Ґж Їа®зЁв ®© з бвЁ, пў-
«пойЁ©бп з «®¬ ®¤®Ј® Ё§ ®Ўа §ж®ў).
ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬ дгЄжЁо n, аЈг¬Ґв ¬Ё Ё § 票ﬨ Є®в®а®© пў«повбп
ўҐаиЁл ¤ҐаҐў . €¬Ґ®, n(P) = ЁЎ®«ми п ўҐаиЁ ¤ҐаҐў , пў«п-
ой пбп Є®ж®¬ P. (Ќ Ї®¬Ё¬, ўҐаиЁл ¤ҐаҐў - нв® б«®ў .) Ќ ¬ Ї®-
¤®ЎЁвбп в Є®Ґ г⢥তҐЁҐ:
10.7.4. Џгбвм P - ўҐаиЁ ¤ҐаҐў . „®Є ¦ЁвҐ, зв® ¬®¦Ґбвў®
ўбҐе ўҐаиЁ, пў«пойЁебп Є®ж ¬Ё P, а ў® {n(P), n(n(P)),...}
ђҐиҐЁҐ. ‘¬. ¤®Є § ⥫мбвў® «®ЈЁз®Ј® г⢥তҐЁп ¤«п
«Ј®аЁв¬ Љгв - Њ®ааЁб - Џа вв .
’ҐЇҐам пб®, з⮠㦮 ¤Ґ« вм, 室пбм ў ўҐаиЁҐ P Ё зЁв п
ЎгЄўг y ўе®¤®Ј® б«®ў . Ќ ¤® Їа®б¬ ваЁў вм Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м® ўҐа-
иЁл P, n(P), n(n(P)) Ё в.¤., Ї®Є Ґ ®Ў аг¦Ёвбп в Є п, Ё§ Є®-
в®а®© ўл室Ёв бв५Є б ЎгЄў®© y. ’ ўҐаиЁ , ў Є®в®аго нв
бв५Є ўҐ¤Ґв, Ё Ўг¤Ґв иЁ¬ б«Ґ¤гойЁ¬ Ї®«®¦ҐЁҐ¬.
Ћбв Ґвбп Ї®пвм, Є Є ¤«п Є ¦¤®© ўҐаиЁл ¤ҐаҐў ўлзЁб«Ёвм
гЄ § вҐ«м § 票Ґ дгЄжЁЁ n ў нв®© ўҐаиЁҐ. ќв® ¤Ґ« Ґвбп Є Є
а миҐ, ЇаЁ н⮬ § 票п n ¤«п Ў®«ҐҐ Є®а®вЄЁе б«®ў ЁбЇ®«м§говбп
ЇаЁ ўлзЁб«ҐЁЁ ®зҐаҐ¤®Ј® § 票п дгЄжЁЁ n. ќв® ®§ з Ґв, зв®
ўҐаиЁл ¤ҐаҐў б«Ґ¤гҐв Їа®б¬ ваЁў вм ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв Ёп Ёе
¤«Ёл. ЌҐва㤮 Ї®пвм, зв® ўбҐ нв® ¬®¦® г«®¦Ёвм ў вॡ㥬®Ґ
зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© (е®вп Є®бв в § ўЁбЁв ®в зЁб« ЎгЄў ў «д ўЁ-
вҐ). Ћв®бпйЁҐбп Є н⮬㠯®¤а®Ў®бвЁ б¬. ў Ј« ўҐ ®Ў «Ј®аЁв¬ е
Ја д е.
Њ®¦® Ї®ЁвҐаҐб®ў вмбп, Є ЄЁҐ бў®©бвў б«®ў ¬®¦® а бЇ®§ -
ў вм б Ї®¬®ймо Є®Ґзле ўв®¬ в®ў. ЋЄ §лў Ґвбп, зв® бгйҐбвўгҐв
Їа®бв® ®ЇЁблў Ґ¬л© Є« бб ®Ўа §ж®ў, § ¤ ойЁ© ўбҐ в ЄЁҐ бў®©бвў -
Є« бб ॣг«пале ўла ¦ҐЁ©.
ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ. Џгбвм дЁЄЁбЁа®ў Є®Ґзл© «д ўЁв ѓ, Ґ б®-
¤Ґа¦ йЁ© бЁ¬ў®«®ў 'l', 'e', '(', ')', '*' Ё '|' (®Ё Ўг¤гв Ёб-
Ї®«м§®ў вмбп ¤«п Ї®бв஥Ёп ॣг«пале ўла ¦ҐЁ© Ё Ґ ¤®«¦л ЇҐ-
६ҐиЁў вмбп б ЎгЄў ¬Ё). ђҐЈг«палҐ ўла ¦ҐЁп бва®пвбп Ї® в ЄЁ¬
Їа ўЁ« ¬:
( ) ЎгЄў «д ўЁв ѓ - ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ;
(Ў) бЁ¬ў®«л 'l', 'e' - ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп;
(ў) Ґб«Ё A,B,C,..,E - ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп, в® (ABC...E) -
ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ.
(Ј) Ґб«Ё A,B,C,..,E - ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп, в®
(A|B|C|...|E) - ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ.
(¤) Ґб«Ё A - ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, в® A* - ॣг«п஥ ўла -
¦ҐЁҐ.
Љ ¦¤®Ґ ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ § ¤ Ґв ¬®¦Ґбвў® б«®ў ў «д ўЁвҐ ѓ
Ї® в ЄЁ¬ Їа ўЁ« ¬:
( ) ЎгЄўҐ ᮮ⢥вбвўгҐв ®¤®н«Ґ¬Ґв®Ґ ¬®¦Ґбвў®, б®бв®п饥
Ё§ ®¤®ЎгЄўҐ®Ј® б«®ў , б®бв®п饣® Ё§ нв®© ЎгЄўл;
(Ў) бЁ¬ў®«г 'e' ᮮ⢥вбвўгҐв Їгб⮥ ¬®¦Ґбвў®, бЁ¬ў®«г
'l' - ®¤®н«Ґ¬Ґв®Ґ ¬®¦Ґбвў®, Ґ¤ЁбвўҐл¬ н«Ґ¬Ґв®¬
Є®в®а®Ј® пў«пҐвбп Їгб⮥ б«®ў®;
(ў) ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо (ABC...E) ᮮ⢥вбвўгҐв ¬®¦Ґбвў®
ўбҐе б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦® Ї®«гзЁвм, Ґб«Ё Є б«®ўг Ё§ A
ЇаЁЇЁб вм б«®ў® Ё§ B, § ⥬ Ё§ C,..., § ⥬ Ё§ E ("Є®-
Є ⥠жЁп" ¬®¦Ґбвў);
(Ј) ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо (A|B|C|...|E) ᮮ⢥вбвўгҐв
®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ ¬®¦Ґбвў, ᮮ⢥вбвўгойЁе ўла ¦ҐЁп¬
A,B,C,..,E;
(¤) ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо A* ᮮ⢥вбвўгҐв "ЁвҐа жЁп" ¬®-
¦Ґбвў , ᮮ⢥вбвўго饣® ўла ¦ҐЁо A, в® Ґбвм ¬®¦Ґбвў®
ўбҐе б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦® в Є а §аҐ§ вм ЄгбЄЁ, зв®
Є ¦¤л© Єгб®Є ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв ¬®¦Ґбвўг, ᮮ⢥вбвўго饬г
ўла ¦ҐЁо A. (‚ з бв®бвЁ, Їгб⮥ б«®ў® ўбҐЈ¤ ᮤҐа-
¦Ёвбп ў A*.)
ЏаЁ¬Ґал
‚ла ¦ҐЁҐ Њ®¦Ґбвў®
(a|b)* ўбҐ б«®ў Ё§ ЎгЄў a Ё b
(aa)* ўбҐ б«®ў Ё§ зҐв®Ј® зЁб« ЎгЄў a
(l|a|b|aa|ab|ba|bb) «оЎ®Ґ б«®ў® Ё§ Ґ Ў®«ҐҐ 祬 2 ЎгЄў a,b
10.7.5. Ќ ЇЁб вм ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, Є®в®а®¬г б®®в-
ўҐвбвўгҐв ¬®¦Ґбвў® ўбҐе б«®ў Ё§ ЎгЄў a Ё b, ў Є®в®але зЁб«®
ЎгЄў a зҐв®.
ђҐиҐЁҐ. ‚ла ¦ҐЁҐ b* § ¤ Ґв ўбҐ б«®ў ЎҐ§ a, ўла ¦ҐЁҐ
(b* a b* a b*)
- ўбҐ б«®ў а®ў® б ¤ўг¬п ЎгЄў ¬Ё a. Ћбв Ґвбп ®ЎкҐ¤ЁЁвм нвЁ
¬®¦Ґбвў , Ї®в®¬ ЇаЁ¬ҐЁвм ЁвҐа жЁо:
((b* a b* a b*) | b*)*
10.7.6. Ќ ЇЁб вм ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, Є®в®а®Ґ § ¤ Ґв ¬®-
¦Ґбвў® ўбҐе б«®ў Ё§ ЎгЄў a,b,c, ў Є®в®але б«®ў® bac пў«пҐвбп
Ї®¤б«®ў®¬.
ђҐиҐЁҐ. ((a|b|c)* bac (a|b|c)*)
’ҐЇҐам § ¤ зг ® Ї®ЁбЄҐ ®Ўа §ж ў б«®ўҐ ¬®¦® ЇҐаҐд®а¬г«Ёа®-
ў вм в Є: Їа®ўҐаЁвм, ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв «Ё б«®ў® ¬®¦Ґбвўг, б®®в-
ўҐвбвўго饬㠤 ®¬г ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо.
10.7.7. Љ ЄЁҐ ўла ¦ҐЁп ᮮ⢥вбвўгов ®Ўа §ж ¬ a?b Ё ab*cd,
а бᬮваҐл¬ а ҐҐ? (‚ ®Ўа §жҐ '*' ЁбЇ®«м§гҐвбп Ґ ў ⮬ б¬лб-
«Ґ, зв® ў ॣг«пале ўла ¦ҐЁпе!) ЏаҐ¤Ї®« Ґвбп, зв® «д ўЁв б®-
¤Ґа¦Ёв ЎгЄўл a,b,c,d,e.
ђҐиҐЁҐ. ((a|b|c|d|e)* a (a|b|c|d|e) b (a|b|c|d|e)*) Ё
((a|b|c|d|e)* ab (a|b|c|d|e)* cd (a|b|c|d|e)*).
10.7.8. „®Є § вм, зв® ¤«п ўбпЄ®Ј® ॣг«па®Ј® ўла ¦ҐЁп
¬®¦® Ї®бва®Ёвм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Є®в®ал© а бЇ®§ Ґв б®®в-
ўҐвбвўго饥 н⮬㠢ла ¦ҐЁо ¬®¦Ґбвў® б«®ў.
ђҐиҐЁҐ. Ќ ¬ Ї®вॡгҐвбп ®ў®Ґ Ї®пвЁҐ - Ї®пвЁҐ Ёбв®зЁЄ
(Ё«Ё Ґ¤ҐвҐа¬ЁЁа®ў ®Ј® Є®Ґз®Ј® ўв®¬ в ). ЏаҐ¤бв ўЁ¬ ᥡҐ
®аЁҐвЁа®ў л© Ја д - Є авЁЄг Ё§ ҐбЄ®«мЄЁе в®зҐЄ (ўҐаиЁ) Ё
ҐЄ®в®але бв५®Є, ᮥ¤ЁпойЁе нвЁ в®зЄЁ (ॡҐа). Џгбвм ҐЄ®-
в®але ॡа е ЇЁб л ЎгЄўл (Ґ ®Ўп§ вҐ«м® ўбҐе). Џгбвм в Є-
¦Ґ б।Ё ўҐаиЁ ўлЎа л ¤ўҐ - з «м п Ќ Ё Є®Ґз п Љ. ’ Є п
Є авЁЄ §лў Ґвбп Ёбв®зЁЄ®¬.
Ѓг¤Ґ¬ ¤ўЁЈ вмбп а §«Ёзл¬Ё бЇ®б®Ў ¬Ё Ё§ Ќ ў Љ, зЁв п ЎгЄўл
Ї® ¤®а®ЈҐ ( вҐе бв५Є е, Ј¤Ґ ®Ё Ґбвм). Љ ¦¤®¬г ЇгвЁ Ё§ Ќ ў
Љ, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ᮮ⢥вбвўгҐв ҐЄ®в®а®Ґ б«®ў®. Ђ Ёбв®зЁЄг ў
楫®¬ ᮮ⢥вбвўгҐв ¬®¦Ґбвў® б«®ў - вҐе б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦®
Їа®зҐбвм Їгвпе Ё§ Ќ ў Љ.
‡ ¬Ґз ЁҐ. …б«Ё аЁб®ў вм б®бв®пЁп Є®Ґз®Ј® ўв®¬ в ў
ўЁ¤Ґ в®зҐЄ, ЇҐаҐе®¤л ЇаЁ з⥨Ё ЎгЄў Ё§®Ўа §Ёвм ў ўЁ¤Ґ бваҐ-
«®Є, в® бв Ґв пб®, зв® Є®Ґзл© ўв®¬ в - нв® з бвл© б«гз ©
Ёбв®зЁЄ .
Њл Ўг¤Ґ¬ бва®Ёвм Є®Ґзл© ўв®¬ в Ї® ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо
ў ¤ў ЇаЁҐ¬ . ‘ з « ¬л Ї®бва®Ё¬ Ёбв®зЁЄ, Є®в®а®¬г б®®в-
ўҐвбвўгҐв в® ¦Ґ б ¬®Ґ ¬®¦Ґбвў® б«®ў. ‡ ⥬ ¤«п Їа®Ё§ў®«м®Ј®
Ёбв®зЁЄ Ї®бва®Ё¬ ўв®¬ в, Є®в®ал© Їа®ўҐапҐв, ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв «Ё
б«®ў® ᮮ⢥вбвўго饬㠬®¦Ґбвўг.
10.7.9. Џ® ॣг«п஬㠢ла ¦ҐЁо Ї®бва®Ёвм Ёбв®зЁЄ, § ¤ -
ойЁ© в® ¦Ґ ¬®¦Ґбвў®.
ђҐиҐЁҐ. €¤гЄжЁп Ї® Ї®бв஥Ёо ॣг«па®Ј® ўла ¦ҐЁп. ЃгЄ-
ў ¬ ᮮ⢥вбвўгов Ја дл Ё§ ®¤®© бв५ЄЁ. ЋЎкҐ¤ЁҐЁҐ ॠ«Ё§гҐв-
бп в Є:
|---------|
---->|*Ќ1 Љ1*|->---
/ |---------| \
/ |---------| \
* --------->|*Ќ2 Љ2*|--->-----* Љ
Ќ \ |---------| /
\ |---------| /
--->|*Ќ3 Љ3*|--->--
|---------|
Ќ аЁб®ў Є авЁЄ ¤«п ®ЎкҐ¤ЁҐЁп ваҐе ¬®¦Ґбвў, Їаאַ-
гЈ®«мЁЄЁ - нв® Ёбв®зЁЄЁ, ᮮ⢥вбвўгойЁҐ Ё¬; гЄ § л з «млҐ
Ё Є®ҐзлҐ ўҐаиЁл. Ќ ®ўле бв५Є е (Ёе 6) ЎгЄў Ґ ЇЁб ®.
Љ®Є ⥠樨 ᮮ⢥вбвўгҐв Є авЁЄ
|--------| |--------| |--------|
Ќ*--->|*Ќ1 Љ1*|---->----|*Ќ2 Љ2*| ---->----|*Ќ3 Љ3*|-->--*Љ
|--------| |--------| |--------|
Ќ Є®Ґж, ЁвҐа жЁЁ ᮮ⢥вбвўгҐв Є авЁЄ
Ќ*--------->----------*----------->----------*Љ
/ \
/ \
| |
V ^
| |
-------------
| *Ќ1 Љ1* |
-------------
10.7.10. „ Ёбв®зЁЄ. Џ®бва®Ёвм Є®Ґзл© ўв®¬ в, Їа®ўҐап-
ойЁ©, ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв «Ё ўе®¤®Ґ б«®ў® ¬®¦Ґбвўг, ᮮ⢥вбвўго饬г
Ёбв®зЁЄг (в.Ґ. ¬®¦® «Ё Їа®зҐбвм нв® б«®ў®, Ё¤п Ё§ Ќ ў Љ).
ђҐиҐЁҐ. ‘®бв®пЁп¬Ё ўв®¬ в Ўг¤гв ¬®¦Ґбвў ўҐаиЁ Ёбв®з-
ЁЄ . €¬Ґ®, Їа®звп ҐЄ®в®а®Ґ з «® X ўе®¤®Ј® б«®ў , ¬л Ўг¤Ґ¬
Ї®¬Ёвм ¬®¦Ґбвў® ўбҐе ўҐаиЁ Ёбв®зЁЄ , ў Є®в®алҐ ¬®¦® Їа®©вЁ
Ё§ з «м®©, Їа®зЁв ў ЇгвЁ б«®ў® X.
ЋЄ §лў Ґвбп, з⮠ॣг«палҐ ўла ¦ҐЁп, ўв®¬ вл Ё Ёбв®зЁЄЁ
а бЇ®§ ов ®¤Ё Ё ⥠¦Ґ ¬®¦Ґбвў . —в®Ўл гЎҐ¤Ёвмбп ў н⮬, ¬
®бв «®бм аҐиЁвм в Єго § ¤ зг:
10.7.11. „ Ёбв®зЁЄ. Џ®бва®Ёвм ॣг«п஥ ўла ¦ҐЁҐ, § -
¤ о饥 в® ¦Ґ ¬®¦Ґбвў®, зв® Ё нв®в Ёбв®зЁЄ.
ђҐиҐЁҐ. (‘®®ЎйҐ® гз бвЁЄ ¬Ё Їа®бҐ¬Ё а Ї® «®ЈЁЄҐ.)
Џгбвм Ёбв®зЁЄ Ё¬ҐҐв ўҐаиЁл 1..k. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® 1 - нв®
з «®, k - Є®Ґж. —ҐаҐ§ D[i,j, s] ®Ў®§ зЁ¬ ¬®¦Ґбвў® ўбҐе
б«®ў, Є®в®алҐ ¬®¦® Їа®зҐбвм ЇгвЁ Ё§ i ў j, Ґб«Ё ў Є зҐб⢥
Їа®¬Ґ¦гв®зле ЇгЄв®ў а §аҐи Ґвбп ЁбЇ®«м§®ў вм в®«мЄ® ўҐаиЁл
1,...,s. ‘®Ј« б® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо, Ёбв®зЁЄг ᮮ⢥вбвўгҐв ¬®¦Ґбвў®
D[1,k,k].
€¤гЄжЁҐ© Ї® s Ўг¤Ґ¬ ¤®Є §лў вм ॣг«па®бвм ўбҐе ¬®¦Ґбвў
D[i,j,s] ЇаЁ ўбҐе i Ё j. ЏаЁ s=0 нв® ®зҐўЁ¤® (Їа®¬Ґ¦гв®злҐ
ўҐаиЁл § ЇаҐйҐл, Ї®н⮬㠪 ¦¤®Ґ Ё§ ¬®¦Ґбвў б®бв®Ёв в®«мЄ® Ё§
ЎгЄў).
€§ 祣® б®бв®Ёв ¬®¦Ґбвў® D[i,j,s+1]? Ћв¬ҐвЁ¬ ЇгвЁ ¬®-
¬Ґвл, ў Є®в®але ® § 室Ёв ў s+1-го ўҐаиЁг. ЏаЁ н⮬ Їгвм а §-
ЎЁў Ґвбп з бвЁ, Є ¦¤ п Ё§ Є®в®але 㦥 Ґ § 室Ёв ў ҐҐ. Џ®-
н⮬㠫ҐЈЄ® б®®Ўа §Ёвм, зв®
D[i,j,s+1] = (D[i,j,s]| (D[i,s+1,s] D[s+1,s+1,s]* D[s+1,j,s]))
(ў®«м®бвм § ЇЁбЁ: ¬л ЁбЇ®«м§гҐ¬ ¤«п ®ЇҐа жЁ© ¤ ¬®¦Ґбвў ¬Ё
®Ў®§ зҐЁп Є Є ¤«п ॣг«пале ўла ¦ҐЁ©). Ћбв Ґвбп ў®бЇ®«м§®-
ў вмбп ЇаҐ¤Ї®«®¦ҐЁҐ¬ Ё¤гЄжЁЁ.
10.7.12. ѓ¤Ґ ҐйҐ ЁбЇ®«м§гҐвбп в® ¦Ґ б ¬®Ґ а бб㦤ҐЁҐ?
ЋвўҐв. ‚ «Ј®аЁв¬Ґ ”«®©¤ ўлзЁб«ҐЁп жҐл Єа вз ©иҐЈ® ЇгвЁ,
б¬. Ј« ўг 9 (ЌҐЄ®в®алҐ «Ј®аЁв¬л Ја д е).
10.7.13. „®Є § вм, зв® Є« бб ¬®¦Ґбвў, § ¤ ў Ґ¬ле ॣг«па-
л¬Ё ўла ¦ҐЁп¬Ё, Ґ Ё§¬ҐЁ«бп Ўл, Ґб«Ё Ўл ¬л а §аҐиЁ«Ё Ёб-
Ї®«м§®ў вм Ґ в®«мЄ® ®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ, ® Ё ®ваЁж ЁҐ ( б«Ґ¤®ў -
⥫м®, Ё ЇҐаҐбҐзҐЁҐ - ®® ўла ¦ Ґвбп зҐаҐ§ ®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ Ё ®ваЁ-
ж ЁҐ).
ђҐиҐЁҐ. „«п ўв®¬ в®ў ЇҐаҐе®¤ Є ®ваЁж Ёо ®зҐўЁ¤Ґ.
‡ ¬Ґз ЁҐ. Ќ Їа ЄвЁЄҐ ў ¦го а®«м ЁЈа Ґв зЁб«® б®бв®пЁ©
ўв®¬ в . ЋЄ §лў Ґвбп, зв® вг⠢ᥠҐ в Є Їа®бв®, Ё ЇҐаҐе®¤ ®
Ёбв®зЁЄ Є ўв®¬ вг вॡгҐв нЄбЇ®ҐжЁ «м®Ј® а®бв зЁб« б®б-
в®пЁ©. Џ®¤а®Ў®Ґ а бᬮв२Ґ бўп§ ле б нвЁ¬ ⥮аҐвЁзҐбЄЁе Ё
Їа ЄвЁзҐбЄЁе ў®Їа®б®ў - ¤Ґ«® ®б®Ў®Ґ.
Соседние файлы в папке Шень